çözümebak

AYT Matematik · Diziler

Aritmetik Dizi

~9 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu özel bir dizidir. Bu konu; genel terim, ortak fark ve ilk n terim toplamı formüllerini kurar ve bunları AYT düzeyinde sınav sorularına uygular. Formüller kısa olsa da soruların çoğu, verilen iki bilgiyi denklem sistemine dönüştürmeyi gerektirir.

1. Ortak Fark

Bir dizide her terim ile bir önceki terim arasındaki fark sabitse, bu diziye aritmetik dizi; bu sabit farka da ortak fark denir ve d ile gösterilir:

d=a_{n+1}-a_n

Örneğin 3,7,11,15,\dots dizisinde her terim bir öncekinden 4 fazla olduğundan d=4 tür. d>0 ise dizi artan, d<0 ise azalandır.

2. Genel Terim

İlk terim a_1 ve ortak fark d bilindiğinde, n. terim doğrudan yazılabilir:

a_n=a_1+(n-1)d

Bu formül, a_1 üzerine (n-1) kez d eklendiğini ifade eder; ikinci terime gelmek için bir kez, üçüncü terim için iki kez ekleriz.

Örnek
Soru

a_1=3 ve d=4 olan aritmetik dizinin 10. terimini bulunuz.

  1. Genel terim formülünü yaz: a_n=a_1+(n-1)d.

  2. n=10 değerlerini yerine koy: a_{10}=3+(10-1)\cdot 4=3+9\cdot 4.

  3. İşlemi bitir: a_{10}=3+36=39.

Sonuç: a_{10}=39
Örnek
Soru

2,5,8,\dots aritmetik dizisinin 20. terimini bulunuz.

Önce ortak farkı d=a_2-a_1 ile bul, sonra genel terim formülünü uygula.

  1. Ortak farkı bul: d=5-2=3, ilk terim a_1=2.

  2. Genel terimi yaz: a_{20}=2+(20-1)\cdot 3=2+19\cdot 3.

  3. Hesapla: a_{20}=2+57=59.

Sonuç: a_{20}=59
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_1=5 ve a_{10}=32 ise ortak farkı bulunuz.

  1. Genel terimi n=10 için yaz: a_{10}=a_1+9d.

  2. Bilinenleri yerleştir: 32=5+9d.

  3. d için çöz: 9d=27 \Rightarrow d=\dfrac{32-5}{9}=3.

Sonuç: d=3

3. İlk n Terim Toplamı

İlk n terimin toplamı S_n ile gösterilir. İki eşdeğer formül kullanılır:

S_n=\dfrac{n\,(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n\,\big(2a_1+(n-1)d\big)}{2}

İlk biçim son terim a_n bilindiğinde, ikinci biçim ise a_1 ve d bilindiğinde pratiktir.

Örnek
Soru

1+2+3+\cdots+100 toplamını bulunuz.

  1. Bu, a_1=1, d=1, a_{100}=100 olan aritmetik dizinin ilk 100 teriminin toplamıdır.

  2. Son terimli formülü uygula: S_{100}=\dfrac{100\,(a_1+a_{100})}{2}=\dfrac{100\,(1+100)}{2}.

  3. Hesapla: S_{100}=\dfrac{100\cdot 101}{2}=5050.

Sonuç: S_{100}=5050
Örnek
Soru

a_1=2 ve d=3 olan aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulunuz.

  1. a_1 ve d bilindiğinden ikinci formülü kullan: S_n=\dfrac{n\,\big(2a_1+(n-1)d\big)}{2}.

  2. n=10 için yerleştir: S_{10}=\dfrac{10\,\big(2\cdot 2+(10-1)\cdot 3\big)}{2}=\dfrac{10\,(4+27)}{2}.

  3. Hesapla: S_{10}=\dfrac{10\cdot 31}{2}=155.

Sonuç: S_{10}=155

4. Orta Terim

Ardışık üç terimden ortadaki, diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşittir:

a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Bu, a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n eşitliğinin (ortak farkın sabitliğinin) doğrudan sonucudur. Üç terimli bir aritmetik dizide x,\;y,\;z verildiğinde 2y=x+z yazmak çoğu soruyu kısaltır.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Genel terimi a_n=4n-1 olan dizinin ilk terimini ve ortak farkını bulunuz.

İlk terim için n=1, ortak fark için a_{n+1}-a_n farkını kullan.

  1. İlk terimi bul: a_1=4\cdot 1-1=3.

  2. İkinci terimi bul: a_2=4\cdot 2-1=7.

  3. Ortak fark: d=a_2-a_1=7-3=4.

Sonuç: a_1=3,\ d=4
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_3=11 ve a_7=27 ise a_1 ve d değerlerini bulunuz.

İki terimi de a_1 ve d cinsinden yazıp denklem sistemi kur.

  1. Terimleri genel terimle yaz: a_3=a_1+2d=11 ve a_7=a_1+6d=27.

  2. İkinci denklemden birinciyi çıkar: 4d=16 \Rightarrow d=4.

  3. d=4 değerini ilk denkleme koy: a_1+2\cdot 4=11 \Rightarrow a_1=3.

Sonuç: a_1=3,\ d=4
Örnek
Soru

5,9,13,\dots aritmetik dizisinde 101 kaçıncı terimdir?

a_n=101 yazıp n için çöz.

  1. Diziyi tanı: a_1=5, d=9-5=4.

  2. Genel terimi 101 e eşitle: 5+(n-1)\cdot 4=101.

  3. n için çöz: (n-1)\cdot 4=96 \Rightarrow n-1=24 \Rightarrow n=25.

Sonuç: 101, dizinin 25. terimidir.
Örnek
Soru

3,7,11,\dots,79 aritmetik dizisinin tüm terimlerinin toplamını bulunuz.

Önce 79 un kaçıncı terim olduğunu bul, sonra toplam formülünü uygula.

  1. Diziyi tanı: a_1=3, d=4, son terim a_n=79.

  2. Terim sayısını bul: 3+(n-1)\cdot 4=79 \Rightarrow (n-1)\cdot 4=76 \Rightarrow n=20.

  3. Toplamı hesapla: S_{20}=\dfrac{20\,(a_1+a_{20})}{2}=\dfrac{20\,(3+79)}{2}=\dfrac{20\cdot 82}{2}=820.

Sonuç: S_{20}=820
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_4=20 ve a_9=45 ise ilk 9 terimin toplamını bulunuz.

Önce d ve a_1 değerlerini bul, ardından a_9 zaten verili olduğundan son terimli toplam formülünü kullan.

  1. Terimleri yaz: a_4=a_1+3d=20 ve a_9=a_1+8d=45.

  2. Çıkarma ile d bul: 5d=25 \Rightarrow d=5; sonra a_1+3\cdot 5=20 \Rightarrow a_1=5.

  3. Toplamı hesapla: S_9=\dfrac{9\,(a_1+a_9)}{2}=\dfrac{9\,(5+45)}{2}=\dfrac{9\cdot 50}{2}=225.

Sonuç: S_9=225
Örnek
Soru

Ardışık terimleri aritmetik dizi oluşturan x-3,\;2x+1,\;5x-1 ifadelerinde x değerini bulunuz.

Orta terim, diğer ikisinin ortalamasıdır: 2\cdot(2x+1)=(x-3)+(5x-1).

  1. Orta terim özelliğini yaz: 2(2x+1)=(x-3)+(5x-1).

  2. İki tarafı düzenle: 4x+2=6x-4.

  3. x için çöz: 2+4=6x-4x \Rightarrow 6=2x \Rightarrow x=3.

Sonuç: x=3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir (a_n) aritmetik dizisinde a_2\cdot a_4=a_3^{2}-9 eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre ortak fark d'nin mutlak değeri kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

a_2 ve a_4'ü orta terim a_3 ile yaz: a_2=a_3-d, a_4=a_3+d.

  1. a_2=a_3-d ve a_4=a_3+d olduğundan a_2\cdot a_4=(a_3-d)(a_3+d)=a_3^{2}-d^{2}.

  2. Verilen eşitlik: a_3^{2}-d^{2}=a_3^{2}-9\Rightarrow d^{2}=9.

  3. Buradan \lvert d\rvert=3.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

Bir aritmetik dizide a_3=7 ve a_7=19 olduğuna göre ilk 10 terimin toplamı S_{10} kaçtır?

A) 125 · B) 135 · C) 145 · D) 155 · E) 165

  1. a_7-a_3=4d=19-7=12\Rightarrow d=3.

  2. a_1=a_3-2d=7-6=1; a_{10}=a_1+9d=1+27=28.

  3. S_{10}=\dfrac{10\,(a_1+a_{10})}{2}=\dfrac{10\,(1+28)}{2}=145.

Sonuç: C) 145
Örnek
Soru

Ardışık üç terimi aritmetik dizi oluşturan sayıların toplamı 18, çarpımı 192'dir.

Buna göre dizinin ortak farkı d (pozitif) kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. Üç terimi x-d,\ x,\ x+d al. Toplam 3x=18\Rightarrow x=6.

  2. Çarpım: (6-d)\cdot 6\cdot(6+d)=6\,(36-d^{2})=192\Rightarrow 36-d^{2}=32.

  3. d^{2}=4\Rightarrow d=2 (pozitif).

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

Bir (a_n) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n=2n^{2}+n ile veriliyor.

Buna göre dizinin 10. terimi a_{10} kaçtır?

A) 35 · B) 37 · C) 39 · D) 41 · E) 43

a_n=S_n-S_{n-1} bağıntısı genel terimi doğrudan verir; çıkan ifade aritmetik dizinin a_1+(n-1)d biçimidir.

  1. Genel terimi kısmi toplamlardan çek: a_n=S_n-S_{n-1}.

  2. Farkı al: a_n=(2n^{2}+n)-\big(2(n-1)^{2}+(n-1)\big)=(2n^{2}+n)-(2n^{2}-3n+1)=4n-1.

  3. Demek ki a_1=3, d=4; aranan terim a_{10}=4\cdot 10-1=39.

Sonuç: C) 39
Örnek
Soru

Bir (a_n) aritmetik dizisinde a_3+a_{15}=40 olduğuna göre ilk 17 terimin toplamı S_{17} kaçtır?

A) 300 · B) 320 · C) 340 · D) 360 · E) 380

Aritmetik dizide, sıra numaralarının toplamı eşit olan terimlerin toplamı da eşittir: a_p+a_q yalnızca p+q'ya bağlıdır.

  1. Eşit uzaklık özelliği: a_1+a_{17}=a_3+a_{15} çünkü her iki çiftte sıra toplamı 18'dir. O hâlde a_1+a_{17}=40.

  2. Toplam formülünü uygula: S_{17}=\dfrac{17\,(a_1+a_{17})}{2}=\dfrac{17\cdot 40}{2}.

  3. Hesapla: S_{17}=17\cdot 20=340.

Sonuç: C) 340
Örnek
Soru

Bir tiyatro salonunda koltuklar sıralar hâlinde dizilidir. İlk sırada 20 koltuk vardır ve her sıra, bir önceki sıradan 3 koltuk fazladır. Salonda 15 sıra bulunmaktadır.

Buna göre salondaki toplam koltuk sayısı kaçtır?

A) 585 · B) 600 · C) 615 · D) 630 · E) 645

Sıralardaki koltuk sayıları aritmetik dizidir: a_1=20, d=3, n=15. Toplam koltuk sayısı S_{15}'tir.

  1. Modeli kur: a_1=20, d=3, n=15.

  2. Son sıradaki koltuk sayısı: a_{15}=20+(15-1)\cdot 3=20+42=62.

  3. Toplamı hesapla: S_{15}=\dfrac{15\,(a_1+a_{15})}{2}=\dfrac{15\,(20+62)}{2}=\dfrac{15\cdot 82}{2}=615.

Sonuç: C) 615

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İki terimi verilen sorularda (a_p ve a_q gibi) her ikisini de a_1 ve d cinsinden yazıp denklemleri taraf tarafa çıkarın: a_q-a_p=(q-p)d eşitliği d yi tek adımda verir. Ardından d yi bir denkleme koyup a_1 i bulun. Bu yöntem aritmetik dizi sorularının büyük çoğunluğunu çözer.

Diziler — diğer konular