AYT Matematik · Diziler

Aritmetik Dizi

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1 soru/yıl · Sınavda düşük ağırlık

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu özel bir dizidir. Bu konu; genel terim, ortak fark ve ilk $n$ terim toplamı formüllerini kurar ve bunları AYT düzeyinde sınav sorularına uygular. Formüller kısa olsa da soruların çoğu, verilen iki bilgiyi denklem sistemine dönüştürmeyi gerektirir.

1. Ortak Fark

Bir dizide her terim ile bir önceki terim arasındaki fark sabitse, bu diziye aritmetik dizi; bu sabit farka da ortak fark denir ve $d$ ile gösterilir:

$d = a_{n + 1} - a_{n}$

Örneğin $3, 7, 11, 15, \dots$ dizisinde her terim bir öncekinden $4$ fazla olduğundan $d = 4$ tür. $d > 0$ ise dizi artan, $d < 0$ ise azalandır.

2. Genel Terim

İlk terim $a_{1}$ ve ortak fark $d$ bilindiğinde, $n .$ terim doğrudan yazılabilir:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Bu formül, $a_{1}$ üzerine $(n - 1)$ kez $d$ eklendiğini ifade eder; ikinci terime gelmek için bir kez, üçüncü terim için iki kez ekleriz.

Örnek

Soru

$a_{1} = 3$ ve $d = 4$ olan aritmetik dizinin $10.$ terimini bulunuz.

Genel terim formülünü yaz: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ .
$n = 10$ değerlerini yerine koy: $a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 4 = 3 + 9 \cdot 4$ .
İşlemi bitir: $a_{10} = 3 + 36 = 39$ .

Sonuç:

a_{10} = 39

Örnek

Soru

$2, 5, 8, \dots$ aritmetik dizisinin $20.$ terimini bulunuz.

Önce ortak farkı $d = a_{2} - a_{1}$ ile bul, sonra genel terim formülünü uygula.

Ortak farkı bul: $d = 5 - 2 = 3$ , ilk terim $a_{1} = 2$ .
Genel terimi yaz: $a_{20} = 2 + (20 - 1) \cdot 3 = 2 + 19 \cdot 3$ .
Hesapla: $a_{20} = 2 + 57 = 59$ .

Sonuç:

a_{20} = 59

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 5$ ve $a_{10} = 32$ ise ortak farkı bulunuz.

Genel terimi $n = 10$ için yaz: $a_{10} = a_{1} + 9 d$ .
Bilinenleri yerleştir: $32 = 5 + 9 d$ .
$d$ için çöz: $9 d = 27 \Rightarrow d = \frac{32 - 5}{9} = 3$ .

Sonuç:

d = 3

3. İlk $n$ Terim Toplamı

İlk $n$ terimin toplamı $S_{n}$ ile gösterilir. İki eşdeğer formül kullanılır:

$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$

İlk biçim son terim $a_{n}$ bilindiğinde, ikinci biçim ise $a_{1}$ ve $d$ bilindiğinde pratiktir.

Örnek

Soru

$1 + 2 + 3 + \dots + 100$ toplamını bulunuz.

Bu, $a_{1} = 1$ , $d = 1$ , $a_{100} = 100$ olan aritmetik dizinin ilk $100$ teriminin toplamıdır.
Son terimli formülü uygula: $S_{100} = \frac{100 ( a _{1} + a _{100} )}{2} = \frac{100 ( 1 + 100 )}{2}$ .
Hesapla: $S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ .

Sonuç:

S_{100} = 5050

Örnek

Soru

$a_{1} = 2$ ve $d = 3$ olan aritmetik dizinin ilk $10$ teriminin toplamını bulunuz.

$a_{1}$ ve $d$ bilindiğinden ikinci formülü kullan: $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$ .
$n = 10$ için yerleştir: $S_{10} = \frac{10 ( 2 \cdot 2 + ( 10 - 1 ) \cdot 3 )}{2} = \frac{10 ( 4 + 27 )}{2}$ .
Hesapla: $S_{10} = \frac{10 \cdot 31}{2} = 155$ .

Sonuç:

S_{10} = 155

4. Orta Terim

Ardışık üç terimden ortadaki, diğer ikisinin aritmetik ortalamasına eşittir:

$a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$

Bu, $a_{n} - a_{n - 1} = a_{n + 1} - a_{n}$ eşitliğinin (ortak farkın sabitliğinin) doğrudan sonucudur. Üç terimli bir aritmetik dizide $x, y, z$ verildiğinde $2 y = x + z$ yazmak çoğu soruyu kısaltır.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Genel terimi $a_{n} = 4 n - 1$ olan dizinin ilk terimini ve ortak farkını bulunuz.

İlk terim için $n = 1$ , ortak fark için $a_{n + 1} - a_{n}$ farkını kullan.

İlk terimi bul: $a_{1} = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ .
İkinci terimi bul: $a_{2} = 4 \cdot 2 - 1 = 7$ .
Ortak fark: $d = a_{2} - a_{1} = 7 - 3 = 4$ .

Sonuç:

a_{1} = 3, d = 4

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{3} = 11$ ve $a_{7} = 27$ ise $a_{1}$ ve $d$ değerlerini bulunuz.

İki terimi de $a_{1}$ ve $d$ cinsinden yazıp denklem sistemi kur.

Terimleri genel terimle yaz: $a_{3} = a_{1} + 2 d = 11$ ve $a_{7} = a_{1} + 6 d = 27$ .
İkinci denklemden birinciyi çıkar: $4 d = 16 \Rightarrow d = 4$ .
$d = 4$ değerini ilk denkleme koy: $a_{1} + 2 \cdot 4 = 11 \Rightarrow a_{1} = 3$ .

Sonuç:

a_{1} = 3, d = 4

Örnek

Soru

$5, 9, 13, \dots$ aritmetik dizisinde $101$ kaçıncı terimdir?

$a_{n} = 101$ yazıp $n$ için çöz.

Diziyi tanı: $a_{1} = 5$ , $d = 9 - 5 = 4$ .
Genel terimi $101$ e eşitle: $5 + (n - 1) \cdot 4 = 101$ .
$n$ için çöz: $(n - 1) \cdot 4 = 96 \Rightarrow n - 1 = 24 \Rightarrow n = 25$ .

Sonuç:

101

, dizinin

25.

terimidir.

Örnek

Soru

$3, 7, 11, \dots, 79$ aritmetik dizisinin tüm terimlerinin toplamını bulunuz.

Önce $79$ un kaçıncı terim olduğunu bul, sonra toplam formülünü uygula.

Diziyi tanı: $a_{1} = 3$ , $d = 4$ , son terim $a_{n} = 79$ .
Terim sayısını bul: $3 + (n - 1) \cdot 4 = 79 \Rightarrow (n - 1) \cdot 4 = 76 \Rightarrow n = 20$ .
Toplamı hesapla: $S_{20} = \frac{20 ( a _{1} + a _{20} )}{2} = \frac{20 ( 3 + 79 )}{2} = \frac{20 \cdot 82}{2} = 820$ .

Sonuç:

S_{20} = 820

Örnek

Soru

Bir aritmetik dizide $a_{4} = 20$ ve $a_{9} = 45$ ise ilk $9$ terimin toplamını bulunuz.

Önce $d$ ve $a_{1}$ değerlerini bul, ardından $a_{9}$ zaten verili olduğundan son terimli toplam formülünü kullan.

Terimleri yaz: $a_{4} = a_{1} + 3 d = 20$ ve $a_{9} = a_{1} + 8 d = 45$ .
Çıkarma ile $d$ bul: $5 d = 25 \Rightarrow d = 5$ ; sonra $a_{1} + 3 \cdot 5 = 20 \Rightarrow a_{1} = 5$ .
Toplamı hesapla: $S_{9} = \frac{9 ( a _{1} + a _{9} )}{2} = \frac{9 ( 5 + 45 )}{2} = \frac{9 \cdot 50}{2} = 225$ .

Sonuç:

S_{9} = 225

Örnek

Soru

Ardışık terimleri aritmetik dizi oluşturan $x - 3, 2 x + 1, 5 x - 1$ ifadelerinde $x$ değerini bulunuz.

Orta terim, diğer ikisinin ortalamasıdır: $2 \cdot (2 x + 1) = (x - 3) + (5 x - 1)$ .

Orta terim özelliğini yaz: $2 (2 x + 1) = (x - 3) + (5 x - 1)$ .
İki tarafı düzenle: $4 x + 2 = 6 x - 4$ .
$x$ için çöz: $2 + 4 = 6 x - 4 x \Rightarrow 6 = 2 x \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Genel terim formülüyle terim bulma (aₙ = a₁ + (n−1)d): (n−1) yerine n ile çarpmak (a₁ + n⋅d) a₁₂ için 5+36=41
İki terimden a₁ ve d çıkarma: Farkı indis farkı yerine büyük indise bölmek (d=15/8) kesirli, formüle oturmayan d
Ardışık üç terim — aritmetik orta (x'li terimler): 2 katını unutup ortanca = baş + son yazmak 2x+2=6x−4 ⇒ x=3/2
İlk n terim toplamı (Sₙ): 2'ye bölmeyi unutmak (Sₙ = n(a₁+aₙ)) s₂₀ için 1640
Toplam formülünden terim ve d çıkarma (aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁): İstenen terimi doğrudan Sₙ'de yerine koymak a₇ için s₇=154
Eşit uzaklık (indis toplamı) simetrisiyle toplam: 2'ye bölmeyi unutmak (S₁₅=15⋅30) 450

Soru 1Orta

Bir

(a_{n})

aritmetik dizisinde

a_{2} \cdot a_{4} = a_{3}^{2} - 9

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre ortak fark

d

'nin mutlak değeri kaçtır?

$a_{2} = a_{3} - d$ ve $a_{4} = a_{3} + d$ olduğundan $a_{2} \cdot a_{4} = (a_{3} - d) (a_{3} + d) = a_{3}^{2} - d^{2}$ .
Verilen eşitlik: $a_{3}^{2} - d^{2} = a_{3}^{2} - 9 \Rightarrow d^{2} = 9$ .
Buradan $∣ d ∣ = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 2Orta

Bir aritmetik dizide

a_{3} = 7

a_{7} = 19

olduğuna göre ilk

10

terimin toplamı

S_{10}

kaçtır?

$a_{7} - a_{3} = 4 d = 19 - 7 = 12 \Rightarrow d = 3$ .
$a_{1} = a_{3} - 2 d = 7 - 6 = 1$ ; $a_{10} = a_{1} + 9 d = 1 + 27 = 28$ .
$S_{10} = \frac{10 ( a _{1} + a _{10} )}{2} = \frac{10 ( 1 + 28 )}{2} = 145$ .

Sonuç:

145

Soru 3Orta

Ardışık üç terimi aritmetik dizi oluşturan sayıların toplamı

18

, çarpımı

192

'dir. Buna göre dizinin ortak farkı

d

(pozitif) kaçtır?

Üç terimi $x - d, x, x + d$ al. Toplam $3 x = 18 \Rightarrow x = 6$ .
Çarpım: $(6 - d) \cdot 6 \cdot (6 + d) = 6 (36 - d^{2}) = 192 \Rightarrow 36 - d^{2} = 32$ .
$d^{2} = 4 \Rightarrow d = 2$ (pozitif).

Sonuç:

2

Soru 4Zor

Bir

(a_{n})

aritmetik dizisinin ilk

n

teriminin toplamı

S_{n} = 2 n^{2} + n

ile veriliyor. Buna göre dizinin

10.

terimi

a_{10}

kaçtır?

Genel terimi kısmi toplamlardan çek: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ .
Farkı al: $a_{n} = (2 n^{2} + n) - (2 (n - 1)^{2} + (n - 1)) = (2 n^{2} + n) - (2 n^{2} - 3 n + 1) = 4 n - 1$ .
Demek ki $a_{1} = 3$ , $d = 4$ ; aranan terim $a_{10} = 4 \cdot 10 - 1 = 39$ .

Sonuç:

39

Soru 5Orta

Bir

(a_{n})

aritmetik dizisinde

a_{3} + a_{15} = 40

olduğuna göre ilk

17

terimin toplamı

S_{17}

kaçtır?

Eşit uzaklık özelliği: $a_{1} + a_{17} = a_{3} + a_{15}$ çünkü her iki çiftte sıra toplamı $18$ 'dir. O hâlde $a_{1} + a_{17} = 40$ .
Toplam formülünü uygula: $S_{17} = \frac{17 ( a _{1} + a _{17} )}{2} = \frac{17 \cdot 40}{2}$ .
Hesapla: $S_{17} = 17 \cdot 20 = 340$ .

Sonuç:

340

Soru 6Orta

Bir tiyatro salonunda koltuklar sıralar hâlinde dizilidir. İlk sırada

20

koltuk vardır ve her sıra, bir önceki sıradan

3

koltuk fazladır. Salonda

15

sıra bulunmaktadır. Buna göre salondaki toplam koltuk sayısı kaçtır?

Modeli kur: $a_{1} = 20$ , $d = 3$ , $n = 15$ .
Son sıradaki koltuk sayısı: $a_{15} = 20 + (15 - 1) \cdot 3 = 20 + 42 = 62$ .
Toplamı hesapla: $S_{15} = \frac{15 ( a _{1} + a _{15} )}{2} = \frac{15 ( 20 + 62 )}{2} = \frac{15 \cdot 82}{2} = 615$ .

Sonuç:

615

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Genel terimde $(n - 1) d$ yerine $n d$ yazmak. $a_{1}$ üzerine $d$ , dizinin $n .$ terimine kadar yalnızca $(n - 1)$ kez eklenir; doğru formül $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ tir.
Toplam formülünde $a_{n}$ bulunmadan son terimli biçimi uygulamak. $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ kullanmadan önce $a_{n}$ mutlaka hesaplanmalı; $a_{n}$ bilinmiyorsa $S_{n} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}$ biçimi tercih edilir.
Terim sayısını yanlış belirlemek. $a_{1}, \dots, a_{n}$ aralığında terim sayısı $n$ dir; "kaçıncı terim" sorularında çıkan $n$ doğrudan terim sayısıdır.

Sınav İpucu

İki terimi verilen sorularda ( $a_{p}$ ve $a_{q}$ gibi) her ikisini de $a_{1}$ ve $d$ cinsinden yazıp denklemleri taraf tarafa çıkarın: $a_{q} - a_{p} = (q - p) d$ eşitliği $d$ yi tek adımda verir. Ardından $d$ yi bir denkleme koyup $a_{1}$ i bulun. Bu yöntem aritmetik dizi sorularının büyük çoğunluğunu çözer.

1. Ortak Fark

2. Genel Terim

3. İlk n Terim Toplamı

4. Orta Terim

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Diziler — diğer konular

3. İlk $n$ Terim Toplamı