çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri · Soru Tipleri

Dörtgenler ve Çokgenler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Dörtgende iç açılar toplamı 360° (oranlı / eksik açı)

    KolaySık çıkar

    Dörtgenin iç açıları oran ya da birbirine bağlı ifadelerle verilir; bir açı istenir. Konunun ısınma sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. Dörtgenin iç açıları toplamı HER ZAMAN 360°'dir (üçgendeki 180° ile karıştırma).
    2. Oran verilmişse açıları 2k, 3k, 4k, 6k gibi yaz; toplamı 360°'ye eşitle.
    3. k'yı bul, istenen açıyı hesapla; bulduğun dört açının toplamını 360° ile sağla.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • İç açılar toplamını üçgendeki gibi 180° almaktüm açılar doğrunun yarısı — ör. 144° yerine 72°
    • En büyük açı istenirken en küçük payın açısını vermekoranın küçük ucundaki açı — ör. 144° yerine 48°

    Örnek

    Bir dörtgenin iç açıları 2, 3, 4 ve 6 sayılarıyla orantılıdır. En büyük iç açı kaç derecedir?

    2k+3k+4k+6k=15k=360° ⇒ k=24°, en büyük açı 6·24=144°

  2. Kare ve dikdörtgende çevre–alan ilişkisi

    KolaySık çıkar

    Çevre verilip alan (ya da tersi) istenir; kenarlar arasında kat/fark ilişkisi kurulur. Çevre formülündeki 2 çarpanı kritik.

    Nasıl çözülür

    1. Dikdörtgende Çevre = 2(a+b), Alan = a·b; karede Çevre = 4a, Alan = a².
    2. Kenar ilişkisini tek bilinmeyenle yaz (ör. uzun kenar = 2a).
    3. Çevre denkleminden kenarı bul, alanı hesapla.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Çevreyi 2(a+b) yerine a+b almakkenarlar 2 kat, alan 4 kat büyük — ör. 72 yerine 288
    • Çevre ile alanı karıştırıp kenar toplamını alan sanmakalan yerine yarım çevre değeri — ör. 72 yerine 18

    Örnek

    Çevresi 36 birim olan bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının 2 katıdır. Bu dikdörtgenin alanı kaç birim karedir?

    2(a+2a)=36 ⇒ 6a=36 ⇒ a=6; alan = 6·12 = 72

  3. Paralelkenar özellikleri (açılar, köşegen, alan)

    OrtaSık çıkar

    Paralelkenarda karşı açıların eşitliği, ardışık açıların bütünlerliği (180°), köşegenlerin birbirini ortalaması veya Alan = taban·yükseklik kullanılır.

    Nasıl çözülür

    1. Karşı açılar eşit, ardışık (komşu) açılar bütünler: m(A)+m(B)=180°.
    2. Köşegenler birbirini ORTALAR (dik kesişmek zorunda değildir).
    3. Alan = taban · o tabana ait yükseklik; iki farklı taban–yükseklik çifti aynı alanı verir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Komşu açıları da eşit sanmak (m(A)=m(B) almak)verilen farkı yok sayan değer — ör. 70° yerine 90°
    • Komşu açıların toplamını 90° almakbütünler yerine tümler açı — ör. 70° yerine 25°

    Örnek

    ABCD paralelkenarında m(A), m(B)'den 40° büyüktür. Buna göre m(B) kaç derecedir?

    m(A)+m(B)=180° ve m(A)=m(B)+40° ⇒ 2·m(B)+40°=180° ⇒ m(B)=70°

    Sık birleştiği konular: Üçgende Açılar ve Kenarlar

  4. Eşkenar dörtgen: dik köşegenler ve alan = e·f/2

    OrtaSık çıkar

    Köşegenleri verilen eşkenar dörtgende alan, kenar veya çevre istenir. Köşegenler birbirini DİK ortalar; yarım köşegenlerle Pisagor kurulur.

    Nasıl çözülür

    1. Alan = (e·f)/2 — köşegen çarpımının yarısı.
    2. Kenar için yarım köşegenlerle dik üçgen kur: a² = (e/2)² + (f/2)².
    3. Çevre = 4a; dört kenar eşittir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Alanda köşegen çarpımını 2'ye bölmemekdoğru alanın 2 katı — ör. 96 yerine 192
    • Kenarı bulurken köşegenlerin tamamıyla Pisagor kurmak√(12²+16²)=20 — kenar 10 yerine 20

    Örnek

    Köşegen uzunlukları 12 ve 16 birim olan eşkenar dörtgenin alanı kaç birim karedir?

    Alan = (12·16)/2 = 96 (kenar istenseydi: a=√(6²+8²)=10)

    Sık birleştiği konular: Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi

  5. Yamukta orta taban ve alan

    OrtaSık çıkar

    Paralel kenarları (alt–üst taban) ve yüksekliği verilen yamukta alan ya da orta taban istenir. Orta taban = tabanların aritmetik ortalaması.

    Nasıl çözülür

    1. Orta taban = (alt taban + üst taban)/2.
    2. Alan = orta taban · yükseklik = ((a+c)/2)·h.
    3. Yükseklik, paralel kenarlar ARASINDAKİ dik uzaklıktır; yan kenar yükseklik değildir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Taban toplamını 2'ye bölmeden yükseklikle çarpmakdoğru alanın 2 katı — ör. 80 yerine 160
    • Orta tabanı tabanların FARKININ yarısı almak(14−6)/2=4 ile alan 32 — 80 yerine 32

    Örnek

    Alt tabanı 14, üst tabanı 6 ve yüksekliği 8 birim olan yamuğun alanı kaç birim karedir?

    Alan = ((14+6)/2)·8 = 10·8 = 80

  6. Kompozit şekil: kareden/dikdörtgenden parça kesme

    ZorSık çıkar

    Kare veya dikdörtgenden üçgen kesilip kalan (taralı) bölgenin alanı istenir. ÖSYM'nin şekil üzerinden sorduğu 'büyük alan − kesilen alan' kurgusu.

    Nasıl çözülür

    1. Önce tam şeklin (kare/dikdörtgen) alanını yaz.
    2. Kesilen parçanın alanını ayrı hesapla (dik üçgense (dik kenar · dik kenar)/2).
    3. Kalan = büyük alan − kesilen alan; kesilen kenar parçalarını şekil üzerinden doğru oku.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Üçgen alanında 2'ye bölmeyi unutmak (4·6=24 kesmek)144−24=120 — 132 yerine 120
    • Kesilen alanı çıkarmak yerine eklemek144+12=156 — 132 yerine 156

    Örnek

    Bir kenarı 12 birim olan ABCD karesinin B köşesinden, [AB] üzerinde |BE|=4 ve [BC] üzerinde |BF|=6 olacak biçimde EBF dik üçgeni kesilip atılıyor. Kalan bölgenin alanı kaç birim karedir?

    Kare 12²=144, kesilen üçgen (4·6)/2=12 ⇒ kalan 144−12=132

    Sık birleştiği konular: Üçgende Açılar ve Kenarlar, Çember ve Daire

  7. Köşegen ve iç noktayla alan bölme

    Zor

    Köşegenin paralelkenar/dikdörtgeni eş iki üçgene bölmesi ya da içteki bir P noktasının karşılıklı üçgen alanları: A(PAB)+A(PCD) = paralelkenar alanının yarısı.

    Nasıl çözülür

    1. Köşegen, paralelkenarı alanları eşit iki üçgene ayırır (her biri alanın yarısı).
    2. İç P noktası için: tabanları AB ve CD olan üçgenlerin yükseklikleri toplamı paralelkenarın yüksekliğidir.
    3. Bu yüzden A(PAB)+A(PCD) = A(PBC)+A(PAD) = toplam alanın yarısı; bilinenle farkı al.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Tek üçgeni (A(PCD)'yi) alanın yarısı sanmaktoplam/2 değeri — ör. 15 yerine 40
    • Toplam alandan verilen üçgeni çıkarmak80−25=55 — 15 yerine 55

    Örnek

    Alanı 80 birim kare olan ABCD paralelkenarının içinde bir P noktası alınıyor. PAB üçgeninin alanı 25 ise PCD üçgeninin alanı kaçtır?

    A(PAB)+A(PCD)=80/2=40 ⇒ A(PCD)=40−25=15

    Sık birleştiği konular: Üçgende Açılar ve Kenarlar

7 soru tipini gördün. Şimdi Dörtgenler ve Çokgenler sorularını çöz →