çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri · Soru Tipleri

Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 5 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Pisagor üçlüsüyle kenar bulma (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17)

    KolaySık çıkar

    İki kenar verilir, üçüncü kenar istenir; sayılar bir Pisagor üçlüsü veya tam katıdır. Konunun ısınma sorusu — üçlüyü gören hesapsız çözer.

    Nasıl çözülür

    1. Verilen kenarların hangisinin hipotenüs olduğunu belirle (dik açının karşısı, en uzun kenar).
    2. Sayıları ezberdeki üçlülerle eşle: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve tam katları (6-8-10, 9-12-15...).
    3. Üçlü görünmüyorsa Pisagor'u yaz: dik kenarlar a, b ve hipotenüs c için a²+b²=c².
    4. Hipotenüs verilmişse ÇIKAR: a²=c²−b². Toplama, yalnız iki dik kenar verilince yapılır.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Hipotenüs verilmişken kareleri toplamak (çıkarmak yerine)√306 gibi şıklara uymayan köklü değer
    • Üçlüyü yanlış eşlemek: 9 ve 15'i 8-15-17'ye oturtmak17 (doğru cevap 12 iken)

    Örnek

    Bir dik üçgende hipotenüs 15 birim, dik kenarlardan biri 9 birimdir. Diğer dik kenar kaç birimdir?

    a²=15²−9²=225−81=144 ⇒ a=12 (3-4-5 üçlüsünün 3 katı: 9-12-15)

  2. Özel açılı üçgenler (30°-60°-90° ve 45°-45°-90°)

    KolaySık çıkar

    Açılar verilir, bir kenardan diğeri istenir. Kenar ORANLARI sabittir: 30-60-90'da x : x√3 : 2x, 45-45-90'da x : x : x√2. Hangi kenarın hangi açının karşısında olduğu sorunun tamamıdır.

    Nasıl çözülür

    1. 30°-60°-90°: en kısa kenar (x) 30°'nin karşısında, x√3 60°'nin karşısında, hipotenüs 2x.
    2. Hipotenüs HER ZAMAN en kısa kenarın iki katıdır — bu tek başına çok soru çözer.
    3. 45°-45°-90°: ikizkenar dik üçgen; dik kenarlar eşit (x), hipotenüs x√2.
    4. Verilen kenarı doğru orana yerleştir, x'i çek, istenen kenarı yaz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • 30° ve 60° karşılarını karıştırmak (x√3'ü 30° karşısına yazmak)6√3 yerine 6, ya da tersine √3 kat fazlası
    • 45-45-90'da hipotenüsü 2x sanmak (30-60-90 ile karıştırmak)x√2 yerine 2x — √2 katı yerine 2 katı

    Örnek

    Bir 30°-60°-90° üçgeninde hipotenüs 12 cm'dir. 60°'lik açının karşısındaki kenar kaç cm'dir?

    Hipotenüs 2x=12 ⇒ x=6; 60° karşısı x√3=6√3

  3. Dik üçgende alan (dik kenarlar ↔ hipotenüse yükseklik)

    OrtaSık çıkar

    Alan iki yoldan yazılır: (dik kenar × dik kenar)/2 = (hipotenüs × hipotenüse yükseklik)/2. ÖSYM iki ifadeyi eşitletip yüksekliği sorar.

    Nasıl çözülür

    1. Dik kenarlar a, b ise Alan = a⋅b/2 — hipotenüs alana girmez.
    2. Hipotenüsü Pisagor'la (veya üçlüden) bul.
    3. Aynı alanı hipotenüs üzerinden yaz: Alan = c⋅h/2.
    4. İki ifadeyi eşitle: h = a⋅b/c.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Alanı dik kenar × hipotenüs / 2 diye kurmak6⋅10/2 = 30 (doğrusu 24)
    • Hipotenüse yüksekliği dik kenarlardan biri sanmak24/5 yerine 6 veya 8

    Örnek

    Dik kenarları 6 ve 8 birim olan dik üçgende hipotenüse ait yükseklik kaç birimdir?

    Alan = 6⋅8/2 = 24; hipotenüs 10 (6-8-10) ⇒ h = 2⋅24/10 = 24/5

  4. Öklid bağıntıları (h² = p⋅k, b² = p⋅c)

    OrtaSık çıkar

    Dik açıdan hipotenüse yükseklik inince hipotenüs p ve k parçalarına ayrılır. Yükseklik için h²=p⋅k; dik kenar için (o kenara BİTİŞİK parça ile) b²=p⋅c. Şekilde parça-kenar eşlemesi sorunun kalbidir.

    Nasıl çözülür

    1. Şekli tarif eden metinden p ve k parçalarını belirle (yüksekliğin ayırdığı iki hipotenüs parçası).
    2. Yükseklik isteniyorsa: h² = p⋅k — parçaların ÇARPIMI, toplamı değil.
    3. Dik kenar isteniyorsa: o kenarın değdiği parça ile tüm hipotenüsü çarp: b² = p⋅(p+k).
    4. Sonucun karekökünü al; çıkan üçgenin üçlü olup olmadığını kontrol et.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • h² = p+k sanmak (çarpım yerine toplam)√13 gibi köklü, şıklara uymayan değer
    • Dik kenar bağıntısında kenarı karşı parçayla eşlemekb²=9⋅13 gibi yanlış çarpım — √117

    Örnek

    Dik üçgende dik açıdan hipotenüse inen yükseklik, hipotenüsü 4 ve 9 birimlik iki parçaya ayırıyor. Yükseklik kaç birimdir?

    h² = 4⋅9 = 36 ⇒ h = 6

  5. Gerçek hayat kurgusu (merdiven-duvar, direk-halat)

    OrtaSık çıkar

    Merdiven, halat, uçurtma ipi hipotenüstür; duvar/direk ve zemin dik kenarlardır. Kurulan üçgenin GERÇEKLEŞEBİLİR olması şart: hipotenüs iki dik kenardan da uzun olmalı. Soru çoğu kez bir üçlünün katına oturur.

    Nasıl çözülür

    1. Metinden dik üçgeni çiz: eğik eleman (merdiven/halat) = hipotenüs, duvar/direk ve zemin = dik kenarlar.
    2. Sağlama: hipotenüs her iki dik kenardan da büyük mü? Değilse kurguyu yanlış okumuşsundur.
    3. Pisagor'u uygula; sayılar genelde 3-4-5, 5-12-13 katıdır.
    4. İki konumlu sorularda (merdiven kayıyor) her konum için ayrı üçgen kur, istenen FARKI hesapla.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Merdiven boyunu dik kenar sanıp kareleri toplamak√136 gibi köklü değer (doğrusu 8)
    • Kenarları doğrudan çıkarmak: 10−64 (pisagor'suz 'kestirme')

    Örnek

    10 m uzunluğundaki bir merdiven düz zeminde dik bir duvara yaslanıyor. Merdivenin alt ucu duvarın dibinden 6 m uzakta olduğuna göre, merdivenin duvara değdiği nokta zeminden kaç m yüksektedir?

    h² = 10²−6² = 100−36 = 64 ⇒ h = 8 (6-8-10 üçgeni; hipotenüs 10 > 8 ve 6, kurgu geçerli)

    Sık birleştiği konular: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler

  6. İç içe dik üçgenler (ortak kenar zinciri)

    ZorSık çıkar

    İki dik üçgen ortak bir kenarla zincirlenir: birincinin hipotenüsü ikincinin dik kenarı olur. Ara kenar iki kez Pisagor'la taşınır. Sınavın orta-üst bandı.

    Nasıl çözülür

    1. Şekli tarif eden metinden iki üçgeni ve ORTAK kenarı belirle.
    2. Birinci üçgende Pisagor'la ortak kenarı bul.
    3. Bu değeri ikinci üçgene taşı, ikinci Pisagor'u yaz.
    4. Her adımda üçlü kontrolü yap (3-4-5 ve 5-12-13 zinciri klasiktir).

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Ara hipotenüsü Pisagor'suz 3+4=7 almak√193 gibi şıklara uymayan değer
    • İkinci üçgende bulunacak kenarı dik kenar sanıp 12²−5² yapmak√119 (doğrusu 13)

    Örnek

    △ABC'de B açısı 90°, AB=3, BC=4 birimdir. C noktasında AC'ye dik olan [CD] için CD=12 birimdir. AD kaç birimdir?

    AC² = 3²+4² = 25 ⇒ AC = 5; △ACD'de AD² = 5²+12² = 169 ⇒ AD = 13

    Sık birleştiği konular: Üçgende Benzerlik ve Alan

  7. Çevre/alan ile birleşik ters problem

    Zor

    Hipotenüs ve çevre (ya da kenar toplamı) verilir, alan istenir. Kenarlar tek tek bulunmaz; (a+b)² açılımıyla a⋅b'ye ulaşılır. Özdeşlik ile Pisagor'un birlikte kullanıldığı seçici soru.

    Nasıl çözülür

    1. Çevreden hipotenüsü düş: a+b değerini bul.
    2. İki eşitliği yan yana yaz: a+b bilinen, a²+b² = c² (Pisagor).
    3. (a+b)² = a²+b²+2ab açılımından 2ab'yi çek.
    4. Alan = a⋅b/2 — 2ab bulunduysa 4'e böl.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • a⋅b'yi bulup 2'ye bölmeyi unutmak (a⋅b'yi alan sanmak)60 (doğrusu 30)
    • a+b=17'den kenarları 8 ve 9 diye tahmin etmek36 — pisagor'u sağlamayan kenarlar

    Örnek

    Bir dik üçgenin hipotenüsü 13 birim, çevresi 30 birimdir. Bu üçgenin alanı kaç birim karedir?

    a+b = 30−13 = 17; (a+b)² = 289 = a²+b²+2ab = 169+2ab ⇒ ab = 60 ⇒ Alan = 30 (üçgen 5-12-13)

    Sık birleştiği konular: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

7 soru tipini gördün. Şimdi Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi sorularını çöz →