AYT Matematik · İntegral

İntegral ile Alan Hesabı

~10 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Belirli integral, bir eğri ile $x$ -ekseni arasında ya da iki eğri arasında kalan bölgenin alanını verir. Anahtar incelik işaret meselesidir: integral, eksenin altında kalan bölgelerde negatif değer üretir. Bu konuda eğri-eksen arası alanı, eksen altı bölgelerin nasıl ele alınacağını ve iki eğri arası alanı "üst eksi alt" mantığıyla işliyoruz.

1. Eğri ile $x$ -Ekseni Arasındaki Alan

$[a, b]$ aralığında $f$ sürekli olsun.

Eğer aralık boyunca $f (x) \geq 0$ ise, eğri ile $x$ -ekseni arasındaki alan doğrudan integraldir:

$A = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Eğer aralık boyunca $f (x) \leq 0$ ise, bölge eksenin altında kalır; integral negatif çıkar. Alan pozitif bir büyüklük olduğundan mutlak değer alınır:

$A = \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

Dikkat: Alan her zaman pozitiftir. İntegralin işareti bölgenin eksene göre konumunu söyler; alan ise bu büyüklüğün mutlak değeridir.

Şekil 1 —

f (x) \geq 0

iken

y = f (x)

eğrisi ile

x

-ekseni arasında,

x = a

ile

x = b

arasındaki taranmış alan

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

'tir.

Eğri Ekseni Kesiyorsa: Bölgeleri Ayır

Eğer $f$ , $[a, b]$ üzerinde işaret değiştiriyorsa (yani ekseni kesiyorsa), tüm aralıkta tek bir integral yanlış sonuç verir; çünkü eksen üstü ve altı bölgeler birbirini götürür. Doğru yöntem: kökleri ( $f (x) = 0$ çözümleri) bul, aralığı bu noktalardan parçalara ayır, her parçanın integralinin mutlak değerini topla.

$A = i \sum \int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) d x$

2. İki Eğri Arasındaki Alan

$[a, b]$ aralığında $f (x) \geq g (x)$ ise (yani $f$ üstte, $g$ altta), iki eğri arasında kalan alan:

$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Bu formülde sınırlar $a$ ve $b$ , eğrilerin kesişim noktalarının apsisleridir. Kesişimi bulmak için $f (x) = g (x)$ denklemini çözeriz. İki eğri arasında her iki bölge eksenin altında bile olsa, "üst fonksiyon eksi alt fonksiyon" farkı $[a, b]$ üzerinde pozitif olduğundan mutlak değere gerek kalmaz.

Şekil 2 —

y = x

doğrusu (üstte) ile

y = x^{2}

parabolü (altta) arasında, kesişim apsisleri

x = 0

x = 1

arasında kalan taranmış bölge:

A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

Durum	Alan formülü
$f (x) \geq 0$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$
$f (x) \leq 0$	$- \int_{a}^{b} f (x) d x$
Eksen üstü + altı	parçalara ayır, mutlak değerleri topla
İki eğri ( $f$ üst, $g$ alt)	$\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Örnek

Soru

$y = x^{2}$ eğrisi, $x$ -ekseni ve $x = 0$ ile $x = 2$ doğruları arasında kalan alanı bulunuz.

$[0, 2]$ üzerinde $x^{2} \geq 0$ olduğundan alan doğrudan integraldir.
İntegrali al: $A = \int_{0}^{2} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = \frac{2 ^{3}}{3} - \frac{0 ^{3}}{3} = \frac{8}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{8}{3}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = 4 - x^{2}$ parabolü ile $x$ -ekseni arasında kalan alanı bulunuz.

Önce parabolün ekseni kestiği noktaları ( $y = 0$ ) bul; bunlar integralin sınırlarıdır. Aralıkta $4 - x^{2} \geq 0$ olduğuna dikkat et.

Kesişim noktaları: $4 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . Sınırlar $- 2$ ile $2$ .
$[- 2, 2]$ üzerinde $4 - x^{2} \geq 0$ olduğundan alan doğrudan integraldir.
İntegrali al: $A = \int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = [4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = (8 - \frac{8}{3}) - (- 8 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{32}{3}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = x^{3}$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında, $x = - 1$ ile $x = 1$ arasında kalan alanı bulunuz.

$x^{3}$ fonksiyonu $x = 0$ 'da işaret değiştirir; bölge hem eksenin altında hem üstündedir. Net integral ile alanı karıştırma.

Önce net integral: $\int_{- 1}^{1} x^{3} d x = [\frac{x ^{4}}{4}]_{- 1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$ . Bu alan değildir; eksen altı ve üstü bölgeler birbirini götürmüştür.
Eğri $x = 0$ 'da ekseni kesiyor; bölgeyi $[- 1, 0]$ ve $[0, 1]$ olarak ayır.
$y = x^{3}$ tek fonksiyon olduğundan iki parçanın alanları eşittir; simetriyle alan, sağ parçanın iki katıdır:
$A = 2 \int_{0}^{1} x^{3} d x = 2 [\frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

A = \frac{1}{2}

birimkare. (Net integral

0

olsa da alan

\frac{1}{2}

'dir.)

Örnek

Soru

$y = x$ doğrusu ile $y = x^{2}$ parabolü arasında kalan alanı bulunuz.

Kesişimleri $x = x^{2}$ denkleminden bul. $0 < x < 1$ aralığında hangisinin üstte olduğunu bir deneme noktasıyla ( $x = \frac{1}{2}$ ) kontrol et.

Kesişimler: $x = x^{2} \Rightarrow x^{2} - x = 0 \Rightarrow x (x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1$ . Sınırlar $0$ ile $1$ .
Üst-alt: $x = \frac{1}{2}$ için $y = x = \frac{1}{2}$ , $y = x^{2} = \frac{1}{4}$ . Demek ki $0 < x < 1$ üzerinde doğru üstte: $x \geq x^{2}$ .
"Üst eksi alt" yaz: $A = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Sonuç:

A = \frac{1}{6}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = 2 - x^{2}$ ile $y = x^{2}$ parabolleri arasında kalan alanı bulunuz.

Kesişimleri $2 - x^{2} = x^{2}$ denkleminden bul. Tepe noktası daha yüksek olan parabol üsttedir.

Kesişimler: $2 - x^{2} = x^{2} \Rightarrow 2 = 2 x^{2} \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Sınırlar $- 1$ ile $1$ .
Üst-alt: $x = 0$ için $2 - x^{2} = 2$ , $x^{2} = 0$ . Demek ki $y = 2 - x^{2}$ üstte, $y = x^{2}$ altta.
"Üst eksi alt" yaz: $A = \int_{- 1}^{1} ((2 - x^{2}) - x^{2}) d x = \int_{- 1}^{1} (2 - 2 x^{2}) d x$ .
İntegrali al: $A = [2 x - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = (2 - \frac{2}{3}) - (- 2 + \frac{2}{3}) = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{8}{3}

birimkare.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$y = 2 x$ doğrusu ile $y = x^{2}$ parabolü arasında kalan alanı bulunuz.

Kesişimler: $x^{2} = 2 x \Rightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2$ .
Üst-alt: $x = 1$ için $2 x = 2$ , $x^{2} = 1$ ; doğru üstte.
$A = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = [x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{4}{3}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 4$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = 3$ arasında kalan alanı bulunuz.

Eğri $x = 2$ 'de ekseni kesiyor: $[0, 2]$ üzerinde $x^{2} - 4 \leq 0$ , $[2, 3]$ üzerinde $x^{2} - 4 \geq 0$ . Bölgeyi ayır.
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 4) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 4 x]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3}$ , mutlak değeri $\frac{16}{3}$ .
$\int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 4 x]_{2}^{3} = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = - 3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$ .
Topla: $A = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{23}{3}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = x$ eğrisi ile $y = x$ doğrusu arasında kalan alanı bulunuz.

Kesişimler: $x = x \Rightarrow x = x^{2} \Rightarrow x (x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 1$ .
Üst-alt: $x = \frac{1}{4}$ için $x = \frac{1}{2}$ , $x = \frac{1}{4}$ ; $x$ üstte.
$A = \int_{0}^{1} (x - x) d x = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ .

Sonuç:

A = \frac{1}{6}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = sin x$ eğrisi ile $x$ -ekseni arasında, $x = 0$ ile $x = π$ arasında kalan alanı bulunuz.

$[0, π]$ üzerinde $sin x \geq 0$ olduğundan alan doğrudan integraldir.
$A = \int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = - cos π - (- cos 0) = - (- 1) + 1 = 2$ .

Sonuç:

A = 2

birimkare.

Örnek

Soru

$y = 6 - x^{2}$ parabolü ile $y = x$ doğrusu arasında kalan alanı bulunuz.

Kesişimler: $6 - x^{2} = x \Rightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 3) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = - 3, x = 2$ .
Üst-alt: $x = 0$ için $6 - x^{2} = 6$ , $y = x = 0$ ; parabol üstte.
$A = \int_{- 3}^{2} ((6 - x^{2}) - x) d x = [6 x - \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}]_{- 3}^{2}$ .
Üst sınır: $12 - \frac{8}{3} - 2 = \frac{22}{3}$ . Alt sınır: $- 18 + 9 - \frac{9}{2} = - \frac{27}{2}$ .
Fark: $A = \frac{22}{3} - (- \frac{27}{2}) = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}$ .

Sonuç:

A = \frac{125}{6}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = \frac{1}{x ^{2}}$ eğrisi, $x$ -ekseni ve $x = 1$ ile $x = 3$ doğruları arasında kalan alanı bulunuz.

$[1, 3]$ üzerinde $\frac{1}{x ^{2}} \geq 0$ olduğundan alan doğrudan integraldir.
$A = \int_{1}^{3} x^{- 2} d x = [- \frac{1}{x}]_{1}^{3}$ .
Sınırları yerine yaz: $A = - \frac{1}{3} - (- 1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{2}{3}

birimkare.

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 2 x$ parabolü ile $x$ -ekseni arasında kalan alanı bulunuz.

Kökler: $x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2$ . Sınırlar $0$ ile $2$ .
$[0, 2]$ üzerinde, örneğin $x = 1$ için $1 - 2 = - 1 < 0$ ; bölge eksenin altında, integral negatif çıkar.
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - x^{2}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 4 = - \frac{4}{3}$ .
Alan mutlak değerdir: $A = \frac{4}{3}$ .

Sonuç:

A = \frac{4}{3}

birimkare.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Eğri altı alan (x ekseni üstünde): Sınırları yanlış yerleştirmek (F(a)−F(b)) negatif 'alan' — işaretçe ters değer
x ekseni altındaki bölge (negatif integral tuzağı): İntegral sonucunu (negatif sayıyı) alan olarak vermek örnekte −16/3 — 'alan negatif olamaz' kontrolünü atlayan şık
İki eğri arasındaki alan (üst − alt): Üst-altı ters yazmak (alt − üst) doğru cevabın işaretçe tersi — 'negatif alan' alarmı kaçırılırsa yanlış şık
Parabol–doğru arası alan klasiği: Fark yerine yalnız parabolü integrallemek doğrunun altındaki bölge unutulmuş, ilgisiz değer
Alan verilip parametre bulma (ters problem): Sınırları k'ye bağlamayıp sabit sayı almak k'siz ya da yanlış dereceli denklem — çözümsüzlük paniği
y eksenine göre alan (x = g(y) ile dy integrali): dx ile kurup x sınırları kullanmak (bölgeyi yanlış okumak) tamamlayıcı bölgenin alanı — örnekte 8/3 yerine dikdörtgenden kalan 4·2−8/3 karışıklığı

Soru 1Orta

k > 0

olmak üzere,

y = k x

doğrusu ile

y = x^{2}

parabolü arasında kalan bölgenin alanı

\frac{9}{2}

birimkaredir. Buna göre

k

kaçtır?

Kesişimler: $x^{2} = k x \Rightarrow x (x - k) = 0 \Rightarrow x = 0, x = k$ . Sınırlar $0$ ile $k$ .
Üst-alt: $0 < x < k$ üzerinde doğru üstte ( $k x \geq x^{2}$ ). Alan: $A = \int_{0}^{k} (k x - x^{2}) d x$ .
İntegrali al: $A = [\frac{k x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{k} = \frac{k ^{3}}{2} - \frac{k ^{3}}{3} = \frac{k ^{3}}{6}$ .
Eşitliği kur: $\frac{k ^{3}}{6} = \frac{9}{2} \Rightarrow k^{3} = 27 \Rightarrow k = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 2Orta

y = x^{2} - 3 x

parabolü ile

y = x

doğrusu arasında kalan bölgenin alanı

A

birimkaredir. Buna göre

A

kaçtır?

Kesişimler: $x^{2} - 3 x = x \Rightarrow x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4$ . Sınırlar $0$ ile $4$ .
Üst-alt: $x = 2$ için doğru $y = 2$ , parabol $y = 4 - 6 = - 2$ ; doğru üstte.
"Üst eksi alt" yaz: $A = \int_{0}^{4} (x - (x^{2} - 3 x)) d x = \int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x$ .
İntegrali al: $A = [2 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{4} = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$ .

Sonuç:

\frac{32}{3}

Soru 3Zor

y = x^{3} - 4 x

eğrisi ile

x

-ekseni arasında,

x = - 2

ile

x = 2

arasında kalan bölgenin alanı

A

birimkaredir. Buna göre

A

kaçtır?

Kökler: $x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x = - 2, 0, 2$ . Eğri $x = 0$ 'da ekseni kesiyor; bölgeyi ayır.
**Net integral tuzağı:** $y = x^{3} - 4 x$ tek fonksiyondur; $\int_{- 2}^{2} (x^{3} - 4 x) d x = 0$ çıkar, ama bu alan değildir.
Tek fonksiyon olduğundan iki parçanın alanları eşittir; simetriyle $A = 2 \int_{0}^{2} (x^{3} - 4 x) d x$ .
İntegrali al: $\int_{0}^{2} (x^{3} - 4 x) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - 2 x^{2}]_{0}^{2} = 4 - 8 = - 4$ , mutlak değeri $4$ .
Alan: $A = 2 \cdot 4 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 4Orta

y = 4 - x^{2}

parabolü ile

y = x^{2} - 4

parabolü arasında kalan bölgenin alanı

A

birimkaredir. Buna göre

A

kaçtır?

Kesişimler: $4 - x^{2} = x^{2} - 4 \Rightarrow 8 = 2 x^{2} \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Sınırlar $- 2$ ile $2$ .
Üst-alt: $x = 0$ için $4 - x^{2} = 4$ , $x^{2} - 4 = - 4$ ; $y = 4 - x^{2}$ üstte.
"Üst eksi alt": $A = \int_{- 2}^{2} ((4 - x^{2}) - (x^{2} - 4)) d x = \int_{- 2}^{2} (8 - 2 x^{2}) d x$ .
Çift fonksiyon simetrisi: $A = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2 x^{2}) d x = 2 [8 x - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 2 (16 - \frac{16}{3}) = 2 \cdot \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$ .

Sonuç:

\frac{64}{3}

Soru 5Orta

y = \frac{1}{x}

eğrisi,

x

-ekseni ve

x = 1

ile

x = k

(

k > 1

) doğruları arasında kalan bölgenin alanı

ln 4

birimkaredir. Buna göre

k

kaçtır?

$[1, k]$ üzerinde $\frac{1}{x} > 0$ olduğundan alan doğrudan integraldir: $A = \int_{1}^{k} \frac{1}{x} d x$ .
Antiderivatif: $[ln x]_{1}^{k} = ln k - ln 1 = ln k$ .
Eşitliği kur: $ln k = ln 4 \Rightarrow k = 4$ .
Çeldirici kontrolü: $ln 4 = 2 ln 2$ olduğundan $ln k = 2 ln 2$ yazıp $k = e^{2}$ sanmak (D) yaygın hatadır; doğrusu $k = 4$ 'tür.

Sonuç:

4

Soru 6Zor

y = x^{2}

parabolü ile

y = 8

doğrusu ve

y

-ekseni arasında, birinci bölgede (yani

x \geq 0

) kalan bölgenin alanı

A

birimkaredir. Buna göre

A

kaçtır?

Kesişim (sağ sınır): $x^{2} = 8 \Rightarrow x = 22$ ( $x \geq 0$ ). Sol sınır $y$ -ekseni: $x = 0$ .
Üst-alt: $0 < x < 22$ üzerinde $y = 8$ üstte, $y = x^{2}$ altta.
"Üst eksi alt": $A = \int_{0}^{22} (8 - x^{2}) d x = [8 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{22}$ .
$x = 22$ için: $x^{3} = (22)^{3} = 8 \cdot 22 = 162$ ve $8 x = 162$ . Yani $A = 162 - \frac{16 2}{3} = \frac{48 2 - 16 2}{3} = \frac{32 2}{3}$ .

Sonuç:

\frac{32 2}{3}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Eksen altı bölgede negatif integrali alan sanmak. $f (x) \leq 0$ ise integral negatif çıkar; alan onun mutlak değeridir. Eğri ekseni kesiyorsa kökten ayırıp her parçanın mutlak değerini topla — aksi hâlde bölgeler birbirini götürür (Örnek 3'teki gibi net integral $0$ olabilir).
İki eğride üst-alt fonksiyonunu karıştırmak. "Alt eksi üst" yazarsan sonuç negatif çıkar. Bir deneme noktasıyla hangisinin büyük olduğunu kontrol et, sonra "üst eksi alt" kur.
Kesişim noktalarını bulmadan integre etmek. İki eğri arası alanda integral sınırları rastgele değil, $f (x) = g (x)$ kesişim apsisleridir. Önce kesişimleri çöz.

Sınav İpucu

Önce bölgeyi kabaca çiz ve kesişim/kök noktalarını bul; bunlar integral sınırlarıdır.
Eğri $x$ -eksenini sınırlar arasında kesiyorsa parçalara ayır ve mutlak değerleri topla.
İki eğride doğrudan "üst eksi alt" yaz; sınırlar kesişim apsisleridir, mutlak değere gerek kalmaz.
Simetriden yararlan: integrand çift fonksiyonsa ( $f (- x) = f (x)$ ) ve sınırlar $[- a, a]$ ise $\int_{- a}^{a} f d x = 2 \int_{0}^{a} f d x$ ile işlemi kısalt.

1. Eğri ile x-Ekseni Arasındaki Alan

Eğri Ekseni Kesiyorsa: Bölgeleri Ayır

2. İki Eğri Arasındaki Alan

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

İntegral — diğer konular

1. Eğri ile $x$ -Ekseni Arasındaki Alan