AYT Matematik · İntegral

Belirsiz İntegral ve Temel Kurallar

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Belirsiz integral, türev almanın tersi işlemdir: türevi verilen bir fonksiyonu geri bulmaktır. Bu konu, ters türev kavramını, integral sabiti $c$ 'nin neden zorunlu olduğunu ve sınavda doğrudan kullanacağın temel integral kurallarını kurar. Her kuralı türev alarak kontrol etmeyi alışkanlık hâline getir; integralde tek güvenilir denetim budur.

1. Ters Türev (Belirsiz İntegral) Kavramı

$F$ fonksiyonunun türevi $f$ ise, yani $F^{'} (x) = f (x)$ ise, $F$ 'ye $f$ 'nin bir ters türevi (ilkel fonksiyonu) denir. Bunu şöyle gösteririz:

$\int f (x) d x = F (x) + c ⟺ F^{'} (x) = f (x)$

Buradaki $f (x)$ 'e integrand, $d x$ 'e ise değişkenin $x$ olduğunu belirten diferansiyel denir. İntegral almak, "türevi $f (x)$ olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlamaktır.

İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?

Sabitin türevi sıfırdır. Bu yüzden $F (x)$ bir ters türevse, $F (x) + 5$ , $F (x) - 2$ ve genel olarak $F (x) + c$ de aynı türeve sahiptir. Türevi aynı olan sonsuz çoklukta fonksiyon vardır ve bunlar birbirinden yalnızca bir sabitle ayrılır. Bu sonsuz aileyi tek ifadeyle yazmak için integral sabiti $c$ her zaman eklenir.

Sık yapılan hata: Sonuca $+ c$ eklemeyi unutmak. Belirsiz integralin cevabı tek bir fonksiyon değil, $+ c$ 'li bir fonksiyon ailesidir; $c$ 'siz cevap eksiktir.

2. Temel İntegral Kuralları

Aşağıdaki kuralların her biri, sağ tarafın türevi alınarak doğrulanabilir (türev, soldaki integrand'a eşit çıkar):

İntegral	Sonuç	Koşul
$\int k d x$	$k x + c$	$k$ sabit
$\int x^{n} d x$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + c$	$n \neq = - 1$
$\int \frac{1}{x} d x$	$ln ∣ x ∣ + c$	$x \neq = 0$
$\int e^{x} d x$	$e^{x} + c$
$\int a^{x} d x$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + c$	$a > 0, a \neq = 1$
$\int sin x d x$	$- cos x + c$
$\int cos x d x$	$sin x + c$
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x$	$tan x + c$

Kuvvet kuralında $n = - 1$ değeri payda $n + 1 = 0$ yaptığından yasaktır; bu tek durumun karşılığı ayrı bir kuraldır: $\int x^{- 1} d x = ln ∣ x ∣ + c$ .

Doğrusallık Kuralları

İntegral doğrusal bir işlemdir: sabit çarpan dışarı alınır, toplam–fark terim terim integrallenir.

$\int c f (x) d x = c \int f (x) d x \int (f (x) \pm g (x)) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Bu iki kural sayesinde polinomları ve birden çok terimli ifadeleri terim terim integralleyebiliriz.

Örnek

Soru

$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile terim terim ayır: $\int 3 x^{2} d x - \int 4 x d x + \int 5 d x$ .
Kuvvet kuralını her terime uygula: $3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 5 x$ .
Sadeleştir ve tek bir $c$ ekle: $x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c$ .
Kontrol: $(x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c)^{'} = 3 x^{2} - 4 x + 5$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + c

Örnek

Soru

$\int (x + \frac{1}{x ^{2}}) d x$ integralini hesaplayınız.

Kök ve paydadaki kuvvetleri önce üslü ifadeye çevir: $x = x^{1/2}$ ve $\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}$ . Sonra kuvvet kuralını uygula.

Terimleri üslü yaz: $\int x^{1/2} d x + \int x^{- 2} d x$ .
İlk terim ( $n = \frac{1}{2}$ ): $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ .
İkinci terim ( $n = - 2$ ): $\frac{x ^{- 1}}{- 1} = - x^{- 1} = - \frac{1}{x}$ .
Birleştir: $\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{x} + c$ .
Kontrol: $(\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{x})^{'} = x^{1/2} + x^{- 2} = x + \frac{1}{x ^{2}}$ . Doğru.

Sonuç:

\int (x + \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{x} + c

Örnek

Soru

$\int (2 cos x - e^{x}) d x$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $2 \int cos x d x - \int e^{x} d x$ .
Temel kuralları uygula: $\int cos x d x = sin x$ ve $\int e^{x} d x = e^{x}$ .
Yerine yaz ve $c$ ekle: $2 sin x - e^{x} + c$ .
Kontrol: $(2 sin x - e^{x} + c)^{'} = 2 cos x - e^{x}$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\int (2 cos x - e^{x}) d x = 2 sin x - e^{x} + c

Örnek

Soru

$F^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ ve $F (1) = 4$ olduğuna göre $F (x)$ fonksiyonunu bulunuz.

Önce integral alıp $F (x)$ 'i $+ c$ ile genel hâlde yaz. Sonra verilen başlangıç koşulu $F (1) = 4$ 'ü kullanarak $c$ 'yi sayısal olarak belirle.

$F^{'} (x)$ 'in integralini al: $F (x) = \int (3 x^{2} - 2) d x = x^{3} - 2 x + c$ .
Başlangıç koşulunu yerine yaz: $F (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1 + c = 1 - 2 + c = - 1 + c$ .
$- 1 + c = 4$ denkleminden $c$ 'yi çöz: $c = 5$ .
$c$ 'yi yerine koy: $F (x) = x^{3} - 2 x + 5$ .
Kontrol: $F^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ ve $F (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ . Her iki koşul da sağlanır.

Sonuç:

F (x) = x^{3} - 2 x + 5

Örnek

Soru

$\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x$ integralini hesaplayınız.

Bölme hâlindeki ifadeyi doğrudan integralleyemezsin. Önce payı paydaya terim terim böl: $\frac{x ^{2} + 1}{x} = \frac{x ^{2}}{x} + \frac{1}{x}$ .

İfadeyi terim terim sadeleştir: $\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\int x d x + \int \frac{1}{x} d x$ .
Birinci terim kuvvet kuralıyla: $\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}$ .
İkinci terim $n = - 1$ istisnasıyla: $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣$ .
Birleştir: $\frac{x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣ + c$ .
Kontrol: $(\frac{x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣)^{'} = x + \frac{1}{x} = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ . Doğru.

Sonuç:

\int \frac{x ^{2} + 1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} + ln ∣ x ∣ + c

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\int (x - 2) (x + 3) d x$ integralini hesaplayınız.

Çarpımı önce aç: $(x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6$ .
Terim terim integralle: $\int x^{2} d x + \int x d x - \int 6 d x$ .
Kuvvet kuralını uygula: $\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - 6 x + c$ .
Kontrol: $(\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - 6 x)^{'} = x^{2} + x - 6$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\int (x - 2) (x + 3) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - 6 x + c

Örnek

Soru

$\int (\frac{4}{x} + 3 e^{x}) d x$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $4 \int \frac{1}{x} d x + 3 \int e^{x} d x$ .
$n = - 1$ istisnası ve üstel kuralı uygula: $4 ln ∣ x ∣ + 3 e^{x}$ .
Tek bir $c$ ekle: $4 ln ∣ x ∣ + 3 e^{x} + c$ .
Kontrol: $(4 ln ∣ x ∣ + 3 e^{x})^{'} = \frac{4}{x} + 3 e^{x}$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\int (\frac{4}{x} + 3 e^{x}) d x = 4 ln ∣ x ∣ + 3 e^{x} + c

Örnek

Soru

$\int 3 x d x$ integralini hesaplayınız.

Kökü üslü forma çevir: $3 x = x^{1/3}$ , yani $n = \frac{1}{3}$ .
Kuvvet kuralını uygula: $\frac{x ^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4} x^{4/3}$ .
Sabiti ekle: $\frac{3}{4} x^{4/3} + c$ .
Kontrol: $(\frac{3}{4} x^{4/3})^{'} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{1/3} = x^{1/3} = 3 x$ . Doğru.

Sonuç:

\int 3 x d x = \frac{3}{4} x^{4/3} + c

Örnek

Soru

$\int (\frac{3}{cos ^{2} x} - sin x) d x$ integralini hesaplayınız.

Doğrusallık ile ayır: $3 \int \frac{1}{cos ^{2} x} d x - \int sin x d x$ .
Temel kuralları uygula: $\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x$ ve $\int sin x d x = - cos x$ .
Yerine yaz: $3 tan x - (- cos x) = 3 tan x + cos x + c$ .
Kontrol: $(3 tan x + cos x)^{'} = \frac{3}{cos ^{2} x} - sin x$ . İntegrand'a eşit.

Sonuç:

\int (\frac{3}{cos ^{2} x} - sin x) d x = 3 tan x + cos x + c

Örnek

Soru

$\int \frac{x ^{3} - x}{x ^{2}} d x$ integralini hesaplayınız.

Payı paydaya terim terim böl: $\frac{x ^{3} - x}{x ^{2}} = \frac{x ^{3}}{x ^{2}} - \frac{x}{x ^{2}} = x - \frac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\int x d x - \int \frac{1}{x} d x$ .
Kuralları uygula: $\frac{x ^{2}}{2} - ln ∣ x ∣ + c$ .
Kontrol: $(\frac{x ^{2}}{2} - ln ∣ x ∣)^{'} = x - \frac{1}{x} = \frac{x ^{3} - x}{x ^{2}}$ . Doğru.

Sonuç:

\int \frac{x ^{3} - x}{x ^{2}} d x = \frac{x ^{2}}{2} - ln ∣ x ∣ + c

Örnek

Soru

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 2$ ve $f (0) = 5$ olduğuna göre $f (2)$ değerini bulunuz.

Türevin integralini al: $f (x) = \int (6 x^{2} + 2) d x = 2 x^{3} + 2 x + c$ .
Başlangıç koşulunu kullan: $f (0) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + c = c = 5$ , yani $c = 5$ .
Fonksiyonu yaz: $f (x) = 2 x^{3} + 2 x + 5$ .
İstenen değeri hesapla: $f (2) = 2 \cdot 8 + 2 \cdot 2 + 5 = 16 + 4 + 5 = 25$ .

Sonuç:

f (2) = 25

Örnek

Soru

$\int \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} d x$ integralini hesaplayınız.

Payı aç: $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ .
Paydaya terim terim böl: $\frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$ .
İntegrali ayır: $\int x d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$ .
Kuralları uygula: $\frac{x ^{2}}{2} + 2 x + ln ∣ x ∣ + c$ .
Kontrol: $(\frac{x ^{2}}{2} + 2 x + ln ∣ x ∣)^{'} = x + 2 + \frac{1}{x} = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x}$ . Doğru.

Sonuç:

\int \frac{( x + 1 ) ^{2}}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + ln ∣ x ∣ + c

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Kuvvet kuralıyla belirsiz integral: Üssü artırmak yerine türevdeki gibi azaltmak iki derece düşük, tamamen yanlış ifade
+C sabitinin koşulla bulunması (başlangıç değeri): C'yi hiç yazmayıp doğrudan istenen noktayı koymak koşuldan gelen kayma kadar eksik/fazla değer
Türev–integral ters işlem ilişkisi: Soruyu ters anlayıp F'nin bir kez daha integralini almak derecesi iki basamak kaymış, şıklarda olmayan ifade — paniğe yol açar
Köklü ve paydalı ifadelerin integrali (kesirli/negatif üs): x⁻²'nin integralinde işareti yanlış alıp +1/x yazmak doğru terimin işaretçe tersi
Teğet eğiminden eğri bulma (türev-integral birleşik): Eğim ifadesini eğrinin denklemi sanmak (integral almamak) verilen noktayı sağlamayan, düşük dereceli yanlış eğri
1/x'in integrali (ln|x| istisnası): Kuvvet kuralını zorlayıp x⁰/0 yazmaya çalışmak tanımsız ifade — soruyu boş bıraktırır

Soru 1Orta

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x

f (1) = 3

veriliyor. Buna göre

f (2)

kaçtır?

$f$ fonksiyonunu bulmak için türevin integralini al: $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + c$ .
Başlangıç koşulunu kullan: $f (1) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + c = c$ . Buradan $c = 3$ .
Fonksiyon: $f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3$ .
İstenen değeri hesapla: $f (2) = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11$ .
Kontrol: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x$ ve $f (1) = 2 - 2 + 3 = 3$ . Her iki koşul da sağlanır.

Sonuç:

11

Soru 2Kolay

Sürekli bir

g

fonksiyonu için

\int_{1}^{4} g (x) d x = 10

\int_{3}^{4} g (x) d x = 2

veriliyor. Buna göre

\int_{1}^{3} g (x) d x

kaçtır?

Belirli integralin sınır birleştirme özelliğini yaz: $\int_{1}^{4} g (x) d x = \int_{1}^{3} g (x) d x + \int_{3}^{4} g (x) d x$ .
Bilinen değerleri yerine koy: $10 = \int_{1}^{3} g (x) d x + 2$ .
Aranan integrali yalnız bırak: $\int_{1}^{3} g (x) d x = 10 - 2 = 8$ .
Kontrol: $8 + 2 = 10$ olduğundan $\int_{1}^{4} g (x) d x = 10$ sağlanır.

Sonuç:

8

Soru 3Orta

F (x) = \int_{2}^{x} (3 t^{2} + 1) d t

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre

F^{'} (2) + F (2)

toplamı kaçtır?

Türev–integral ilişkisini (analizin temel teoremi) uygula: $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ , çünkü değişken alt sınırda değil üst sınırdadır.
$F^{'} (2)$ 'yi hesapla: $F^{'} (2) = 3 \cdot 4 + 1 = 13$ .
$F (2)$ 'yi bul: üst ve alt sınır eşit olduğundan $F (2) = \int_{2}^{2} (3 t^{2} + 1) d t = 0$ .
Toplamı yaz: $F^{'} (2) + F (2) = 13 + 0 = 13$ .

Sonuç:

13

Soru 4Orta

Bir eğrinin her

(x, y)

noktasındaki teğetinin eğimi

4 x - 3

'tür. Bu eğri

(2, 5)

noktasından geçtiğine göre, eğrinin

x = 1

apsisli noktasının ordinatı kaçtır?

Teğet eğimi türevdir: $y^{'} = 4 x - 3$ . Eğriyi bulmak için integral al: $y = \int (4 x - 3) d x = 2 x^{2} - 3 x + c$ .
$(2, 5)$ noktasını yerine koy: $5 = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + c = 8 - 6 + c = 2 + c$ . Buradan $c = 3$ .
Eğri: $y = 2 x^{2} - 3 x + 3$ .
$x = 1$ için ordinatı hesapla: $y = 2 - 3 + 3 = 2$ .
Kontrol: $y^{'} = 4 x - 3$ ve $(2, 5)$ : $2 \cdot 4 - 6 + 3 = 5$ . Sağlanır.

Sonuç:

2

Soru 5Zor

\int f (x) d x = x^{2} ln x + c

olduğuna göre,

f (e)

kaçtır?

İntegralin sonucu antiderivatiftir; dolayısıyla $f (x) = (x^{2} ln x)^{'}$ .
Çarpım kuralı: $(x^{2} ln x)^{'} = 2 x \cdot ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x$ .
$f (x) = 2 x ln x + x$ . İstenen $f (e)$ : $ln e = 1$ olduğundan $f (e) = 2 e \cdot 1 + e = 2 e + e = 3 e$ .
Çeldirici kontrolü: $ln$ türevini atlayıp yalnız $2 x ln x$ alan $2 e$ (D) bulur; $+ x$ terimini unutmamak gerekir.

Sonuç:

3 e

Soru 6Zor

f^{''} (x) = 12 x - 2

f^{'} (1) = 4

f (0) = 3

olduğuna göre

f (1)

kaçtır?

İlk integral: $f^{'} (x) = \int (12 x - 2) d x = 6 x^{2} - 2 x + c_{1}$ .
$f^{'} (1) = 4$ koşulu: $6 - 2 + c_{1} = 4 \Rightarrow c_{1} = 0$ . Yani $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x$ .
İkinci integral: $f (x) = \int (6 x^{2} - 2 x) d x = 2 x^{3} - x^{2} + c_{2}$ .
$f (0) = 3$ koşulu: $0 - 0 + c_{2} = 3 \Rightarrow c_{2} = 3$ . Yani $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 3$ .
İstenen değer: $f (1) = 2 - 1 + 3 = 4$ .

Sonuç:

4

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

İntegral sabiti $+ c$ 'yi unutmak. Belirsiz integralin cevabı bir fonksiyon ailesidir; $+ c$ olmadan eksik sayılır.
Kuvvet kuralını $n = - 1$ 'de zorlamak. $\int x^{- 1} d x$ , payda sıfır olacağından $\frac{x ^{0}}{0}$ değildir; doğrusu $ln ∣ x ∣ + c$ 'dir.
$\int \frac{1}{x ^{2}} d x$ 'i $ln$ sanmak. Burada üs $n = - 2$ 'dir, $n = - 1$ değildir; kuvvet kuralı geçerlidir ve sonuç $- \frac{1}{x} + c$ olur. Yalnızca $\frac{1}{x}$ (yani $x^{- 1}$ ) integralinde $ln$ çıkar.
İntegral ile türevi karıştırmak. İntegral, kuvveti bir artırır ( $x^{n} \to x^{n + 1}$ ); türev ise bir azaltır. Yön karıştığında cevap ters çıkar.

Sınav İpucu

Türev alarak doğrula: Bulduğun sonucun türevini al; integrand'a eşitse cevap kesin doğrudur. Belirsiz integralde bu, tek ve en hızlı denetimdir.
Önce sadeleştir, sonra integralle: Bölme veya çarpım içeren ifadeleri ( $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ , $x \cdot x$ gibi) doğrudan integralleme; önce terim terim böl ya da üslü forma çevir, ardından kuvvet kuralını uygula.
Başlangıç koşullu sorularda ( $F (a) = b$ ) önce $+ c$ 'li genel çözümü yaz, sonra koşulu yerine koyup $c$ 'yi sayısal olarak bul; $c$ 'yi belirsiz bırakma.

1. Ters Türev (Belirsiz İntegral) Kavramı

İntegral Sabiti c Neden Daima Yazılır?

2. Temel İntegral Kuralları

Doğrusallık Kuralları

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İntegral — diğer konular

İntegral Sabiti $c$ Neden Daima Yazılır?