AYT Matematik · İntegral

Belirli İntegral ve Analizin Temel Teoremi

~10 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Belirsiz integral bir fonksiyon ailesidir ( $+ c$ ile sonsuz tane); belirli integral ise tek bir sayıdır. İkisi arasındaki köprüyü Analizin Temel Teoremi kurar: türevi bilinen bir antiderivatifi iki sınırda değerlendirip farkını alırız. Bu konu, belirli integralin tanımını, Newton–Leibniz formülünü ve sınavda en çok puan getiren özelliklerini eksiksiz işler.

1. Belirli İntegral Bir Sayıdır

$f$ fonksiyonu $[a, b]$ aralığında sürekli olsun. Bu aralıktaki belirli integral

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

ifadesi, $a$ ile $b$ arasında belirlenmiş tek bir gerçek sayıdır. Burada $a$ alt sınır, $b$ üst sınırdır; $x$ ise kukla (dummy) değişkendir — onun yerine başka bir harf yazmak sonucu değiştirmez:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$

Belirsiz integralle farkı net tutun:

	Belirsiz integral	Belirli integral
Gösterim	$\int f (x) d x$	$\int_{a}^{b} f (x) d x$
Sonuç	Bir fonksiyon ailesi ( $F (x) + c$ )	Bir sayı
$+ c$	Yazılır	Yazılmaz (sadeleşir)

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz)

$f$ , $[a, b]$ üzerinde sürekli ve $F$ onun bir antiderivatifi ise, yani $F^{'} (x) = f (x)$ ise:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Yani integralin değeri, antiderivatifin üst sınırdaki değeri eksi alt sınırdaki değeridir. Sıra önemlidir: önce $F (b)$ , sonra $F (a)$ .

Neden $+ c$ yazmıyoruz? Antiderivatif $F (x) + c$ alınsaydı, $(F (b) + c) - (F (a) + c) = F (b) - F (a)$ olurdu; $c$ sabiti farkta sadeleşir. Bu yüzden belirli integralde köşeli parantez içine asla $+ c$ yazılmaz.

Üst Sınırı Değişken Olan İntegralin Türevi

Alt sınır sabit, üst sınır değişken olan bir integral aslında bir fonksiyon tanımlar. Teoremin türev biçimi şudur:

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) .$

Üst sınır $x$ yerine $g (x)$ gibi bir ifadeyse zincir kuralı devreye girer:

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) \cdot g^{'} (x) .$

Buradaki $g^{'} (x)$ çarpanını unutmak, AYT'de bu tip soruların en sık çeldiricisidir.

3. Belirli İntegralin Özellikleri

Aşağıdaki özellikler, integral hesaplarını kısaltır ve sınav sorularının çoğunun temelidir:

Özellik	Formül
Aynı sınır	$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
Sınır değişimi	$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$
Toplam – fark	$\int_{a}^{b} (f \pm g) d x = \int_{a}^{b} f d x \pm \int_{a}^{b} g d x$
Sabitle çarpım	$\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x) d x$
Aralık bölme	$\int_{a}^{c} f d x + \int_{c}^{b} f d x = \int_{a}^{b} f d x$

Dikkat: Belirli integral bir işaretli değerdir, alan değil. $f$ aralıkta negatifse $\int_{a}^{b} f (x) d x$ negatif çıkabilir. Alan istendiğinde mutlak değer/işaret ayrı düşünülür.

Örnek

Soru

$\int_{1}^{3} 2 x d x$ integralini hesaplayınız.

Antiderivatifi bul: $2 x$ 'in antiderivatifi $x^{2}$ 'dir (çünkü $\frac{d}{d x} x^{2} = 2 x$ ).
Newton–Leibniz uygula: $\int_{1}^{3} 2 x d x = [x^{2}]_{1}^{3}$ .
Üst sınır eksi alt sınır: $3^{2} - 1^{2} = 9 - 1 = 8$ .

Sonuç:

\int_{1}^{3} 2 x d x = 8

Örnek

Soru

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x$ integralini hesaplayınız.

Toplam–fark özelliğini kullan; her terimin antiderivatifini ayrı ayrı al, sonra tek bir köşeli parantezde sınırları yerine yaz.

Terim terim antiderivatif al: $3 x^{2} \to x^{3}$ , $2 x \to x^{2}$ . Yani antiderivatif $x^{3} - x^{2}$ .
Newton–Leibniz: $\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x = [x^{3} - x^{2}]_{1}^{2}$ .
Üst sınır ( $x = 2$ ): $2^{3} - 2^{2} = 8 - 4 = 4$ .
Alt sınır ( $x = 1$ ): $1^{3} - 1^{2} = 1 - 1 = 0$ .
Farkı al: $4 - 0 = 4$ .

Sonuç:

\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x = 4

Örnek

Soru

$\int_{0}^{π /2} cos x d x$ integralini hesaplayınız.

$cos x$ 'in antiderivatifi $sin x$ 'tir (çünkü $\frac{d}{d x} sin x = cos x$ ).
Newton–Leibniz: $\int_{0}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{0}^{π /2}$ .
Sınırları yerine yaz: $sin \frac{π}{2} - sin 0 = 1 - 0 = 1$ .

Sonuç:

\int_{0}^{π /2} cos x d x = 1

Örnek

Soru

$\int_{0}^{1} e^{x} d x$ integralini hesaplayınız.

$e^{x}$ 'in antiderivatifi yine $e^{x}$ 'tir (çünkü $\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$ ).
Newton–Leibniz: $\int_{0}^{1} e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1}$ .
Sınırları yerine yaz: $e^{1} - e^{0} = e - 1$ .

Sonuç:

\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1

Örnek

Soru

$\int_{0}^{2} f (x) d x = 5$ ve $\int_{2}^{5} f (x) d x = 3$ veriliyor. $\int_{0}^{5} f (x) d x$ kaçtır?

$f$ 'in açık ifadesini bilmene gerek yok. Aralık bölme özelliğini ters yönde kullan.

Aralık bölme özelliği: $\int_{0}^{2} f d x + \int_{2}^{5} f d x = \int_{0}^{5} f d x$ ( $c = 2$ ara noktası).
Verilen değerleri yerine yaz: $5 + 3 = 8$ .

Sonuç:

\int_{0}^{5} f (x) d x = 8

Örnek

Soru

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ integralini değişken değiştirerek hesaplayınız.

$u = x^{2} + 1$ dönüşümünü yap. Değişkenle birlikte sınırları da $u$ cinsine çevir; böylece geri $x$ 'e dönmen gerekmez.

Dönüşümü seç: $u = x^{2} + 1$ . O zaman $d u = 2 x d x$ olur ki bu tam payımızdaki $2 x d x$ 'tir.
Sınırları güncelle: $x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1$ ve $x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2$ .
İntegrali $u$ cinsine yaz: $\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} u^{3} d u$ .
Antiderivatifi al ve değerlendir: $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{2 ^{4}}{4} - \frac{1 ^{4}}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ .

Sonuç:

\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\int_{1}^{4} (2 x - 1) d x$ integralini hesaplayınız.

Terim terim antiderivatif al: $2 x \to x^{2}$ , $- 1 \to - x$ . Antiderivatif $x^{2} - x$ .
Newton–Leibniz: $[x^{2} - x]_{1}^{4}$ .
Üst sınır ( $x = 4$ ): $4^{2} - 4 = 16 - 4 = 12$ .
Alt sınır ( $x = 1$ ): $1^{2} - 1 = 0$ .
Farkı al: $12 - 0 = 12$ .

Sonuç:

\int_{1}^{4} (2 x - 1) d x = 12

Örnek

Soru

$\int_{0}^{9} x d x$ integralini hesaplayınız.

$x = x^{1/2}$ olarak yaz; kuvvet kuralıyla antiderivatif al.

Üslü forma geç: $x = x^{1/2}$ .
Antiderivatif: $\frac{x ^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$ .
Newton–Leibniz: $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{9}$ .
Sınırları yerine yaz: $\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ .

Sonuç:

\int_{0}^{9} x d x = 18

Örnek

Soru

$\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x) d x$ integralini hesaplayınız.

Antiderivatifi bul: $x^{3} \to \frac{x ^{4}}{4}$ , $x \to \frac{x ^{2}}{2}$ . Antiderivatif $\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{2}}{2}$ .
Üst sınır ( $x = 1$ ): $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ .
Alt sınır ( $x = - 1$ ): $\frac{( - 1 ) ^{4}}{4} + \frac{( - 1 ) ^{2}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ .
Farkı al: $\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0$ . (İntegrand tek fonksiyon, simetrik aralıkta integrali sıfır.)

Sonuç:

\int_{- 1}^{1} (x^{3} + x) d x = 0

Örnek

Soru

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$ integralini hesaplayınız.

$\frac{1}{x}$ 'in antiderivatifi $ln x$ 'tir (çünkü $\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$ ).
Newton–Leibniz: $[ln x]_{1}^{e}$ .
Sınırları yerine yaz: $ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1$ .

Sonuç:

\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = 1

Örnek

Soru

$\int_{0}^{3} f (x) d x = 7$ veriliyor. $\int_{0}^{3} (2 f (x) + 1) d x$ kaçtır?

Toplam–fark ve sabitle çarpım özelliklerini kullan; $\int_{0}^{3} 1 d x$ aralık uzunluğudur.

İntegrali parçala: $\int_{0}^{3} (2 f (x) + 1) d x = 2 \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} 1 d x$ .
İlk terim: $2 \cdot 7 = 14$ .
İkinci terim: $[x]_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$ .
Topla: $14 + 3 = 17$ .

Sonuç:

\int_{0}^{3} (2 f (x) + 1) d x = 17

Örnek

Soru

$\int_{0}^{π} sin x d x$ integralini hesaplayınız.

$sin x$ 'in antiderivatifi $- cos x$ 'tir (çünkü $\frac{d}{d x} (- cos x) = sin x$ ).
Newton–Leibniz: $[- cos x]_{0}^{π}$ .
Sınırları yerine yaz: $- cos π - (- cos 0) = - (- 1) + 1 = 1 + 1 = 2$ .

Sonuç:

\int_{0}^{π} sin x d x = 2

Örnek

Soru

$\int_{2}^{3} \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x$ integralini değişken değiştirerek hesaplayınız.

$u = x^{2} - 1$ al; payı tam $d u$ verir. Sınırları $u$ cinsine çevir.

Dönüşümü seç: $u = x^{2} - 1$ . O zaman $d u = 2 x d x$ olur ki bu tam paydaki ifadedir.
Sınırları güncelle: $x = 2 \Rightarrow u = 2^{2} - 1 = 3$ ve $x = 3 \Rightarrow u = 3^{2} - 1 = 8$ .
İntegrali $u$ cinsine yaz: $\int_{2}^{3} \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x = \int_{3}^{8} \frac{1}{u} d u$ .
Antiderivatifi al ve değerlendir: $[ln u]_{3}^{8} = ln 8 - ln 3 = ln \frac{8}{3}$ .

Sonuç:

\int_{2}^{3} \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x = ln \frac{8}{3}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Temel teorem: F(b) − F(a) hesabı (Newton–Leibniz): F(a) − F(b) hesaplamak (sırayı ters almak) doğru cevabın işaretçe tersi
Aralık toplamı özelliği (∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ = ∫ₐᶜ): Ters sınırlı integralde işaret değiştirmeyi unutmak doğru cevabın işaretçe tersi
Parçalı fonksiyonun belirli integrali: Tek kuralı tüm aralığa uygulamak (bölmeyi atlamak) örnekte ∫₀²x²dx = 8/3 — 7/3 yerine yanlış şık
Tek–çift fonksiyon simetri kısayolu: Tek terimi de hesaba katmak (simetriyi görmemek) zaman kaybı + işaret hatası riski; x³ terimi zaten 0 verir
Mutlak değerli fonksiyonun integrali: Mutlak değeri atıp doğrudan içini integrallemek örnekte ∫₀³(x−1)dx = 3/2 — 5/2 yerine en dolu yanlış şık
Değişken üst sınırlı integralin türevi (d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)): Önce integrali açıkça hesaplayıp sonra türev almak doğru ama yavaş; işlem hatası riski — sınavda zaman tuzağı

Soru 1Orta

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f^{'} (x) d x = 5

\int_{2}^{6} f^{'} (x) d x = - 3

f (0) = 4

veriliyor. Buna göre

f (6)

kaçtır?

Aralık bölme özelliğiyle türevin tüm aralıktaki integralini topla: $\int_{0}^{6} f^{'} (x) d x = \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x + \int_{2}^{6} f^{'} (x) d x = 5 + (- 3) = 2$ .
Analizin Temel Teoremi: $\int_{0}^{6} f^{'} (x) d x = f (6) - f (0)$ .
Değerleri yerine yaz: $f (6) - f (0) = 2$ , yani $f (6) - 4 = 2$ .
Çöz: $f (6) = 6$ .

Sonuç:

6

Soru 2Orta

Bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{5} f (x) d x = 12

\int_{1}^{3} f (x) d x = 8

veriliyor. Buna göre

\int_{5}^{3} 3 f (x) d x

kaçtır?

Aralık bölme özelliğiyle aradaki integrali bul: $\int_{1}^{3} f d x + \int_{3}^{5} f d x = \int_{1}^{5} f d x$ , yani $8 + \int_{3}^{5} f d x = 12$ .
Buradan $\int_{3}^{5} f (x) d x = 12 - 8 = 4$ .
Sınır değişimi özelliği: $\int_{5}^{3} f (x) d x = - \int_{3}^{5} f (x) d x = - 4$ .
Sabitle çarpım özelliği: $\int_{5}^{3} 3 f (x) d x = 3 \cdot (- 4) = - 12$ .

Sonuç:

- 12

Soru 3Orta

Türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{4} f (x) d x = 9

veriliyor. Buna göre

\int_{1}^{4} (2 f (x) - x) d x

kaçtır?

Toplam–fark ve sabitle çarpım özellikleriyle integrali ayır: $\int_{1}^{4} (2 f (x) - x) d x = 2 \int_{1}^{4} f (x) d x - \int_{1}^{4} x d x$ .
İlk terim: $2 \cdot 9 = 18$ .
İkinci terimi Newton–Leibniz ile hesapla: $\int_{1}^{4} x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ .
Farkı al: $18 - \frac{15}{2} = \frac{36}{2} - \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$ .

Sonuç:

\frac{21}{2}

Soru 4Zor

F (x) = \int_{1}^{x^{2}} \frac{1}{t} d t

fonksiyonu

x > 0

için tanımlanıyor. Buna göre

F^{'} (x)

aşağıdakilerden hangisidir?

Analizin temel teoreminin zincir kurallı biçimi: $\frac{d}{d x} \int_{1}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ .
Burada $f (t) = \frac{1}{t}$ ve $g (x) = x^{2}$ , $g^{'} (x) = 2 x$ .
Yerine yaz: $F^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2}} = \frac{2}{x}$ .
Çeldirici kontrolü: $g^{'} (x) = 2 x$ çarpanını (zincir kuralını) unutan, B şıkkındaki $\frac{1}{x ^{2}}$ veya $\frac{1}{x}$ 'i seçer.

Sonuç:

\frac{2}{x}

Soru 5Orta

f

sürekli bir fonksiyon ve

a

bir gerçek sayı olmak üzere

\int_{0}^{3} f (x) d x = 8

veriliyor. Buna göre

\int_{0}^{3} (f (x) + a) d x = 20

eşitliğini sağlayan

a

kaçtır?

Toplam özelliğiyle ayır: $\int_{0}^{3} (f (x) + a) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} a d x$ .
İlk terim $8$ ; ikinci terim sabit integralidir: $\int_{0}^{3} a d x = a [x]_{0}^{3} = 3 a$ .
Eşitliği kur: $8 + 3 a = 20 \Rightarrow 3 a = 12 \Rightarrow a = 4$ .
Çeldirici kontrolü: $\int_{0}^{3} a d x$ 'i $a$ (aralık uzunluğunu unutarak) sanan, $8 + a = 20$ 'den $a = 12$ bulur — hata.

Sonuç:

4

Soru 6Zor

f

fonksiyonu tüm gerçek sayılarda **tek fonksiyon** (

f (- x) = - f (x)

) ve süreklidir.

\int_{0}^{4} f (x) d x = 6

veriliyor. Buna göre

\int_{- 4}^{4} (f (x) + x^{2}) d x

kaçtır?

Toplam özelliğiyle ayır: $\int_{- 4}^{4} f (x) d x + \int_{- 4}^{4} x^{2} d x$ .
$f$ tek fonksiyon ve aralık simetrik olduğundan $\int_{- 4}^{4} f (x) d x = 0$ . (Verilen $6$ değeri tuzaktır.)
$x^{2}$ çift fonksiyon: $\int_{- 4}^{4} x^{2} d x = 2 \int_{0}^{4} x^{2} d x = 2 [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{4} = 2 \cdot \frac{64}{3} = \frac{128}{3}$ .
Topla: $0 + \frac{128}{3} = \frac{128}{3}$ .
Çeldirici kontrolü: tek fonksiyon simetrisini atlayıp $6$ 'yı ekleyen B şıkkını seçer.

Sonuç:

\frac{128}{3}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Sırayı ters çevirmek: $F (b) - F (a)$ yerine $F (a) - F (b)$ yazmak. Sonuç ters işaretli çıkar. Daima üst sınır eksi alt sınır.
Gereksiz $+ c$ yazmak: Belirli integralde sabit sadeleşir; köşeli parantez içine $+ c$ koymak gereksizdir.
Sınırları güncellememek: Değişken değiştirmeli belirli integralde $u$ 'ya geçtikten sonra sınırları $u$ cinsine çevirmeyi unutmak. Ya sınırları çevir ya da $x$ 'e geri dön — ikisini karıştırma.
İşareti unutmak: Belirli integral alan değil, işaretli değerdir; negatif çıkabileceğini göz ardı etmek.

Sınav İpucu

Bir belirli integral gördüğünde refleksin şu olsun: önce antiderivatifi (belirsiz integrali) bul, sonra $[F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ ile bitir. Eğer dönüşüm (değişken değiştirme) yapıyorsan sınırları da $u$ cinsine çevir; bu durumda işlemin sonunda $x$ 'e geri dönmene gerek kalmaz, doğrudan $u$ sınırlarında değerlendirirsin. $f$ 'in formülü verilmeyip yalnızca bazı integral değerleri verildiğinde, soru kesinlikle özelliklerle (aralık bölme, sabitle çarpım, toplam–fark) çözülüyordur.

1. Belirli İntegral Bir Sayıdır

2. Analizin Temel Teoremi (Newton–Leibniz)

Üst Sınırı Değişken Olan İntegralin Türevi

3. Belirli İntegralin Özellikleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İntegral — diğer konular