AYT Matematik · İntegral

Değişken Değiştirme (Yerine Koyma) Yöntemi

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Değişken değiştirme (yerine koyma), zincir kuralının tersidir. İçinde bir ifadeyle birlikte o ifadenin türevi de bulunan integralleri, $u$ adında tek bir değişkene indirgeyerek çözmemizi sağlar. AYT'de en çok karşımıza çıkan integral tekniğidir; bu konuyu refleks hâline getirmek, integral sorularının çoğunu birkaç satırda bitirir.

1. Yöntemin Temeli

Zincir kuralı bize $\frac{d}{d x} F (g (x)) = F^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ der. Bu eşitliğin her iki yanının integralini alırsak yöntemin çekirdeği ortaya çıkar:

$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, u = g (x) .$

Buradaki kilit fikir şudur: $u = g (x)$ dersek, diferansiyel $d u = g^{'} (x) d x$ olur. Yani integrandda hem $g (x)$ hem de onun türevi $g^{'} (x) d x$ birlikte görünüyorsa, integrali tamamen $u$ cinsinden yazıp basit bir kuvvet/temel integrale dönüştürebiliriz.

2. Yöntemin Adımları

Adım	Yapılacak
1	Uygun bir $u = g (x)$ seç (genelde "iç fonksiyon" ya da türevi integrandda olan ifade)
2	$d u = g^{'} (x) d x$ hesapla
3	İntegrali tamamen $u$ ve $d u$ cinsinden yaz (geriye hiç $x$ kalmamalı)
4	$u$ 'ya göre integre et
5	$u = g (x)$ 'i geri koy ( $+ c$ 'yi unutma)

Pusula: İntegrandda "bir ifade ve (sabit kat farkıyla) onun türevi" birlikte görünüyorsa, o ifadeye $u$ de. Adım 3'ten sonra integralde hâlâ $x$ kaldıysa, $u$ seçimi yanlıştır.

3. Doğrusal İç Fonksiyon Kısayolu

İç fonksiyon doğrusal olduğunda ( $u = a x + b$ ) her zaman $d u = a d x$ , yani $d x = \frac{1}{a} d u$ olur. Bu yüzden şu kalıpları ezberden uygulayabilirsin:

$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + c, \int cos (a x) d x = \frac{1}{a} sin (a x) + c .$

Buradaki $\frac{1}{a}$ katsayısı, doğrusal içli integrallerde en sık unutulan ayrıntıdır.

Örnek

Soru

$\int 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon $x^{2} + 1$ ve onun türevi $2 x$ integrandda birlikte duruyor. $u = x^{2} + 1$ dene.

Değişken seç: $u = x^{2} + 1$ .
Diferansiyeli al: $d u = 2 x d x$ . İntegrandda $2 x d x$ aynen var.
$u$ cinsinden yaz: $\int u^{3} d u$ .
İntegre et: $\frac{u ^{4}}{4} + c$ .
Geri koy: $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} + c$ .

Sonuç:

\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4} + c

. (Türevi:

\frac{4 ( x ^{2} + 1 ) ^{3} \cdot 2 x}{4} = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

✓)

Örnek

Soru

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ integralini hesaplayınız.

Kök içindeki $x^{2} + 1$ ifadesinin türevi $2 x$ ; paydaki $x$ ile sabit kat farkıyla uyuşuyor.

Değişken seç: $u = x^{2} + 1$ .
Diferansiyeli al: $d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{- 1/2} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{1/2}}{1/2} + c = u^{1/2} + c = u + c$ .
Geri koy: $x^{2} + 1 + c$ .

Sonuç:

x^{2} + 1 + c

. (Türevi:

\frac{2 x}{2 x ^{2} + 1} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

✓)

Örnek

Soru

$\int cos (3 x) d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon doğrusal: $u = 3 x$ .
Diferansiyeli al: $d u = 3 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int cos u \cdot \frac{1}{3} d u = \frac{1}{3} \int cos u d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{3} sin u + c$ .
Geri koy: $\frac{1}{3} sin (3 x) + c$ .

Sonuç:

\frac{1}{3} sin (3 x) + c

. (Türevi:

\frac{1}{3} cos (3 x) \cdot 3 = cos (3 x)

✓)

Örnek

Soru

$\int (2 x + 1)^{5} d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon doğrusal: $u = 2 x + 1$ .
Diferansiyeli al: $d u = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int u^{5} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{5} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{6}}{6} + c = \frac{u ^{6}}{12} + c$ .
Geri koy: $\frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + c$ .

Sonuç:

\frac{( 2 x + 1 ) ^{6}}{12} + c

. (Türevi:

\frac{6 ( 2 x + 1 ) ^{5} \cdot 2}{12} = (2 x + 1)^{5}

✓)

Örnek

Soru

$\int sin^{3} x cos x d x$ integralini hesaplayınız.

$sin^{3} x = (sin x)^{3}$ olarak oku. $sin x$ 'in türevi $cos x$ ve o da integrandda var.

Değişken seç: $u = sin x$ .
Diferansiyeli al: $d u = cos x d x$ . İntegranddaki $cos x d x$ tam olarak budur.
$u$ cinsinden yaz: $\int u^{3} d u$ .
İntegre et: $\frac{u ^{4}}{4} + c$ .
Geri koy: $\frac{sin ^{4} x}{4} + c$ .

Sonuç:

\frac{sin ^{4} x}{4} + c

. (Türevi:

\frac{4 sin ^{3} x \cdot cos x}{4} = sin^{3} x cos x

✓)

Örnek

Soru

$\int x (x^{2} - 5)^{4} d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon $x^{2} - 5$ , türevi $2 x$ . İntegrandda yalnız $x$ var; aradaki $2$ katsayısını $d u$ üzerinden düzelteceğiz.

Değişken seç: $u = x^{2} - 5$ .
Diferansiyeli al: $d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int u^{4} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{5}}{5} + c = \frac{u ^{5}}{10} + c$ .
Geri koy: $\frac{( x ^{2} - 5 ) ^{5}}{10} + c$ .

Sonuç:

\frac{( x ^{2} - 5 ) ^{5}}{10} + c

. (Türevi:

\frac{5 ( x ^{2} - 5 ) ^{4} \cdot 2 x}{10} = x (x^{2} - 5)^{4}

✓)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\int (3 x - 2)^{4} d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon doğrusal: $u = 3 x - 2$ .
Diferansiyeli al: $d u = 3 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int u^{4} \cdot \frac{1}{3} d u = \frac{1}{3} \int u^{4} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{3} \cdot \frac{u ^{5}}{5} + c = \frac{u ^{5}}{15} + c$ .
Geri koy: $\frac{( 3 x - 2 ) ^{5}}{15} + c$ .

Sonuç:

\frac{( 3 x - 2 ) ^{5}}{15} + c

. (Türevi:

\frac{5 ( 3 x - 2 ) ^{4} \cdot 3}{15} = (3 x - 2)^{4}

✓)

Örnek

Soru

$\int \frac{2 x}{x ^{2} + 4} d x$ integralini hesaplayınız.

Değişken seç: $u = x^{2} + 4$ .
Diferansiyeli al: $d u = 2 x d x$ . Paydaki $2 x d x$ aynen var.
$u$ cinsinden yaz: $\int \frac{1}{u} d u$ .
İntegre et: $ln ∣ u ∣ + c$ .
Geri koy: $ln (x^{2} + 4) + c$ (payda her zaman pozitif olduğu için mutlak değer açıldı).

Sonuç:

ln (x^{2} + 4) + c

. (Türevi:

\frac{2 x}{x ^{2} + 4}

✓)

Örnek

Soru

$\int e^{5 x} d x$ integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon doğrusal: $u = 5 x$ .
Diferansiyeli al: $d u = 5 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{5} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int e^{u} \cdot \frac{1}{5} d u = \frac{1}{5} \int e^{u} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{5} e^{u} + c$ .
Geri koy: $\frac{1}{5} e^{5 x} + c$ .

Sonuç:

\frac{1}{5} e^{5 x} + c

. (Türevi:

\frac{1}{5} e^{5 x} \cdot 5 = e^{5 x}

✓)

Örnek

Soru

$\int \frac{ln x}{x} d x$ integralini hesaplayınız.

$ln x$ 'in türevi $\frac{1}{x}$ ve o da integrandda $\frac{1}{x} d x$ olarak duruyor.

Değişken seç: $u = ln x$ .
Diferansiyeli al: $d u = \frac{1}{x} d x$ . İntegranddaki $\frac{1}{x} d x$ tam olarak budur.
$u$ cinsinden yaz: $\int u d u$ .
İntegre et: $\frac{u ^{2}}{2} + c$ .
Geri koy: $\frac{( ln x ) ^{2}}{2} + c$ .

Sonuç:

\frac{( ln x ) ^{2}}{2} + c

. (Türevi:

\frac{2 ln x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{ln x}{x}

✓)

Örnek

Soru

$\int x^{2} x^{3} + 1 d x$ integralini hesaplayınız.

Kök içindeki $x^{3} + 1$ ifadesinin türevi $3 x^{2}$ ; integranddaki $x^{2}$ ile yalnızca $3$ kat farkı var.

Değişken seç: $u = x^{3} + 1$ .
Diferansiyeli al: $d u = 3 x^{2} d x \Rightarrow x^{2} d x = \frac{1}{3} d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int u \cdot \frac{1}{3} d u = \frac{1}{3} \int u^{1/2} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{3} \cdot \frac{u ^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{9} u^{3/2} + c$ .
Geri koy: $\frac{2}{9} (x^{3} + 1)^{3/2} + c$ .

Sonuç:

\frac{2}{9} (x^{3} + 1) x^{3} + 1 + c

. (Türevi:

\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{2} (x^{3} + 1)^{1/2} \cdot 3 x^{2} = x^{2} x^{3} + 1

✓)

Örnek

Soru

$\int \frac{cos x}{sin ^{2} x} d x$ integralini hesaplayınız.

$sin^{2} x = (sin x)^{2}$ olarak oku. $sin x$ 'in türevi $cos x$ ve o da payda duruyor.

Değişken seç: $u = sin x$ .
Diferansiyeli al: $d u = cos x d x$ . Paydaki $cos x d x$ tam olarak budur.
$u$ cinsinden yaz: $\int \frac{1}{u ^{2}} d u = \int u^{- 2} d u$ .
İntegre et: $\frac{u ^{- 1}}{- 1} + c = - \frac{1}{u} + c$ .
Geri koy: $- \frac{1}{sin x} + c$ .

Sonuç:

- \frac{1}{sin x} + c

. (Türevi:

- (- sin^{- 2} x) cos x = \frac{cos x}{sin ^{2} x}

✓)

Örnek

Soru

$\int_{0}^{1} x (x^{2} + 1)^{3} d x$ belirli integralini hesaplayınız.

İç fonksiyon $x^{2} + 1$ , türevi $2 x$ . Değişkenle birlikte sınırları da $u$ cinsine çevir.

Değişken seç: $u = x^{2} + 1$ , böylece $d u = 2 x d x \Rightarrow x d x = \frac{1}{2} d u$ .
Sınırları çevir: $x = 0$ için $u = 1$ , $x = 1$ için $u = 2$ .
$u$ cinsinden yaz: $\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{4}}{4}_{1}^{2} = \frac{1}{8} (2^{4} - 1^{4})$ .
Hesapla: $\frac{1}{8} (16 - 1) = \frac{15}{8}$ .

Sonuç:

\frac{15}{8}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

u = iç fonksiyon klasiği (türev yanında hazır): 2x çarpanını yok sayıp parantezi ayrıca, 2x'i ayrıca integrallemek (çarpımı terim terim integrallenir sanmak) x²·(x²+1)⁶/6 gibi fazladan çarpanlı, türevi integrand'ı tutmayan ifade
du katsayı ayarlama (1/2, 1/3 çarpanı): ½ çarpanını hiç yazmamak (x dx'i doğrudan du saymak) sin(x²)+c — doğrunun 2 katı, en dolu çeldirici şık
Köklü / üslü iç fonksiyon (x·√(x²+a) tipi): √u'nun integralinde 3/2'ye bölmeyi unutmak ½·u^(3/2) katsayılı — 3/2 kat hatalı değer
f′/f biçimi (∫f′/f dx = ln|f| + C): Kesiri bölüm kuralı/kuvvet kuralıyla integrallemeye çalışmak −1/(x³+1) benzeri ln'siz yanlış ifade
Trigonometrik değişken değiştirme (u = sin x temel hâli): cosx'i de ayrıca integrallemek (sinx çarpanı eklemek) fazladan çarpanlı, türevi tutmayan ifade
Belirli integralde sınır dönüşümü (klasik tuzak): Sınırları dönüştürmeden x sınırlarını u'lu integralde kullanmak ∫₀¹u³du = 1/4 — doğru cevap 15/4 iken sınavın en dolu yanlış şıkkı

Soru 1Orta

f^{'} (x) = 6 x^{2} (x^{3} + 2)^{2}

f (0) = 5

olduğuna göre

f (- 1)

kaçtır?

$f (x) = \int 6 x^{2} (x^{3} + 2)^{2} d x$ . Değişken seç: $u = x^{3} + 2 \Rightarrow d u = 3 x^{2} d x$ , yani $6 x^{2} d x = 2 d u$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3} + c$ .
Geri koy: $f (x) = \frac{2 ( x ^{3} + 2 ) ^{3}}{3} + c$ .
Başlangıç koşulu: $f (0) = \frac{2 \cdot 2 ^{3}}{3} + c = \frac{16}{3} + c = 5 \Rightarrow c = - \frac{1}{3}$ .
$x = - 1$ için $x^{3} + 2 = 1$ : $f (- 1) = \frac{2 \cdot 1 ^{3}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

Soru 2Orta

a > 0

olmak üzere

\int_{0}^{a} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln 5

olduğuna göre

a

kaçtır?

Değişken seç: $u = x^{2} + 1 \Rightarrow d u = 2 x d x$ . Sınırlar: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ , $x = a \Rightarrow u = a^{2} + 1$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int_{1}^{a^{2} + 1} \frac{1}{u} d u = ln u_{1}^{a^{2} + 1} = ln (a^{2} + 1) - ln 1$ .
$ln 1 = 0$ olduğundan integral $ln (a^{2} + 1)$ değerine eşittir.
Koşul: $ln (a^{2} + 1) = ln 5 \Rightarrow a^{2} + 1 = 5 \Rightarrow a^{2} = 4$ .
$a > 0$ olduğundan $a = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 3Orta

\int_{0}^{π /2} (sin^{4} x + sin^{2} x) cos x d x

integralinin değeri kaçtır?

Değişken seç: $u = sin x \Rightarrow d u = cos x d x$ . Sınırlar: $x = 0 \Rightarrow u = 0$ , $x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 1$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int_{0}^{1} (u^{4} + u^{2}) d u$ .
İntegre et: $\frac{u ^{5}}{5} + \frac{u ^{3}}{3}_{0}^{1}$ .
Sınırları yerleştir: $\frac{1}{5} + \frac{1}{3} - 0 = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$ .

Sonuç:

\frac{8}{15}

Soru 4Orta

\int \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1} d x = ln (g (x)) + c

olduğuna göre,

g (ln 3)

kaçtır?

Değişken seç: $u = e^{x} + 1 \Rightarrow d u = e^{x} d x$ . Paydaki $e^{x} d x$ tam $d u$ 'dur.
$u$ cinsinden yaz: $\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣ + c = ln (e^{x} + 1) + c$ ( $e^{x} + 1 > 0$ ).
Karşılaştır: $ln (g (x)) = ln (e^{x} + 1)$ , yani $g (x) = e^{x} + 1$ .
İstenen değer: $g (ln 3) = e^{l n 3} + 1 = 3 + 1 = 4$ .

Sonuç:

4

Soru 5Orta

\int_{1}^{2} \frac{( ln x + 1 )}{x} d x

integralinin değeri kaçtır?

Değişken seç: $u = ln x \Rightarrow d u = \frac{1}{x} d x$ . Sınırlar: $x = 1 \Rightarrow u = 0$ , $x = 2 \Rightarrow u = ln 2$ .
$u$ cinsinden yaz: $\int_{0}^{l n 2} (u + 1) d u$ .
İntegre et: $[\frac{u ^{2}}{2} + u]_{0}^{l n 2} = \frac{ln ^{2} 2}{2} + ln 2 - 0$ .
Sonuç: $ln 2 + \frac{ln ^{2} 2}{2}$ .
Çeldirici kontrolü: $+ 1$ terimini (yani $ln 2$ katkısını) unutan, A şıkkındaki yalnız $\frac{ln ^{2} 2}{2}$ 'yi bulur.

Sonuç:

ln 2 + \frac{ln ^{2} 2}{2}

Soru 6Orta

\int_{0}^{2} x x^{2} + 1 d x

integralinin değeri kaçtır?

Değişken seç: $u = x^{2} + 1 \Rightarrow d u = 2 x d x$ , yani $x d x = \frac{1}{2} d u$ . Sınırlar: $x = 0 \Rightarrow u = 1$ , $x = 2 \Rightarrow u = 5$ .
$u$ cinsinden yaz: $\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{1/2} d u$ .
İntegre et: $\frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{3/2}}{3/2}_{1}^{5} = \frac{1}{3} [u^{3/2}]_{1}^{5}$ .
Sınırları yerleştir: $\frac{1}{3} (5^{3/2} - 1) = \frac{1}{3} (55 - 1)$ .

Sonuç:

\frac{5 5 - 1}{3}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$d u$ çarpanını gözden kaçırmak: Düz yerine koyma ancak integrandda $g^{'} (x)$ (en azından sabit kat farkıyla) varsa çalışır. Örneğin $\int (x^{2} + 1)^{3} d x$ integralinde $2 x$ çarpanı yoktur; burada $u = x^{2} + 1$ koymak işe yaramaz, çünkü $x d x$ 'i $d u$ ile temsil edemeyiz.
Geri dönüşümü unutmak: İşlem sonunda cevabı $u$ cinsinden bırakmak. Sonuç mutlaka $u = g (x)$ geri konularak $x$ cinsinden yazılmalıdır.
Doğrusal içte $\frac{1}{a}$ 'yı koymamak: $\int cos (3 x) d x$ 'i $sin (3 x) + c$ sanmak yaygın hatadır; doğrusu $\frac{1}{3} sin (3 x) + c$ 'dir. Aynı şekilde $\int (2 x + 1)^{5} d x$ için bölen $12$ 'dir, $6$ değil.
$+ c$ 'yi yazmamak: Belirsiz integralde sabit terim her zaman eklenir.

Sınav İpucu

İntegrale bakar bakmaz şunu sor: "Burada bir ifade ve onun türevi birlikte mi duruyor?" Cevap evetse o ifadeye $u$ de; gerisi mekaniktir. Tipik kalıplar: $g^{'} (x) g (x)^{n}$ , $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ benzeri yapılar ve $\frac{g ^{'} ( x )}{g ( x )}$ .

Doğrusal içli integralleri ( $sin (a x)$ , $cos (a x)$ , $(a x + b)^{n}$ ) tek tek $u$ kurmadan, doğrudan $\frac{1}{a}$ kuralıyla refleks olarak bitir. Bu, sınavda saniyeler kazandırır. Emin değilsen bulduğun sonucun türevini al: integrandı geri elde ediyorsan cevap doğrudur.

1. Yöntemin Temeli

2. Yöntemin Adımları

3. Doğrusal İç Fonksiyon Kısayolu

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İntegral — diğer konular