Belirsiz İntegral ve Temel Kurallar — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Kuvvet kuralıyla belirsiz integral

   KolaySık çıkar

   Polinomun terim terim integrali: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C. Konunun ısınma sorusu; toplam-fark ve katsayı kuralları birlikte kullanılır.

   Nasıl çözülür

   1. Her terimde üssü bir ARTIR, yeni üsse böl: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1).
   2. Sabit çarpan integralin dışına alınır; toplam-fark terim terim integrallenir.
   3. Sonuca mutlaka +C ekle; türev alarak sağlama yap (türev, integrand'a dönmeli).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Üssü artırmak yerine türevdeki gibi azaltmak→iki derece düşük, tamamen yanlış ifade
   • Yeni üsse (n+1'e) bölmeyi unutmak→katsayıları şişmiş ifade — ör. 6x²'den 2x³ yerine 6x³
   • +C sabitini yazmamak→eksik cevap; 'aşağıdakilerden hangisi olabilir' sorularında yanlış eleme

   Örnek

   ∫(6x²−4x+1)dx aşağıdakilerden hangisidir?

   2x³−2x²+x+C (sağlama: türevi 6x²−4x+1)

2. 02

   +C sabitinin koşulla bulunması (başlangıç değeri)

   OrtaSık çıkar

   f′ verilir, bir noktadaki f değeri (koşul) verilir; başka bir noktadaki f istenir. AYT'nin en standart integral sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. f′'yi integralle: f(x) = ∫f′(x)dx + C biçiminde C'li yaz.
   2. Verilen koşulu (ör. f(1)=4) yerine koyup C'yi çöz.
   3. Bulunan tam f'de istenen noktayı hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • C'yi hiç yazmayıp doğrudan istenen noktayı koymak→koşuldan gelen kayma kadar eksik/fazla değer
   • Koşulu f yerine f′'de kullanmak→c için ilgisiz bir denklem, alakasız sonuç
   • İntegralde n+1'e bölmeyi unutup C'yi ona göre bulmak→hem fonksiyon hem sabit yanlış — çeldirici şıklardan biri

   Örnek

   f′(x)=3x²+2 ve f(1)=4 ise f(2) kaçtır?

   f(x)=x³+2x+C, f(1)=3+C=4 ⇒ C=1; f(2)=8+4+1=13

3. 03

   Türev–integral ters işlem ilişkisi

   OrtaSık çıkar

   ∫f(x)dx = F(x)+C verilir, f'nin kendisi ya da bir noktadaki değeri istenir. Çözüm integral almak değil, verilen sonucun TÜREVİNİ almaktır.

   Nasıl çözülür

   1. ∫f(x)dx = F(x)+C ise f(x) = F′(x); yani eşitliğin sağının türevini al.
   2. Gerekirse çarpım/zincir kuralını uygula (F çoğu zaman bileşik seçilir).
   3. İstenen noktayı türevde yerine koy. Ayrıca ∫f′(x)dx = f(x)+C ve d/dx[∫f(x)dx] = f(x) ilişkilerini hazır tut.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Soruyu ters anlayıp F'nin bir kez daha integralini almak→derecesi iki basamak kaymış, şıklarda olmayan ifade — paniğe yol açar
   • F'nin türevinde bir terimi (çarpım kuralının ikinci terimi gibi) atlamak→doğru cevaptan terim kadar eksik değer

   Örnek

   ∫f(x)dx = x⁴−2x²+C olduğuna göre f(2) kaçtır?

   f(x)=(x⁴−2x²)′=4x³−4x, f(2)=32−8=24

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

4. 04

   Köklü ve paydalı ifadelerin integrali (kesirli/negatif üs)

   OrtaSık çıkar

   √x ve 1/xⁿ içeren integraller. İfade önce üslü biçime çevrilir, sonra kuvvet kuralı uygulanır.

   Nasıl çözülür

   1. √x = x^(1/2), 1/x² = x⁻² biçiminde yaz.
   2. Kuvvet kuralını uygula: üs bir artar, yeni üsse bölünür (x⁻² → x⁻¹/(−1)).
   3. Sonucu kök/kesir biçimine geri çevir ve türevle sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • x⁻²'nin integralinde işareti yanlış alıp +1/x yazmak→doğru terimin işaretçe tersi
   • Kesirli üste n+1'i yanlış hesaplamak (1/2+1 = 3/2 yerine 1/2)→yanlış üslü, yanlış katsayılı ifade

   Örnek

   ∫(√x + 1/x²)dx aşağıdakilerden hangisidir?

   (2/3)x√x − 1/x + C (x^(1/2)→(2/3)x^(3/2), x⁻²→−x⁻¹)

5. 05

   Teğet eğiminden eğri bulma (türev-integral birleşik)

   OrtaSık çıkar

   Eğrinin her noktadaki teğet eğimi (yani y′) verilir, eğrinin bir noktadan geçtiği söylenir; başka bir apsisteki ordinat istenir. İntegral + koşul sorusunun geometrik kılıfı.

   Nasıl çözülür

   1. Teğet eğimi = türev: y′ verilmiştir; integralle y = ∫y′dx + C.
   2. Eğrinin geçtiği nokta koşuldur: koordinatları koyup C'yi bul.
   3. İstenen apsisi tam denklemde yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Eğim ifadesini eğrinin denklemi sanmak (integral almamak)→verilen noktayı sağlamayan, düşük dereceli yanlış eğri
   • C'yi bulmadan istenen apsisi koymak→doğru cevaptan c kadar sapmış değer

   Örnek

   Eğrinin her (x,y) noktasındaki teğet eğimi 2x+1'dir ve eğri (1,4)'ten geçmektedir. x=2 apsisli noktanın ordinatı kaçtır?

   y=x²+x+C, 4=1+1+C ⇒ C=2; y(2)=4+2+2=8

   Sık birleştiği konular: Teğet ve Normal Doğrusu, Türev Alma Kuralları

6. 06

   1/x'in integrali (ln|x| istisnası)

   Orta

   Kuvvet kuralının çalışmadığı tek durum: n = −1. ∫(1/x)dx = ln|x| + C. Katsayılı ve karma (polinom + 1/x) hâlleriyle sorulur.

   Nasıl çözülür

   1. 1/x gördüğünde kuvvet kuralına GİRME: n+1 = 0 olur, bölme tanımsız.
   2. ∫(1/x)dx = ln|x| + C; katsayı dışarı alınır: ∫(k/x)dx = k·ln|x| + C.
   3. Diğer terimleri normal kuvvet kuralıyla ayrıca integralle.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kuvvet kuralını zorlayıp x⁰/0 yazmaya çalışmak→tanımsız ifade — soruyu boş bıraktırır
   • ∫(1/x)dx'i türevle karıştırıp −1/x² yazmak→ln'siz, tamamen yanlış şık
   • Mutlak değeri unutmak (ln x yazmak)→negatif bölgede tanımsız cevap — kavram sorularında yanlış eleme

   Örnek

   ∫(4/x − 3)dx aşağıdakilerden hangisidir?

   4·ln|x| − 3x + C

7. 07

   İkinci türevden fonksiyona (iki kez integral)

   Zor

   f″ ile birlikte iki koşul (biri f′ için, biri f için) verilir; f'nin bir değeri istenir. İki ayrı sabit (C₁, C₂) yönetmeyi gerektirir — sınavın seçici sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. f″'yi integralle: f′(x) = ∫f″(x)dx + C₁; f′ koşuluyla C₁'i bul.
   2. Bulduğun f′'yi integralle: f(x) = ∫f′(x)dx + C₂; f koşuluyla C₂'yi bul.
   3. Sabitleri sırayla ve ayrı ayrı çöz; ikisini tek C'de birleştirme.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tek sabitle idare etmeye çalışmak (C₁'i atlamak)→ikinci integralde x'li terim eksik — doğru cevaptan lineer terim kadar sapma
   • Koşulları çaprazlama kullanmak (f koşulunu f′'de koymak)→her iki sabit de yanlış, tutarsız sonuç

   Örnek

   f″(x)=6x, f′(0)=2 ve f(1)=5 ise f(2) kaçtır?

   f′(x)=3x²+2 (C₁=2); f(x)=x³+2x+C₂, f(1)=3+C₂=5 ⇒ C₂=2; f(2)=8+4+2=14