Polinomlarda Bölme ve Çarpanlara Ayırma — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Kalan teoremi: (x−a) ile bölümden kalan

   KolaySık çıkar

   P(x)'in (x−a) ile bölümünden kalan P(a)'dır. Bölme yapmadan tek yerine koymayla biten ısınma sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Böleni sıfır yapan değeri bul: x−a=0 ⇒ x=a.
   2. Bu değeri polinomda yerine koy: kalan = P(a).
   3. ASLA gerçekten bölme yapma; kalan teoremi tek adımda bitirir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bölenin kökünü ters işaretle almak (x−2 için x=−2 koymak)→p(−a) değeri — işaretleri kaymış bambaşka bir sayı
   • Polinomun sabit terimini kalan sanmak→sabit terim (yalnızca x ile bölümde doğru olurdu)

   Örnek

   P(x)=x³−2x²+3x−5 polinomunun (x−2) ile bölümünden kalan kaçtır?

   Kalan = P(2)=8−8+6−5=1

2. 02

   (ax+b) ile bölümden kalan: P(−b/a)

   KolaySık çıkar

   Bölen (2x−1), (3x+2) gibi baş katsayısı 1 olmayan birinci derece. Kalan yine kökte değer: P(−b/a). Kesirli yerine koyma işlem disiplini ister.

   Nasıl çözülür

   1. Böleni sıfırla: ax+b=0 ⇒ x=−b/a (kesir çıkmasından korkma).
   2. Bu kesri polinomda yerine koy: kalan = P(−b/a).
   3. Kesirli üs alma işlemlerini payda payda yürüt, en sonda topla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kökün işaretini ters almak (2x−1 için x=−1/2 koymak)→p(−b/a) yerine p(b/a) simetriği — tek terimli işaret farkı
   • Kökü katsayıya bölmeden x=b almak (2x−1 için x=2 ya da x=1)→çok büyük, alakasız bir kalan değeri

   Örnek

   P(x)=4x²+2x+1 polinomunun (2x−1) ile bölümünden kalan kaçtır?

   2x−1=0 ⇒ x=1/2, kalan = P(1/2)=4·(1/4)+1+1=3

3. 03

   Tam bölünme koşulundan parametre (çarpan teoremi)

   OrtaSık çıkar

   P(x) içinde bilinmeyen katsayı var; (x−a) ile TAM bölündüğü söyleniyor. Çarpan teoremi: P(a)=0 kur, parametreyi çöz.

   Nasıl çözülür

   1. Tam bölünme = kalan sıfır = (x−a) çarpandır: P(a)=0 yaz.
   2. Bölenin kökünü polinomda yerine koy, parametreli denklem kur.
   3. Denklemi bilinmeyen için çöz; soru devam ediyorsa polinomu güncelleyip isteneni hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kökü ters işaretle koymak (x−3 için P(−3)=0 yazmak)→parametrenin işaret/değerce yanlış hâli
   • Kalanı 0 yerine bölenin kendisine eşitlemek→kurulamayan ya da saçma bir denklem

   Örnek

   P(x)=x³+mx−6 polinomu (x−3) ile tam bölünüyorsa m kaçtır?

   P(3)=27+3m−6=0 ⇒ 3m=−21 ⇒ m=−7

   Sık birleştiği konular: Polinom Kavramı ve İşlemler, Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

4. 04

   Bölme özdeşliği ile değer bulma (P = B·Q + K)

   OrtaSık çıkar

   Bölüm ve kalan verilir, P(x)'in bir noktadaki değeri istenir. Özdeşliği yazıp noktayı koymak yeter; öğrenci çoğu kez kalanı unutur.

   Nasıl çözülür

   1. Özdeşliği kur: P(x) = Bölen(x)·Bölüm(x) + Kalan(x).
   2. İstenen x değerini özdeşliğin sağ tarafında yerine koy.
   3. Kalanı toplamayı UNUTMA — en sık kaybedilen puan burası.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalanı eklemeyi unutmak (yalnız B·Q hesaplamak)→doğru cevaptan kalan kadar küçük değer
   • Kalanı toplamak yerine çıkarmak→doğru cevaptan kalanın iki katı kadar sapma

   Örnek

   P(x) polinomunun (x−1) ile bölümünde bölüm x²+2x, kalan 3'tür. P(2) kaçtır?

   P(x)=(x−1)(x²+2x)+3, P(2)=(2−1)(4+4)+3=8+3=11

5. 05

   İkinci dereceden bölenin kalanından birinci derece kalana geçiş

   OrtaSık çıkar

   P(x)'in (x²+px+q) ile bölümünden kalan ax+b verilir; bölen çarpanlarına ayrılıp köklerde değer okunur. Özdeşlikte bölünen terimi sıfırlama fikri sınanır.

   Nasıl çözülür

   1. Özdeşliği yaz: P(x) = (x²+px+q)·Q(x) + (ax+b).
   2. Böleni çarpanlarına ayır, köklerini bul.
   3. Kök yerine konunca çarpım terimi yok olur: P(kök) = a·kök + b. İstenen kalan buradan okunur.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bölenin yanlış çarpanının kökünü kullanmak→kalan polinomun öteki kökteki değeri — işaretçe/değerce farklı sayı
   • Kalanı sabit sanıp yalnız b'yi cevap vermek→kalan polinomun sabit terimi

   Örnek

   P(x) polinomunun (x²−x−6) ile bölümünden kalan 3x+2'dir. P(x)'in (x−3) ile bölümünden kalan kaçtır?

   x²−x−6=(x−3)(x+2), x=3 ⇒ P(3)=3·3+2=11

   Sık birleştiği konular: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

6. 06

   (x−a)(x−b) ile bölümden kalan (iki noktadan doğru kurma)

   ZorSık çıkar

   İki ayrı birinci derece bölenin kalanları verilir; ikinci dereceden çarpımla bölümden kalan istenir. Kalan mx+n alınır, iki koşuldan sistem çözülür. AYT'nin klasiği.

   Nasıl çözülür

   1. Bölen 2. dereceden olduğu için kalan en çok 1. derecedendir: K(x)=mx+n yaz.
   2. Özdeşlikte x=a ve x=b koy: P(a)=ma+n, P(b)=mb+n. Verilen kalanlar bu değerlerdir.
   3. İki bilinmeyenli sistemi çöz, K(x)'i (ya da istenen K(c) değerini) yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalanı sabit sanmak (verilen kalanlardan birini aynen yazmak)→p(a) ya da p(b) değerinin kendisi
   • Sistemi taraf tarafa çıkarırken işaret hatası yapmak→m doğru, n yanlış (ya da tersi) bir k(x)

   Örnek

   P(x)'in (x−1) ile bölümünden kalan 4, (x−2) ile bölümünden kalan 7'dir. P(x)'in (x−1)(x−2) ile bölümünden kalan nedir?

   K(x)=mx+n: m+n=4, 2m+n=7 ⇒ m=3, n=1 ⇒ K(x)=3x+1

7. 07

   Horner yöntemi: bölüm polinomunu bulma

   Zor

   Yalnız kalan değil BÖLÜM polinomu ya da onun bir değeri istenir. Horner tablosu (sentetik bölme) uzun bölmeyi saniyelere indirir.

   Nasıl çözülür

   1. Katsayıları derece sırasıyla yaz (eksik derece için 0 koymayı unutma).
   2. Bölenin kökünü sola al; ilk katsayıyı indir, 'çarp-topla' zinciriyle ilerle: aşağı inen her sayı kökle çarpılıp sonraki katsayıya eklenir.
   3. Son sayı kalandır; öndeki sayılar bölümün katsayılarıdır (derece bir düşer).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalanı bölüm polinomunun sabit terimi olarak katmak→sabit terimi kalan kadar kaymış yanlış q(x)
   • Eksik dereceli terim için tabloya 0 yazmamak→katsayıları kaymış, derecesi tutmayan bölüm

   Örnek

   P(x)=2x³−5x²+x+3 polinomunun (x−2) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ise Q(1) kaçtır?

   Horner (kök 2): 2, −1, −1 | kalan 1 ⇒ Q(x)=2x²−x−1, Q(1)=2−1−1=0