çözümebak

TYT Matematik · Sayma, Olasılık ve İstatistik · Soru Tipleri

Permütasyon ve Kombinasyon — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. İç sırası sabit dizilim (tekrarlı permütasyona inen sayım)

    KolaySık çıkar

    Bütün elemanlar tek sıraya diziliyor ama bir grubun kendi içindeki sırası sabit tutuluyor: 'A, B'den önce gelecek', 'fiyatlar artan sırada olacak', 'her boydan küçük olan önde duracak'. Sırası sabitlenen grup, elemanları birbirinin aynısıymış gibi davranmaya zorlar; sayım doğrudan tekrarlı permütasyona ya da yer seçimi kombinasyonuna iner.

    Nasıl çözülür

    1. Sırası sabit tutulan grupları ve her birinin eleman sayısını çıkar.
    2. Toplam n! yaz, sırası sabit her k'lı grup için k!'e böl: n! / (k₁!⋅k₂!⋅…).
    3. Aynı hesabı yer seçimiyle de yapabilirsin: grubun oturacağı yerleri C(n, k) ile seç, sıra zaten zorunlu olduğu için çarpan ekleme.
    4. Şekilli sorularda önce eşleşmeyi (ön–arka, alt–üst) şekilden oku; sabitlenmiş bir bölme varsa hangi ikiliyi kilitlediğini belirle.
    5. Sağlama: küçük bir örnekte (3 eleman, 2'sinin sırası sabit) elle say, formülle tutuyor mu bak.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Kısıtı yok sayıp doğrudan n! demekdoğru cevabın k! katı — şıklarda en büyük değer
    • 'İki grup var' diye sonucu yalnızca 2'ye bölmekn!/2 — grup 3 ve daha kalabalıksa tutmayan değer
    • Sırası sabit grubun yerlerini seçtikten sonra bir de kendi içinde sıralamakkısıt uygulanmamış, yine n! büyüklüğünde sayım

    Örnek

    A, B, C, D, E, F harflerinin altısı da bir sıraya diziliyor. Dizilişte soldan sağa önce A, sonra B, sonra C yer alacak; ayrıca D, E'den önce gelecektir. Kaç farklı diziliş vardır?

    6! / (3!⋅2!) = 720/12 = 60 (yer seçimiyle sağlama: A,B,C'ye C(6,3) = 20, D,E'ye C(3,2) = 3, F'ye 1 ⇒ 20⋅3 = 60)

  2. Yasaklı yerleşim (yan yana olmama, tümleyenle sayma)

    OrtaSık çıkar

    Belirli kişilerin/nesnelerin yan yana, karşı karşıya ya da uç noktada bulunmaması isteniyor. Doğrudan saymak durum patlaması yaratır; yasaklıyı sayıp toplamdan çıkarmak kısa yoldur. Masa/oturma kurgusu geldiğinde ilk iş masanın dairesel mi yoksa sandalyelerin ayırt edilir mi olduğunu okumaktır.

    Nasıl çözülür

    1. Kısıtsız toplamı yaz: sandalyeler ayırt ediliyorsa n!, gerçekten dairesel dizilimse (n−1)!.
    2. Yasaklı durumu blok yaparak say: yan yana istenen ikili tek nesne sayılır ⇒ (n−1)!⋅2!.
    3. Toplamdan yasaklıyı çıkar: istenen = kısıtsız − yasaklı.
    4. Birden çok yasak varsa (hem yan yana hem karşı karşıya) bunların kesişip kesişmediğini kontrol et; kesişmiyorsa ikisini de çıkar, kesişiyorsa kesişimi geri ekle.
    5. Şekilli masada 'karşı karşıya' eşleşmesini sandalye sandalye çıkar; sayıyı şekilden oku, varsayma.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sandalyeleri ayırt edilen masayı dairesel sayıp bir dönme çarpanına bölmekdoğru cevabın n'de biri
    • İki ayrı yasağı kesişimini kontrol etmeden çıkarmakortak durumlar iki kez düşülmüş, gereğinden küçük sonuç
    • Blokta ikilinin kendi içindeki 2! sıralamasını unutmakyasaklı sayı yarıya inmiş, cevap fazla çıkar

    Örnek

    5 kişi yan yana dizilmiş 5 sandalyeye oturacaktır. Ali ile Burak'ın yan yana oturmaması koşuluyla kaç farklı oturma düzeni vardır?

    Kısıtsız 5! = 120; yan yana (blok) 4!⋅2! = 24⋅2 = 48 ⇒ 120 − 48 = 72

  3. 'En az bir' koşullu seçim (tümleyenle sayma)

    OrtaSık çıkar

    Bir havuzdan birkaç eleman seçilirken 'en az biri şu türden olsun' deniyor. Doğrudan sayınca 'tam 1 tane, tam 2 tane…' diye durumlara bölünür; tümleyeni (hiçbiri o türden değil) çıkarmak tek adımda bitirir. Kilit nokta, seçilenlerin ayırt edilip edilmediğini metinden okumaktır: iki gün 'iki ayrı etkinliğe' ayrılıyorsa seçim sıralıdır.

    Nasıl çözülür

    1. Havuzu ve tür sayılarını çıkar; takvim/aralık kurgusunda uç günleri dahil ederek say.
    2. Seçilenler ayırt ediliyor mu, bak: 'başkan–yazman', 'iki ayrı etkinlik' ⇒ sıralı (permütasyon); 'ikisi birden' ⇒ kombinasyon.
    3. Kısıtsız toplamı yaz.
    4. Tümleyeni yaz: aranan türden hiç seçilmediği durum sayısı.
    5. İstenen = toplam − tümleyen.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Aralıktaki gün/eleman sayısını uç değerleri katmadan saymakhavuz 1-2 eksik, tüm sayım kayar
    • Ayırt edilen iki görevi kombinasyonla saymakdoğru cevabın yarısı
    • 'En az bir' yerine 'tam bir' okuyup tek durumu saymakdiğer durumlar atlanmış, küçük sonuç

    Örnek

    Bir sınıftaki 5 kız ve 4 erkek öğrenciden 2'si seçilip biri başkan, diğeri yazman olacaktır. Seçilenlerden en az birinin erkek olması koşuluyla kaç farklı görevlendirme yapılabilir?

    Sıralı toplam 9⋅8 = 72; tümleyen (ikisi de kız) 5⋅4 = 20 ⇒ 72 − 20 = 52

    Sık birleştiği konular: Kümeler

  4. Durum ayrımlı seçim (eşitsizlik koşulunu sağlayan ikilileri listeleme)

    OrtaSık çıkar

    Birkaç değer sınıfından, her sınıfta birden çok ama ayırt edilebilir nesne var; toplamı/farkı bir eşiği aşacak biçimde iki tanesi seçiliyor. İş iki katmanlı: önce hangi değer ikililerinin koşulu sağladığı kaba aritmetikle listelenir, sonra her ikili için sayım yapılır. Tümleyen burada genellikle daha uzun sürer.

    Nasıl çözülür

    1. Değer sınıflarını ve her sınıftaki nesne sayısını yaz.
    2. Sayma yapmadan, yalnız aritmetikle hangi değer ikililerinin koşulu sağladığını listele; eşitlik durumunu ('büyüktür' mü 'büyük eşit' mi) tek tek dene.
    3. Farklı sınıflardan seçimde sayıları çarp: m⋅n.
    4. Aynı sınıftan seçimde C(k, 2) al — nesneler ayırt edilebiliyorsa bu durum tek değildir.
    5. Bütün uygun durumları topla; listeden bir ikili atlanmadığını değer değer kontrol et.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sınır durumunu yanlış almak ('büyüktür' istenirken eşiti de saymak)fazladan bir durumun sayısı kadar büyük cevap
    • Aynı değerdeki nesneleri özdeş sanıp o durumu tek saymakc(k,2) yerine 1 — eksik sayım
    • Uygun değer ikililerinden birini listeden atlamakşıklarda hemen komşuda duran eksik toplam

    Örnek

    Bir rafta ağırlıkları 2 kg olan 3 farklı, 3 kg olan 4 farklı ve 5 kg olan 2 farklı paket vardır. Bu paketlerden 2'si, ağırlıkları toplamı 6 kg'dan büyük olacak biçimde kaç farklı şekilde seçilebilir?

    Uygun ikililer: 2+5 = 7 ⇒ 3⋅2 = 6; 3+5 = 8 ⇒ 4⋅2 = 8; 5+5 = 10 ⇒ C(2,2) = 1. (2+2 = 4, 2+3 = 5, 3+3 = 6 elenir; 6 > 6 değildir.) Toplam = 6 + 8 + 1 = 15

    Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

  5. Binom genel terimi (belirli üslü terimin katsayısı)

    OrtaSık çıkar

    İki terimlinin kuvveti alınır; belirli bir x kuvvetinin (çoğu zaman sabit terimin) katsayısı istenir ya da katsayı verilip parametre sorulur. Terimlerden biri hemen her zaman paydadadır (a/x, 1/x²), yani üssü negatiftir — sorunun bütün ayarı buraya kurulmuştur.

    Nasıl çözülür

    1. Genel terimi yaz: (A + B)ⁿ için T = C(n, k)⋅A^(n−k)⋅B^k.
    2. A ve B'deki x kuvvetlerini negatif üsleriyle birlikte topla, tek bir x^(…) üssü elde et.
    3. Bu üssü istenene eşitle, k'yi çöz; k tek başına belirlenir. Sabit terim isteniyorsa üs = 0.
    4. k'yi katsayıya taşı: parantez içindeki sabit çarpan katsayıya kendi k'ncı kuvvetiyle girer, işareti de yanında gelir.
    5. İki terimin katsayı oranı verilmişse önce her iki üs denklemini kurup k'leri bul, sonra oranı yaz — kombinasyon katsayıları büyük ölçüde sadeleşir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Paydadaki x'in negatif üssünü unutup üs denklemini yalnız n−k üzerinden kurmakyanlış k, dolayısıyla bambaşka bir terimin katsayısı
    • Parantezdeki sabit çarpanı katsayıya katmamak (yalnız C(n,k) demek)örnekte 240 yerine 15 — sabit çarpanın kuvveti düşmüş
    • Negatif tabanda işareti düşürmekdoğru cevabın işaretçe tersi
    • Terim sırası ile üssü karıştırmak (k'ncı terim ⇒ indis k−1)bir kayık terimin katsayısı

    Örnek

    (x² − 2/x)⁶ açılımındaki sabit terim kaçtır?

    T = C(6,k)⋅(x²)^(6−k)⋅(−2/x)^k = C(6,k)⋅(−2)^k⋅x^(12−3k); sabit terim için 12 − 3k = 0 ⇒ k = 4 ⇒ C(6,4)⋅(−2)⁴ = 15⋅16 = 240

    Sık birleştiği konular: Üslü İfadeler

  6. Binomda katsayılar toplamı, terim sayısı ve katsayı simetrisi

    ZorSık çıkar

    Genel terim tek başına yetmez; açılımın bütününe ait bir bilgi verilir: katsayılar toplamı, katsayıların aritmetik ortalaması ya da iki terimin katsayısının eşitliği. Üç ayrı binom bilgisi tek denklemde kaynaşır: katsayılar toplamı = ifadenin x = 1'deki değeri, terim sayısı = n + 1, ve C(n, r) = C(n, n − r) simetrisi.

    Nasıl çözülür

    1. Katsayılar toplamı isteniyorsa değişkene 1 ver; ifadenin sayısal değeri doğrudan toplamı verir.
    2. Terim sayısını n + 1 al — 'n tane' demek konunun en sık bir-hatasıdır.
    3. Katsayıların aritmetik ortalaması = (x = 1'deki değer) / (n + 1) kurup n'i çöz.
    4. Tabandan ortak çarpan alınabiliyorsa önce dışarı al; açılım saf binoma iner, üsler sabit bir kaymayla indise bağlanır.
    5. İki katsayı eşitse iki kol dene: ya indisler eşittir (çoğu soruda tutmaz) ya da indislerin toplamı n'dir — ikincisi n'i tek başına verir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Terim sayısını n almak (n + 1 yerine)ortalamada bir kayık payda, yanlış n
    • C(n,r) = C(n,n−r) simetrisini atlayıp yalnız 'indisler eşit' kolunu denemek'çözüm yok' sonucu ya da soruyu boş bırakma
    • İşareti değişen tabanda (−1)^k çarpanını düşürmekx = 1'de yanlış toplam, dolayısıyla yanlış n
    • Tabandaki ortak çarpanı dışarı almadan genel terimi kurmaküsler indise düzgün bağlanmaz, denklem kurulamaz

    Örnek

    (x + 1)ⁿ açılımında x⁴'lü terimin katsayısı ile x⁶'lı terimin katsayısı birbirine eşittir. Buna göre bu ortak katsayı kaçtır?

    x⁴'ün katsayısı C(n,4), x⁶'nın katsayısı C(n,6); 4 ≠ 6 olduğundan simetriden 4 + 6 = n ⇒ n = 10 ⇒ ortak katsayı C(10,4) = 210 (sağlama: C(10,6) = 210)

    Sık birleştiği konular: Üslü İfadeler, Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

  7. Sayma sonucunu eşiğe bağlama (en küçük n, tam sayı avı)

    Zor

    Soru bir denklemle değil, bir saymayla bitiyor: 'en küçük n kaçtır', 'n'in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır'. Kurulan C(n, k) ≥ N ya da benzeri eşitsizlik, cevabı iki ardışık tam sayı arasına sıkıştırır. Asıl iş eşitsizliğin uç noktasındadır; şıklar da ardışık tam sayılardan seçildiği için bir-hata yapan öğrenci kendini 'doğru' şıkta bulur.

    Nasıl çözülür

    1. Metindeki 'hiçbir ikisi aynı olmayacak' ifadesini sıralama değil, kümelerin farklı olması diye oku — sayım kombinasyondur.
    2. Eşitsizliği kur: kaç farklı seçim yapılabildiği, karşılanması gereken sayıdan büyük eşit olmalı.
    3. C(n, k)'yi açıp sadeleştir; genelde n cinsinden ikinci dereceden bir eşitsizlik kalır.
    4. Ardışık iki tam sayıyı elle dene: küçüğü koşulu bozmalı, büyüğü sağlamalı. Cevap, sağlayan ilk değerdir.
    5. Son adımı okumadan işaretleme: istenen n mi, n − 1 mi, yoksa uygun değerlerin toplamı mı?

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • 'Hiçbir ikisi aynı değil' koşulunu sıralama sanıp permütasyonla saymakk! kat şişmiş sayım, çok küçük n
    • Eşitsizliği sağlamayan son değeri (n − 1) işaretlemekdoğru cevabın yanındaki şık — klasik bir-hata
    • 'Büyük eşit' yerine 'kesin büyük' çözmeksınırda tam oturan durumlarda bir fazla n

    Örnek

    Bir kursta 20 öğrenci vardır. Her öğrenciye, n farklı seçmeli dersten 2'sinden oluşan bir ders programı verilecektir. Hiçbir iki öğrencinin programı aynı olmayacağına göre n en az kaç olmalıdır?

    C(n,2) ≥ 20 ⇒ n(n−1)/2 ≥ 20 ⇒ n(n−1) ≥ 40; n = 6 için 6⋅5 = 30 < 40 (yetmez), n = 7 için 7⋅6 = 42 ≥ 40 ⇒ n = 7

    Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Eşitsizlikler

7 soru tipini gördün. Şimdi Permütasyon ve Kombinasyon sorularını çöz →