Parçalı, Mutlak Değer ve İşaret Fonksiyonu — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Mutlak değer fonksiyonunda değer hesabı

   KolaySık çıkar

   Verilen noktada |…| içeren ifadenin değeri. Konunun ısınma sorusu; önce içeriyi hesapla, mutlak değeri en son al.

   Nasıl çözülür

   1. x değerini yerine koy, her mutlak değerin İÇİNİ sayısal olarak hesapla.
   2. İçerisi negatifse işaretini çevir: |−4| = 4. Mutlak değer asla negatif çıkmaz.
   3. Sonra toplama/çıkarma işlemlerini yap; |a−b| ≠ |a|−|b| olduğunu unutma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • |a−b| yerine |a|−|b| hesaplamak→içi negatif terimlerde işareti ters kalmış toplam (7 yerine −1)
   • Mutlak değerden negatif sonuç çıkarmak (|−4| = −4)→doğru cevabın işaret hatalı versiyonu

   Örnek

   f(x)=|x−5|+|x+2| ise f(1) kaçtır?

   f(1)=|−4|+|3|=4+3=7

2. 02

   Tam değer (taban) fonksiyonunda değer hesabı

   KolaySık çıkar

   ⌊x⌋ değeri: x'ten büyük olmayan en büyük tam sayı. Sorunun tüm tuzağı negatif sayılarda; taban daima AŞAĞIYA (sayı doğrusunda sola) gider.

   Nasıl çözülür

   1. Pozitifte ondalık kısmı at: ⌊3,7⌋ = 3. Tam sayının tabanı kendisidir.
   2. Negatifte aşağıya yuvarla: ⌊−2,4⌋ = −3, çünkü −2 sayısı −2,4'ten büyüktür ve koşulu sağlamaz.
   3. Terimleri tek tek hesapla, en son topla; ⌊a⌋+⌊b⌋ ≠ ⌊a+b⌋ olabilir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Negatifte ondalığı atıp ⌊−2,4⌋ = −2 almak→doğru cevaptan 1 fazla (0 yerine 1)
   • Tabanı en yakın tam sayıya yuvarlama sanmak (⌊3,7⌋ = 4)→pozitif terimlerde 1 fazla değer

   Örnek

   ⌊3,7⌋ + ⌊−2,4⌋ toplamı kaçtır?

   ⌊3,7⌋=3, ⌊−2,4⌋=−3 ⇒ 3+(−3)=0

3. 03

   İşaret fonksiyonu sgn(x) değer hesabı

   KolaySık çıkar

   sgn yalnızca işareti taşır: pozitife 1, negatife −1, sıfıra 0. Klasik tuzak, içerinin sıfır çıktığı terimi gözden kaçırmak.

   Nasıl çözülür

   1. Her sgn'nin içini ayrı hesapla; sayının kendisi değil yalnızca İŞARETİ önemli.
   2. sgn(pozitif)=1, sgn(negatif)=−1, sgn(0)=0 — üçüncü şıkkı unutma.
   3. Çıkan 1, −1, 0 değerleriyle işlemi bitir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İçi sıfır çıkan terimde sgn(0)=1 saymak→doğru cevaptan 1 fazla (0 yerine 1)
   • sgn değerini sayının kendisi sanmak (sgn(−7)=−7)→ölçekçe büyümüş, alakasız bir toplam

   Örnek

   sgn(−7) + sgn(4²−16) + sgn(5) kaçtır?

   −1 + sgn(0) + 1 = −1+0+1 = 0

4. 04

   Özel fonksiyonlarla değer zinciri — f(g(a))

   OrtaSık çıkar

   Parçalı, mutlak değer, taban ve sgn aynı soruda zincirlenir: içten dışa hesap. ÖSYM'nin bu konudaki standart sınav ayarı.

   Nasıl çözülür

   1. En içteki fonksiyondan başla: önce g(a) değerini bitir.
   2. Çıkan sonucu dıştaki fonksiyona taşı; parçalıysa hangi parçaya düştüğünü koşuldan kontrol et.
   3. Her adımda özel fonksiyon kuralını (mutlak değer / taban / sgn) en son uygula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İçteki mutlak değeri atlayıp g(−4) = −5 ile devam etmek→yanlış parçaya düşülmüş değer (2 yerine −9)
   • ⌊2,5⌋ değerini en yakına yuvarlayıp 3 almak→doğru cevaptan 1 fazla (2 yerine 3)

   Örnek

   f(x)=2x+1 (x<3), f(x)=⌊x/2⌋ (x≥3) ve g(x)=|x−1| ise f(g(−4)) kaçtır?

   g(−4)=|−5|=5; 5≥3 ⇒ f(5)=⌊5/2⌋=⌊2,5⌋=2

   Sık birleştiği konular: Fonksiyon ve Çeşitleri, Bileşke ve Ters Fonksiyon

5. 05

   İki mutlak değerin toplamı — aralıkta açılım / en küçük değer

   OrtaSık çıkar

   |x−a|+|x−b| ifadesi kritik noktalar arasındaki aralıkta SABİTTİR ve en küçük değeri |a−b| olur. İşaret açılımı sorunun kalbidir.

   Nasıl çözülür

   1. Kritik noktaları bul: içerileri sıfır yapan x değerleri.
   2. Verilen aralıkta her içerinin işaretini belirle: negatifse −( ) ile, pozitifse olduğu gibi aç.
   3. Açılımları topla; kritik noktalar arasında x'ler sadeleşir ve sabit |a−b| kalır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Aralıkta negatif olan içeriyi pozitifmiş gibi açmak (|x−2| = x−2)→sabit yerine 2x+1 gibi değişkenli yanlış ifade
   • En küçük değeri kritik noktaları toplayarak aramak→|a−b| yerine |a+b| değeri (5 yerine 1)

   Örnek

   −3 ≤ x ≤ 2 için |x−2| + |x+3| ifadesinin değeri kaçtır?

   (2−x)+(x+3)=5 — aralıkta sabittir

6. 06

   İç içe mutlak değerli denklemin kök sayısı

   ZorSık çıkar

   ||x|−a| = k biçimindeki denklemde kök sayısı. Grafikle (W şekli) veya kademeli açılımla çözülür; her |…| = k adımı iki dal doğurur.

   Nasıl çözülür

   1. Dıştan aç: ||x|−a| = k ⇒ |x|−a = k veya |x|−a = −k.
   2. Her daldan |x| değerini çek; |x| = c denklemi c > 0 ise iki kök (x = ±c) verir.
   3. |x| negatif çıkan dalı at; geçerli dalların köklerini say.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İkinci dalı (|x|−a = −k) hiç açmamak→kök sayısının yarısı (4 yerine 2)
   • |x| = c'den yalnız x = c almak, x = −c'yi unutmak→kök sayısının yarısı (4 yerine 2)

   Örnek

   ||x|−3| = 1 denkleminin kaç gerçek kökü vardır?

   |x|=4 veya |x|=2 ⇒ x∈{−4, −2, 2, 4}, 4 kök

   Sık birleştiği konular: Mutlak Değer

7. 07

   Aralıktan tam değerli ifadenin değeri

   Orta

   x'in tam sayı olmadığı bir aralık verilir, ⌊x⌋ ve ⌊−x⌋ türü ifadelerin değeri istenir. ⌊−x⌋ = −⌊x⌋ sanmak konunun bir numaralı hatası.

   Nasıl çözülür

   1. Verilen aralıktan ⌊x⌋ değerini oku: n ≤ x < n+1 ise ⌊x⌋ = n.
   2. −x için aralığı işaret çevirerek yeniden yaz: 3 < x < 4 ise −4 < −x < −3.
   3. Yeni aralıktan ⌊−x⌋ değerini oku; x tam sayı DEĞİLSE ⌊x⌋+⌊−x⌋ = −1 çıkar.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • ⌊−x⌋ = −⌊x⌋ sanmak (x tam sayıymış gibi davranmak)→−1 yerine 0
   • −x aralığını çevirirken uçları karıştırıp ⌊−x⌋ = −3 almak→−1 yerine 0

   Örnek

   3 < x < 4 olduğuna göre ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ kaçtır?

   ⌊x⌋=3; −4<−x<−3 ⇒ ⌊−x⌋=−4; 3+(−4)=−1