AYT Matematik · Fonksiyonlar

Bileşke ve Ters Fonksiyon

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Bileşke fonksiyon, bir fonksiyonun çıktısını başka bir fonksiyona girdi olarak vermektir; ters fonksiyon ise bir fonksiyonun yaptığı işlemi geri alır. Bu iki kavram AYT'de hem tek başına hem de iç içe sıkça sorulur. Bu derste bileşkenin sıralı işleyişini, doğrusal fonksiyonların tersini ve bileşkenin tersi kuralını adım adım kuruyoruz.

1. Bileşke Fonksiyon

İki fonksiyon $f$ ve $g$ verildiğinde, $f$ ile $g$ 'nin bileşkesi şöyle tanımlanır:

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$

Burada önce iç fonksiyon $g$ uygulanır, sonra çıkan sonuç dış fonksiyon $f$ 'ye verilir. Yani işlem sağdan sola okunur.

Dikkat: Bileşke genelde değişmeli değildir: $f \circ g \neq = g \circ f$ . Sıralama sonucu değiştirir.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x^{2}$ olsun. $(f \circ g) (x)$ ve $(g \circ f) (x)$ ifadelerini bulunuz.

$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2}) = 2 x^{2} + 1$ .
$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (2 x + 1) = (2 x + 1)^{2}$ .
İki sonuç farklıdır; bu da $f \circ g \neq = g \circ f$ olduğunu gösterir.

Sonuç:

(f \circ g) (x) = 2 x^{2} + 1

(g \circ f) (x) = (2 x + 1)^{2}

Bir noktadaki değer için de önce iç fonksiyonu o noktada hesaplar, sonra dış fonksiyona taşırız.

Örnek

Soru

Yukarıdaki $f (x) = 2 x + 1$ ve $g (x) = x^{2}$ için $(f \circ g) (2)$ değerini bulunuz.

Önce iç fonksiyon: $g (2) = 2^{2} = 4$ .
Sonra dış fonksiyon: $f (4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ .

Sonuç:

(f \circ g) (2) = 9

2. Ters Fonksiyon

Bir $f$ fonksiyonunun tersi $f^{- 1}$ , ancak $f$ bire bir ve örten ise vardır. Ters fonksiyonun temel özelliği:

$f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a$

Yani $f$ bir girdiyi bir çıktıya götürürse, $f^{- 1}$ o çıktıyı tekrar aynı girdiye geri getirir. Bunun doğrudan sonucu:

$(f \circ f^{- 1}) (x) = x ve (f^{- 1} \circ f) (x) = x$

Uyarı: $f^{- 1}$ ifadesi ters fonksiyon demektir; $\frac{1}{f}$ (çarpmaya göre tersi) değildir. Örneğin $f (x) = x + 3$ için $f^{- 1} (x) = x - 3$ 'tür, $\frac{1}{x + 3}$ değil.

Doğrusal Fonksiyonun Tersi

$f (x) = a x + b$ ( $a \neq = 0$ ) biçimindeki doğrusal bir fonksiyonun tersi:

$f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$

Bunu bulmak için $y = a x + b$ yazıp $x$ 'i $y$ cinsinden çözer, sonra değişkenleri yer değiştiririz.

Geometrik anlam: Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Aşağıda $f (x) = 2 x - 1$ ile tersi $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}$ gösteriliyor; $f$ üzerindeki $(2, 3)$ noktası, tersi üzerindeki $(3, 2)$ noktasına yansır.

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 2$ fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

$y = 3 x - 2$ yaz ve $x$ 'i yalnız bırak: $y + 2 = 3 x \Rightarrow x = \frac{y + 2}{3}$ .
Değişkenleri yer değiştir ( $x \leftrightarrow y$ ): $f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{3}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x + 2}{3}

Belirli bir değerin tersini ararken iki yol vardır: ya $f^{- 1}$ formülünü kullanırız ya da $f (a) = b$ denklemini doğrudan çözeriz.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 1$ fonksiyonu için $f^{- 1} (5)$ değerini bulunuz.

$f^{- 1} (5)$ demek, " $f$ hangi değerde $5$ verir?" demektir. Yani $f (a) = 5$ denklemini çöz.

$f^{- 1} (5) = a ⟺ f (a) = 5$ .
Denklemi kur: $2 a + 1 = 5$ .
Çöz: $2 a = 4 \Rightarrow a = 2$ .

Sonuç:

f^{- 1} (5) = 2

(çünkü

f (2) = 5

)

3. Bileşkenin Tersi

İki fonksiyonun bileşkesinin tersi alınırken sıra ters döner:

$(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$

Bunu sezgisel olarak şöyle düşün: $f \circ g$ önce $g$ sonra $f$ uygular. Bu işlemi geri almak için son yapılanı önce geri almalıyız — yani önce $f^{- 1}$ , sonra $g^{- 1}$ . Bu da $g^{- 1} \circ f^{- 1}$ demektir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 1$ ve $g (x) = 3 x + 2$ olsun. $(g \circ f) (2)$ değerini bulunuz.

Önce iç fonksiyon: $f (2) = 2^{2} - 1 = 3$ .
Sonra dış fonksiyon: $g (3) = 3 \cdot 3 + 2 = 11$ .

Sonuç:

(g \circ f) (2) = 11

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.

$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ yaz, içler dışlar çarpımıyla paydadan kurtul ve $x$ 'i $y$ cinsinden çöz.

$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ yaz: $y (x - 1) = 2 x + 3$ .
Aç ve $x$ 'li terimleri topla: $y x - y = 2 x + 3 \Rightarrow y x - 2 x = y + 3$ .
$x$ 'i parantezine al ve çöz: $x (y - 2) = y + 3 \Rightarrow x = \frac{y + 3}{y - 2}$ .
Değişkenleri yer değiştir: $f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{x - 2}

Örnek

Soru

$f (x) = 4 x - 7$ fonksiyonu için $f^{- 1} (9)$ değerini bulunuz.

$f^{- 1} (9) = a ⟺ f (a) = 9$ .
Denklemi kur: $4 a - 7 = 9$ .
Çöz: $4 a = 16 \Rightarrow a = 4$ .

Sonuç:

f^{- 1} (9) = 4

Örnek

Soru

$f (x) = x + 5$ ve $(f \circ g) (x) = 3 x - 1$ veriliyor. $g (x)$ fonksiyonunu bulunuz.

$(f \circ g) (x) = f (g (x))$ demek $g (x)$ 'e $5$ ekleyip $3 x - 1$ elde etmek demektir. Buradan $g (x)$ 'i yalnız bırak.

Bileşkeyi yaz: $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = g (x) + 5$ .
Verilen ifadeye eşitle: $g (x) + 5 = 3 x - 1$ .
$g (x)$ 'i yalnız bırak: $g (x) = 3 x - 1 - 5 = 3 x - 6$ .

Sonuç:

g (x) = 3 x - 6

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 3$ ve $g (x) = x + 4$ olsun. $(f \circ g)^{- 1} (x)$ ifadesini bulunuz.

$(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ kuralını kullanabilirsin; ya da önce $f \circ g$ 'yi bulup tek seferde tersini alabilirsin.

Önce bileşkeyi bul: $(f \circ g) (x) = f (x + 4) = 2 (x + 4) - 3 = 2 x + 5$ .
Bu doğrusal fonksiyonun tersini al: $y = 2 x + 5 \Rightarrow x = \frac{y - 5}{2}$ .
Değişkenleri yer değiştir: $(f \circ g)^{- 1} (x) = \frac{x - 5}{2}$ .

Sonuç:

(f \circ g)^{- 1} (x) = \frac{x - 5}{2}

Örnek

Soru

Bire bir bir $f$ fonksiyonu için $f (3) = 7$ ve $f (7) = 2$ veriliyor. $(f \circ f)^{- 1} (2)$ değerini bulunuz.

$(f \circ f)^{- 1} (2) = a$ demek $(f \circ f) (a) = 2$ , yani $f (f (a)) = 2$ demektir. Verilen değerleri geriye doğru izle.

$(f \circ f)^{- 1} (2) = a ⟺ f (f (a)) = 2$ .
$f (7) = 2$ olduğundan $f (a) = 7$ olmalı.
$f (3) = 7$ olduğundan $a = 3$ bulunur.

Sonuç:

(f \circ f)^{- 1} (2) = 3

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x + 1$ ve $(g \circ f) (x) = 6 x + 5$ veriliyor. $g (x)$ fonksiyonunu bulunuz.

$(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (3 x + 1)$ 'dir. $g$ 'yi doğrusal $g (x) = a x + b$ alıp eşitleyebilir ya da $f (x) = u$ değişken değiştirmesi yapabilirsin.

$f (x) = 3 x + 1 = u$ diyelim; o hâlde $x = \frac{u - 1}{3}$ .
$(g \circ f) (x) = g (u) = 6 x + 5$ . $x$ yerine $\frac{u - 1}{3}$ koy: $g (u) = 6 \cdot \frac{u - 1}{3} + 5 = 2 (u - 1) + 5 = 2 u + 3$ .
Değişkeni $x$ olarak yaz: $g (x) = 2 x + 3$ . (Kontrol: $g (3 x + 1) = 2 (3 x + 1) + 3 = 6 x + 5$ . ✓)

Sonuç:

g (x) = 2 x + 3

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ fonksiyonu için $f^{- 1} (3)$ değerini bulunuz.

Ters formülü bulmak yerine doğrudan $f (a) = 3$ denklemini çözmek daha hızlıdır.

$f^{- 1} (3) = a ⟺ f (a) = 3$ : $\frac{a + 1}{a - 2} = 3$ .
İçler dışlar çarpımı: $a + 1 = 3 (a - 2) = 3 a - 6$ .
Düzenle: $a + 1 = 3 a - 6 \Rightarrow 7 = 2 a \Rightarrow a = \frac{7}{2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (3) = \frac{7}{2}

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 1$ olmak üzere $(f^{- 1} \circ f^{- 1}) (x)$ ifadesini bulunuz.

Önce $f^{- 1} (x)$ 'i bul, sonra onu kendi içine uygula.

$f^{- 1} (x)$ : $y = 2 x - 1 \Rightarrow x = \frac{y + 1}{2}$ , yani $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}$ .
Kendi içine uygula: $(f^{- 1} \circ f^{- 1}) (x) = f^{- 1} (\frac{x + 1}{2}) = \frac{\frac{x + 1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{x + 3}{2}}{2} = \frac{x + 3}{4}$ .

Sonuç:

(f^{- 1} \circ f^{- 1}) (x) = \frac{x + 3}{4}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır. Önce kendin çöz, sonra çözüme bak.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Bileşke değer hesabı: (f∘g)(a): Sırayı ters uygulayıp (g∘f)(a) hesaplamak f(2)=4, g(4)=17 (doğrusu 13)
f⁻¹(a)=b ⇔ f(b)=a hızlı değer okuma: f⁻¹(7) yerine f(7) hesaplamak 3·7+1=22
Ters fonksiyon formülü — (ax+b)/(cx+d) kalıbı: Pratik kalıpta işaretleri karıştırmak: (x−3)/(x+2) yazmak f⁻¹(3)=0/5=0 (doğrusu 6)
Bileşkeden bilinmeyen fonksiyonu bulma (değişken değiştirme): Verilen bileşkeyi (g∘f) sanıp denklemi ters kurmak g(x)=2x+7 ⇒ g(3)=13 (doğrusu 8)
Bileşke + ters karışık değer: f⁻¹(g(a)) tarzı: İçten dışa sırayı bozup g(f⁻¹(a)) hesaplamak f⁻¹(7)=4, g(4)=6 (doğrusu 5)
(f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ sıra tuzağı: Sırayı korumak: (g∘f)⁻¹ için g⁻¹(f⁻¹(x)) yazmak g⁻¹(9/2)=−1/2 (doğrusu 2)

Soru 1Orta

f (x) = x + 2

g (x) = 3 x - 4

fonksiyonları için

(f + g) (a) = 10

(f \cdot g) (b) = 0

(

b

pozitif) eşitlikleri sağlanıyor. Buna göre

(f \circ g) (a - b)

değeri kaçtır?

$(f + g) (x) = (x + 2) + (3 x - 4) = 4 x - 2$ . $(f + g) (a) = 10 \Rightarrow 4 a - 2 = 10 \Rightarrow a = 3$ .
$(f \cdot g) (x) = (x + 2) (3 x - 4) = 0 \Rightarrow x = - 2$ ya da $x = \frac{4}{3}$ . $b$ pozitif olduğundan $b = \frac{4}{3}$ .
$a - b = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ .
$g (\frac{5}{3}) = 3 \cdot \frac{5}{3} - 4 = 1$ ; $f (1) = 1 + 2 = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 2Orta

f (x) = a x + b

doğrusal fonksiyonu

f (2) = 7

f^{- 1} (1) = - 1

koşullarını sağlamaktadır. Buna göre

a \cdot b

çarpımı kaçtır?

$f (2) = 7 \Rightarrow 2 a + b = 7$ .
$f^{- 1} (1) = - 1$ demek $f (- 1) = 1$ demektir: $- a + b = 1$ .
İki denklemi taraf tarafa çıkar: $3 a = 6 \Rightarrow a = 2$ , buradan $b = 3$ .
$a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6$ .

Sonuç:

6

Soru 3Orta

f (x) = 2 x + 1

g (x) = x - 3

fonksiyonları veriliyor. Buna göre

(f \circ g)^{- 1} (5)

değeri kaçtır?

Bileşke: $(f \circ g) (x) = f (x - 3) = 2 (x - 3) + 1 = 2 x - 5$ .
$(f \circ g)^{- 1} (5)$ , $(f \circ g) (x) = 5$ olan $x$ değeridir: $2 x - 5 = 5 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 4Zor

Bire bir ve örten bir

f

fonksiyonu için

f (2 x - 1) = 3 x + 4

eşitliği her

x

için sağlanmaktadır. Buna göre

f^{- 1} (13)

değeri kaçtır?

$2 x - 1 = t$ diyelim: $x = \frac{t + 1}{2}$ . O hâlde $f (t) = 3 \cdot \frac{t + 1}{2} + 4 = \frac{3 t + 3}{2} + 4 = \frac{3 t + 11}{2}$ .
Yani $f (x) = \frac{3 x + 11}{2}$ .
$f^{- 1} (13) = a ⟺ f (a) = 13$ : $\frac{3 a + 11}{2} = 13 \Rightarrow 3 a + 11 = 26 \Rightarrow 3 a = 15 \Rightarrow a = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 5Zor

f (x) = 2 x + 3

g

bire bir bir fonksiyon olmak üzere

(f \circ g) (x) = 4 x - 1

veriliyor. Buna göre

g^{- 1} (4)

değeri kaçtır?

$f (g (x)) = 2 g (x) + 3 = 4 x - 1 \Rightarrow 2 g (x) = 4 x - 4 \Rightarrow g (x) = 2 x - 2$ .
$g^{- 1} (4) = a ⟺ g (a) = 4$ : $2 a - 2 = 4 \Rightarrow 2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 6Orta

f (x) = x - 4

g (x) = 3 x

fonksiyonları veriliyor. Buna göre

(g \circ f)^{- 1} (6)

değeri kaçtır?

Bileşkeyi bul: $(g \circ f) (x) = g (x - 4) = 3 (x - 4) = 3 x - 12$ .
$(g \circ f)^{- 1} (6)$ , $(g \circ f) (x) = 6$ olan $x$ değeridir: $3 x - 12 = 6 \Rightarrow 3 x = 18 \Rightarrow x = 6$ .
Kural ile kontrol: $g^{- 1} (x) = \frac{x}{3}$ , $f^{- 1} (x) = x + 4$ . $(f^{- 1} \circ g^{- 1}) (6) = f^{- 1} (\frac{6}{3}) = f^{- 1} (2) = 2 + 4 = 6$ . ✓

Sonuç:

6

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Bileşkede sırayı ters uygulamak: $(f \circ g) (x)$ 'te önce $g$ sonra $f$ gelir. Soldaki $f$ 'yi önce uygulamak en yaygın hatadır. İşlem sağdan sola okunur.
$f^{- 1}$ 'i $\frac{1}{f}$ sanmak: $f^{- 1}$ ters fonksiyondur, çarpmaya göre tersi değil. $f (x) = 2 x$ için $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2}$ 'dir, $\frac{1}{2 x}$ değil.
Bileşkenin tersinde sırayı korumak: $(f \circ g)^{- 1} = g^{- 1} \circ f^{- 1}$ 'tir; sıra ters döner. $f^{- 1} \circ g^{- 1}$ yazmak hatalıdır.

Sınav İpucu

$f^{- 1} (a)$ tipi sorularda formül bulmaya çalışmak yerine doğrudan $f (x) = a$ denklemini çözmek çoğu zaman daha hızlıdır. Bileşke içeren ters sorularında ise önce bileşkeyi sadeleştirip tek bir fonksiyon hâline getir, sonra tersini al. Doğrusal fonksiyonlarda $f (x) = a x + b \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - b}{a}$ formülünü ezbere bilmek zaman kazandırır.

1. Bileşke Fonksiyon

2. Ters Fonksiyon

Doğrusal Fonksiyonun Tersi

3. Bileşkenin Tersi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Fonksiyonlar — diğer konular