çözümebak

AYT Matematik · Fonksiyonlar · Soru Tipleri

Bileşke ve Ters Fonksiyon — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Bileşke değer hesabı: (f∘g)(a)

    KolaySık çıkar

    İki fonksiyon açık verilir, bir noktadaki bileşke değeri istenir. İşlem sağdan sola: önce iç fonksiyon. Konunun açılış sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. (f∘g)(a) = f(g(a)): önce g(a)'yı hesapla.
    2. Çıkan sonucu f'ye girdi olarak ver.
    3. Sıra kritik — f∘g ile g∘f genelde farklıdır.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sırayı ters uygulayıp (g∘f)(a) hesaplamakf(2)=4, g(4)=17 (doğrusu 13)
    • Bileşkeyi çarpım sanmak: f(a)·g(a)4·5=20

    Örnek

    f(x)=3x−2 ve g(x)=x²+1 ise (f∘g)(2) kaçtır?

    g(2)=4+1=5; f(5)=15−2=13

  2. f⁻¹(a)=b ⇔ f(b)=a hızlı değer okuma

    KolaySık çıkar

    Ters fonksiyonun bir noktadaki değeri istenir. Formül çıkarmaya gerek yok: f⁻¹(a)=b demek f(b)=a demektir; tek denklem çözülür.

    Nasıl çözülür

    1. f⁻¹(a)=b yaz ve f(b)=a denklemine çevir.
    2. b'yi çöz — ters fonksiyonun formülünü bulmak zaman kaybıdır.
    3. Kontrol: bulduğun b'yi f'ye koy, a çıkmalı.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • f⁻¹(7) yerine f(7) hesaplamak3·7+1=22
    • Tersi çarpmaya göre ters sanmak: 1/f(7)1/22

    Örnek

    f(x)=3x+1 ise f⁻¹(7) kaçtır?

    f(b)=7 ⇒ 3b+1=7 ⇒ b=2

  3. Ters fonksiyon formülü — (ax+b)/(cx+d) kalıbı

    OrtaSık çıkar

    Doğrusal ya da rasyonel fonksiyonun tersinin formülü (veya tersinin bir değeri) istenir. y'yi x cinsinden çözme alışkanlığı ölçülür.

    Nasıl çözülür

    1. y=f(x) yaz, içler dışlar çarpımıyla paydadan kurtul.
    2. x'li terimleri bir tarafa topla, x parantezine al, x'i çöz.
    3. Pratik kalıp: f(x)=(ax+b)/(cx+d) ⇒ f⁻¹(x)=(−dx+b)/(cx−a).

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Pratik kalıpta işaretleri karıştırmak: (x−3)/(x+2) yazmakf⁻¹(3)=0/5=0 (doğrusu 6)
    • Ters yerine fonksiyonun kendisinde değer hesaplamak: f(3)9/2

    Örnek

    f(x)=(2x+3)/(x−1) ise f⁻¹(3) kaçtır?

    f⁻¹(x)=(x+3)/(x−2) ⇒ f⁻¹(3)=6/1=6 (kontrol: f(6)=15/5=3)

  4. Bileşkeden bilinmeyen fonksiyonu bulma (değişken değiştirme)

    OrtaSık çıkar

    f ile (f∘g) verilir g istenir — ya da f(2x+1)=… biçiminde bileşik ifade verilip f istenir. Değişken değiştirme (t deyip x'i çözme) sorunun omurgası.

    Nasıl çözülür

    1. Dış fonksiyon biliniyorsa: f(g(x)) ifadesini aç, g(x)'i tek başına çöz.
    2. İç ifade karmaşıksa t de: t=2x+1 ⇒ x=(t−1)/2, yerine koy.
    3. Bulduğun fonksiyonu bir noktada asıl eşitlikle sağlayarak doğrula.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Verilen bileşkeyi (g∘f) sanıp denklemi ters kurmakg(x)=2x+7 ⇒ g(3)=13 (doğrusu 8)
    • g(x)'i çözerken sabiti unutmak: 3g(x)=6x+5'ten g(x)=2x+5/3'ü yanlış sadeleştirmektam sayı olmayan, şıklarla uyuşmayan değer

    Örnek

    f(x)=3x−1 ve (f∘g)(x)=6x+5 ise g(3) kaçtır?

    3g(x)−1=6x+5 ⇒ g(x)=2x+2 ⇒ g(3)=8

  5. Bileşke + ters karışık değer: f⁻¹(g(a)) tarzı

    ZorSık çıkar

    İki fonksiyon verilir; f⁻¹(g(a)) ya da (f∘g)⁻¹(a) gibi ters ve bileşkenin iç içe geçtiği bir değer istenir. İçten dışa sabırla ilerleme ölçülür.

    Nasıl çözülür

    1. En içteki hesaptan başla: önce g(a)'yı bul.
    2. f⁻¹(sonuç) için f(b)=sonuç denklemini çöz — formül çıkarma.
    3. (f∘g)⁻¹(a) istenirse bileşkeyi kur, sonucu a'ya eşitleyip x'i çöz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • İçten dışa sırayı bozup g(f⁻¹(a)) hesaplamakf⁻¹(7)=4, g(4)=6 (doğrusu 5)
    • Ters almayı unutup f(g(7)) hesaplamakf(9)=17

    Örnek

    f(x)=2x−1 ve g(x)=x+2 ise f⁻¹(g(7)) kaçtır?

    g(7)=9; f(b)=9 ⇒ 2b−1=9 ⇒ b=5

    Sık birleştiği konular: Fonksiyon ve Çeşitleri

  6. (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ sıra tuzağı

    ZorSık çıkar

    Bileşkenin tersi istenir; şıklarda hem g⁻¹∘f⁻¹ hem f⁻¹∘g⁻¹ sonuçları bulunur. Kural: bileşkenin tersi, terslerin TERS SIRADA bileşkesidir (çorap-ayakkabı: giyerken çorap önce, çıkarırken ayakkabı önce).

    Nasıl çözülür

    1. (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ — sıra değişir; ezber yerine çorap-ayakkabı benzetmesini kullan.
    2. Değer soruluyorsa kuralsız da gider: bileşkeyi açık kur, a'ya eşitle, x'i çöz.
    3. İki yoldan biriyle çözüp diğeriyle sağlaması yap — sınavda 20 saniyelik sigorta.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sırayı korumak: (g∘f)⁻¹ için g⁻¹(f⁻¹(x)) yazmakg⁻¹(9/2)=−1/2 (doğrusu 2)
    • Tersleri almadan yalnız sırayı değiştirmek: (f∘g)(a) hesaplamakf(g(9))=28

    Örnek

    f(x)=2x ve g(x)=x+5 ise (g∘f)⁻¹(9) kaçtır?

    (g∘f)(x)=2x+5=9 ⇒ x=2 (kural: f⁻¹(g⁻¹(9))=f⁻¹(4)=2)

  7. Grafikten/noktadan ters fonksiyon değeri okuma

    Orta

    f'nin grafiği ya da geçtiği noktalar verilir; f⁻¹'in bir değeri (çoğu kez f değeriyle karışık toplam) istenir. Kural: (a,b) f'nin üzerindeyse f⁻¹(b)=a — grafikler y=x doğrusuna göre simetriktir.

    Nasıl çözülür

    1. Grafikteki her noktayı (girdi, çıktı) çifti olarak listele.
    2. f⁻¹(b) soruluyorsa çıktısı b olan noktanın girdisini oku.
    3. y=x simetrisi: f⁻¹'in grafiği çizilmeden noktalar takas edilerek okunur.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • y=x simetrisini unutup f⁻¹(4) yerine grafikten f(4) aramakeldeki 7'yi kullanan 7+7=14
    • Nokta koordinatlarını ters okumak: (1,4)'ten f⁻¹(1)=4 çıkarmak4+7=11

    Örnek

    f'nin grafiği (1,4) ve (3,7) noktalarından geçiyor. f⁻¹(4)+f(3) kaçtır?

    (1,4) üzerinde ⇒ f⁻¹(4)=1; f(3)=7; toplam 8

    Sık birleştiği konular: Fonksiyon Grafikleri ve İşlemleri

7 soru tipini gördün. Şimdi Bileşke ve Ters Fonksiyon sorularını çöz →