çözümebak

AYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon ve Çeşitleri

~10 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Fonksiyon, AYT matematiğinin omurgasıdır: limit, türev ve integral konularının hepsi fonksiyon kavramı üzerine kurulur. Bu konuda bir bağıntının ne zaman fonksiyon olduğunu, tanım–değer–görüntü kümelerini ve bire bir, örten, içine, çift, tek fonksiyon türlerini örneklerle inceliyoruz.

1. Fonksiyon Tanımı

A ve B boştan farklı iki küme olsun. A kümesindeki her elemanı B kümesindeki bir tek elemana eşleyen bağıntıya A'dan B'ye fonksiyon denir ve f:A\to B ile gösterilir.

Bir bağıntının fonksiyon olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:

KoşulAnlamı
TanımlılıkA'nın her elemanının bir görüntüsü vardır (açıkta eleman kalmaz)
Tek değerlilikHer elemanın görüntüsü tektir (x'e iki farklı değer atanamaz)

Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

Örneğin f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2 için tanım kümesi \mathbb{R}, değer kümesi \mathbb{R}, fakat görüntü kümesi [0,\infty)'dur çünkü kareler negatif olamaz.

2. Bire Bir, Örten ve İçine Fonksiyonlar

TürTanımSezgi
Bire bir (injektif)x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)Farklı girdiler farklı çıktı verir
Örten (sürjektif)f(A)=BDeğer kümesinde açıkta eleman kalmaz
İçinef(A)\ne BÖrten olmayan; bazı değerler alınmaz

Bire bir olma koşulunu kontrol etmenin pratik yolu: f(x_1)=f(x_2) kabul edip x_1=x_2 sonucuna ulaşabiliyorsak fonksiyon bire birdir.

Grafik testi (yatay doğru testi): Bir fonksiyonun grafiği her yatay doğruyu en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Aşağıdaki f(x)=2x+1 doğrusu bu testi geçer; her yatay doğruyu tam bir kez keser, dolayısıyla bire birdir.

(0, 1)xyy = 2x + 1
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1 fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz.

  1. f(x_1)=f(x_2) kabul et: 2x_1+1=2x_2+1.

  2. Her iki taraftan 1 çıkar: 2x_1=2x_2.

  3. 2'ye böl: x_1=x_2.

Farklı girdiler için görüntüler de farklı olacağından fonksiyon bire birdir.

Sonuç: f(x)=2x+1 bire birdir.
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2 fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyiniz.

  1. Farklı iki girdi seç: x_1=-2 ve x_2=2 alalım. Bunlar farklıdır (-2\ne 2).

  2. Görüntülerini hesapla: f(-2)=4 ve f(2)=4.

  3. Farklı girdiler aynı görüntüyü verdi (f(-2)=f(2)), bu yüzden bire bir olma koşulu bozulur.

Sonuç: f(x)=x^2, \mathbb{R} üzerinde bire bir değildir.
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2 fonksiyonu örten midir?

Örtenlik için görüntü kümesinin değer kümesine (\mathbb{R}) eşit olması gerekir. Negatif bir değer (örneğin -1) elde edilebiliyor mu?

  1. Değer kümesi \mathbb{R}'dir; örten olması için her gerçek sayı bir görüntü olmalıdır.

  2. f(x)=x^2\ge 0 olduğundan görüntü kümesi [0,\infty)'dur.

  3. Örneğin -1 değeri hiçbir x için elde edilemez (x^2=-1'in gerçek çözümü yok), yani f(A)=[0,\infty)\ne\mathbb{R}=B.

Sonuç: f(x)=x^2 örten değildir (içine fonksiyondur).

3. Çift ve Tek Fonksiyonlar

Tanım kümesi orijine göre simetrik bir fonksiyon için:

f(-x)=f(x)\ \text{ise } f \text{ çift fonksiyondur} \quad(y\text{ eksenine göre simetri})

f(-x)=-f(x)\ \text{ise } f \text{ tek fonksiyondur} \quad(\text{orijine göre simetri})

Pratik kural: Sadece çift dereceli kuvvetlerden (ve sabitten) oluşan polinom çifttir; sadece tek dereceli kuvvetlerden oluşan polinom tektir. İkisi karışırsa fonksiyon ne çift ne tektir.

Örnek
Soru

f(x)=x^2 fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.

  1. x yerine -x yaz: f(-x)=(-x)^2.

  2. Sadeleştir: (-x)^2=x^2=f(x).

  3. f(-x)=f(x) sağlandığından fonksiyon çifttir; grafiği y eksenine göre simetriktir.

Sonuç: f(x)=x^2 çift fonksiyondur.
Örnek
Soru

f(x)=x^3 fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.

  1. x yerine -x yaz: f(-x)=(-x)^3.

  2. Sadeleştir: (-x)^3=-x^3=-f(x).

  3. f(-x)=-f(x) sağlandığından fonksiyon tektir; grafiği orijine göre simetriktir.

Sonuç: f(x)=x^3 tek fonksiyondur.

4. Özel Fonksiyonlar

FonksiyonTanımÖzellik
Sabitf(x)=cHer girdiyi tek bir c değerine eşler; grafiği yatay doğru
Birimf(x)=xHer elemanı kendisine eşler; bire bir ve örtendir
Doğrusalf(x)=ax+b,\ a\ne 0Grafiği doğrudur; a\ne 0 ise bire bir ve örtendir

Sabit fonksiyon f(x)=c bire bir değildir (tüm girdiler aynı çıktıyı verir) ve genelde örten de değildir. Doğrusal fonksiyon f(x)=ax+b'de b=0 özel durumunda f(x)=ax elde edilir; bu bir tek fonksiyondur çünkü f(-x)=-ax=-f(x).

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x-7 fonksiyonunun bire bir olduğunu inceleyiniz.

  1. f(x_1)=f(x_2) kabul et: 3x_1-7=3x_2-7.

  2. Her iki tarafa 7 ekle: 3x_1=3x_2.

  3. 3'e böl: x_1=x_2.

Eşit görüntüler ancak eşit girdilerden geldiği için fonksiyon bire birdir.

Sonuç: f(x)=3x-7 bire birdir.
Örnek
Soru

f(x)=x^4-3x^2+5 fonksiyonunun çift mi, tek mi yoksa hiçbiri mi olduğunu belirleyiniz.

f(-x) ifadesini hesapla ve f(x) ile -f(x)'e karşılaştır. Tüm üsler çift mi?

  1. x yerine -x yaz: f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+5.

  2. Üsleri sadeleştir: (-x)^4=x^4 ve (-x)^2=x^2, dolayısıyla f(-x)=x^4-3x^2+5.

  3. Sonuç f(x) ile aynı: f(-x)=f(x).

Tüm kuvvetler çift dereceli (ve bir sabit) olduğundan fonksiyon çifttir.

Sonuç: f(x)=x^4-3x^2+5 çift fonksiyondur.
Örnek
Soru

f(x)=x^3+2x fonksiyonunun çift mi, tek mi olduğunu belirleyiniz.

  1. x yerine -x yaz: f(-x)=(-x)^3+2(-x).

  2. Sadeleştir: (-x)^3=-x^3 ve 2(-x)=-2x, dolayısıyla f(-x)=-x^3-2x.

  3. Ortak parantez al: -x^3-2x=-(x^3+2x)=-f(x).

f(-x)=-f(x) sağlandığından fonksiyon tektir.

Sonuç: f(x)=x^3+2x tek fonksiyondur.
Örnek
Soru

f(x)=2x^2-5x+1 fonksiyonu için f(-x) ifadesini bulunuz ve fonksiyonun çift mi tek mi olduğunu söyleyiniz.

  1. x yerine -x yaz: f(-x)=2(-x)^2-5(-x)+1.

  2. Sadeleştir: 2x^2+5x+1.

  3. Karşılaştır: f(x)=2x^2-5x+1 olduğundan f(-x)\ne f(x) (orta terimin işareti farklı), yani çift değildir. Ayrıca -f(x)=-2x^2+5x-1 olduğundan f(-x)\ne -f(x), yani tek de değildir.

Sonuç: f(-x)=2x^2+5x+1; fonksiyon ne çift ne tektir.
Örnek
Soru

f(x)=ax+b doğrusal fonksiyonu f(1)=5 ve f(3)=11 koşullarını sağlıyor. a ve b değerlerini bulunuz.

Verilen iki koşulu yerine koyarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kur, sonra denklemleri taraf tarafa çıkararak a'yı yalnız bırak.

  1. Koşulları yaz: f(1)=a+b=5 ve f(3)=3a+b=11.

  2. İkinci denklemden birinciyi çıkar: (3a+b)-(a+b)=11-5 \Rightarrow 2a=6.

  3. a=3 bulunur; a+b=5 denkleminde yerine koy: 3+b=5 \Rightarrow b=2.

Sonuç: a=3,\ b=2, yani f(x)=3x+2.
Örnek
Soru

f:[0,\infty)\to[k,\infty), f(x)=x^2+3 fonksiyonunun örten olması için k değeri kaç olmalıdır?

Örtenlik için görüntü kümesinin değer kümesine eşit olması gerekir. Tanım kümesi [0,\infty) iken x^2'nin alabileceği en küçük değer nedir?

  1. Tanım kümesi [0,\infty) olduğundan x\ge 0 için x^2\ge 0, en küçük değer x=0'da 0'dır.

  2. Buna 3 eklenince f(x)=x^2+3\ge 3 olur; x büyüdükçe değer sınırsız artar. Yani görüntü kümesi [3,\infty)'dur.

  3. Fonksiyonun örten olması için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalı: [k,\infty)=[3,\infty) \Rightarrow k=3.

Sonuç: k=3.
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(m-2)x+5 fonksiyonunun bire bir ve örten (yani tersinir) olması için m hangi koşulu sağlamalıdır?

Doğrusal fonksiyon f(x)=ax+b, ancak a\ne 0 ise hem bire bir hem örtendir. Burada a=m-2'dir.

  1. f doğrusaldır; bire bir ve örten olması için eğim sıfırdan farklı olmalıdır: m-2\ne 0.

  2. Buradan m\ne 2 bulunur. m=2 olsaydı f(x)=5 sabit fonksiyon olur, ne bire bir ne örten olurdu.

Sonuç: m\ne 2.
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} bir tek fonksiyondur ve f(2)=7, f(5)=-3 veriliyor. Buna göre f(-2)+f(-5) toplamını bulunuz.

Tek fonksiyonda f(-x)=-f(x) olur. Her terimi bu kuralla negatif girdiye taşı.

  1. Tek fonksiyon olduğundan f(-2)=-f(2)=-7 ve f(-5)=-f(5)=-(-3)=3.

  2. Topla: f(-2)+f(-5)=-7+3=-4.

Sonuç: f(-2)+f(-5)=-4.
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=\dfrac{x-3}{2} fonksiyonu örten midir? Gerekçesiyle açıklayınız.

  1. f doğrusaldır (a=\tfrac12\ne 0). Örten olup olmadığını görmek için herhangi bir y\in\mathbb{R} için f(x)=y denkleminin çözülebildiğini gösterelim.

  2. \dfrac{x-3}{2}=y \Rightarrow x-3=2y \Rightarrow x=2y+3. Her gerçek y için bir x vardır.

  3. Görüntü kümesi tüm \mathbb{R}'dir; değer kümesine eşittir, dolayısıyla fonksiyon örtendir (ayrıca bire birdir).

Sonuç: Evet, f örtendir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} olmak üzere f(x)=a x^3+(a-3)x^2+5x+b-4 fonksiyonu tek fonksiyondur.

Buna göre a+b kaçtır?

A) 5 · B) 6 · C) 7 · D) 8 · E) 9

  1. Tek fonksiyonda yalnızca tek dereceli kuvvetler bulunabilir; çift dereceli terim ve sabit terim sıfır olmalıdır.

  2. x^2 teriminin katsayısı sıfır olmalı: a-3=0 \Rightarrow a=3.

  3. Sabit terim sıfır olmalı: b-4=0 \Rightarrow b=4.

  4. İstenen değer: a+b=3+4=7.

Sonuç: C) 7
Örnek
Soru

f:[2,\infty)\to[c,\infty), f(x)=x^2-4x+7 fonksiyonu örten bir fonksiyondur.

Buna göre c kaçtır?

A) 3 · B) 4 · C) 5 · D) 6 · E) 7

  1. Örtenlik için değer kümesi [c,\infty), görüntü kümesine eşit olmalıdır.

  2. f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3 biçiminde yazılır; tepe noktası x=2'dedir.

  3. Tanım kümesi [2,\infty) olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır; en küçük değer x=2'de f(2)=0+3=3'tür ve x büyüdükçe değer sınırsız artar. Görüntü kümesi [3,\infty) olur.

  4. [c,\infty)=[3,\infty) \Rightarrow c=3.

Sonuç: A) 3
Örnek
Soru

f bir çift fonksiyon, g bir tek fonksiyondur. h(x)=f(x)+g(x) fonksiyonu için h(3)=11 ve h(-3)=5 veriliyor.

Buna göre f(3)\cdot g(3) çarpımı kaçtır?

A) 11 · B) 15 · C) 18 · D) 21 · E) 24

  1. f çift olduğundan f(-3)=f(3); g tek olduğundan g(-3)=-g(3).

  2. Verilenleri yaz: h(3)=f(3)+g(3)=11 ve h(-3)=f(-3)+g(-3)=f(3)-g(3)=5.

  3. İki denklemi taraf tarafa topla: 2f(3)=16 \Rightarrow f(3)=8. Birinciden g(3)=11-8=3.

  4. İstenen çarpım: f(3)\cdot g(3)=8\cdot 3=24.

Sonuç: E) 24
Örnek
Soru

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} olmak üzere f(x)=\dfrac{(2a-6)x^2+5x+(b+1)}{x^2+3} fonksiyonu tek fonksiyondur.

Buna göre a+b kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. Payda x^2+3 çift bir ifadedir. Bütün kesrin tek olabilmesi için pay da tek olmalıdır; yani payda yalnızca tek dereceli terim kalmalı, çift dereceli ve sabit terimler sıfırlanmalıdır.

  2. x^2 katsayısı sıfır: 2a-6=0 \Rightarrow a=3.

  3. Sabit terim sıfır: b+1=0 \Rightarrow b=-1. (Kontrol: f(0)=\dfrac{0}{3}=0, tek fonksiyon koşuluyla uyumlu.)

  4. Geriye f(x)=\dfrac{5x}{x^2+3} kalır; bu gerçekten tektir. İstenen: a+b=3+(-1)=2.

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

f:[1,5]\to B, f(x)=x^2-2x+4 fonksiyonunun örten olması için B değer kümesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A) [3,19] · B) [4,19] · C) [0,19] · D) [3,20] · E) [4,20]

  1. f(x)=x^2-2x+4=(x-1)^2+3. Tepe noktası x=1'dedir ve tepe değeri 3'tür.

  2. Tanım kümesi [1,5], tepe noktasından başlar; bu aralıkta fonksiyon artandır. En küçük değer x=1'de f(1)=(0)^2+3=3.

  3. En büyük değer x=5'te: f(5)=(5-1)^2+3=16+3=19.

  4. Görüntü kümesi [3,19]'dur. Örtenlik için B buna eşit olmalıdır.

Sonuç: A) [3,19]
Örnek
Soru

f ve g, \mathbb{R} üzerinde tanımlı fonksiyonlardır. f çift, g tek fonksiyondur ve her ikisi de aynı anda bire bir olamaz. g(x)=x^3+kx tek fonksiyon olduğuna ve g(2)=14 sağlandığına göre k kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. g(x)=x^3+kx ifadesinin tüm üsleri tektir; her k değeri için zaten tektir, ek koşul gerekmez.

  2. g(2)=14 koşulunu kullan: 2^3+k\cdot 2=14 \Rightarrow 8+2k=14.

  3. 2k=6 \Rightarrow k=3.

Sonuç: C) 3

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çift/tek incelemesinde önce polinomun üslerine bakın: tüm üsler çiftse (sabit dahil) fonksiyon çift, tümü tekse fonksiyon tektir; karışıksa hemen "ne çift ne tek" diyebilirsiniz; f(-x) hesabıyla zaman kaybetmenize gerek kalmaz.

Fonksiyonlar — diğer konular