AYT Matematik · Fonksiyonlar

Fonksiyon ve Çeşitleri

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Fonksiyon, AYT matematiğinin omurgasıdır: limit, türev ve integral konularının hepsi fonksiyon kavramı üzerine kurulur. Bu konuda bir bağıntının ne zaman fonksiyon olduğunu, tanım–değer–görüntü kümelerini ve bire bir, örten, içine, çift, tek fonksiyon türlerini örneklerle inceliyoruz.

1. Fonksiyon Tanımı

$A$ ve $B$ boştan farklı iki küme olsun. $A$ kümesindeki her elemanı $B$ kümesindeki bir tek elemana eşleyen bağıntıya $A$ 'dan $B$ 'ye fonksiyon denir ve $f : A \to B$ ile gösterilir.

Bir bağıntının fonksiyon olması için iki koşul birlikte sağlanmalıdır:

Koşul	Anlamı
Tanımlılık	$A$ 'nın her elemanının bir görüntüsü vardır (açıkta eleman kalmaz)
Tek değerlilik	Her elemanın görüntüsü tektir ( $x$ 'e iki farklı değer atanamaz)

Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

Tanım kümesi ( $A$ ): Fonksiyona giren elemanların kümesidir.
Değer kümesi ( $B$ ): Çıktıların seçildiği hedef kümedir.
Görüntü kümesi ( $f (A)$ ): Fiilen elde edilen değerlerin kümesidir; her zaman $f (A) \subseteq B$ olur.

Örneğin $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ için tanım kümesi $R$ , değer kümesi $R$ , fakat görüntü kümesi $[0, \infty)$ 'dur çünkü kareler negatif olamaz.

2. Bire Bir, Örten ve İçine Fonksiyonlar

Tür	Tanım	Sezgi
Bire bir (injektif)	$x_{1} \neq = x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$	Farklı girdiler farklı çıktı verir
Örten (sürjektif)	$f (A) = B$	Değer kümesinde açıkta eleman kalmaz
İçine	$f (A) \neq = B$	Örten olmayan; bazı değerler alınmaz

Bire bir olma koşulunu kontrol etmenin pratik yolu: $f (x_{1}) = f (x_{2})$ kabul edip $x_{1} = x_{2}$ sonucuna ulaşabiliyorsak fonksiyon bire birdir.

Grafik testi (yatay doğru testi): Bir fonksiyonun grafiği her yatay doğruyu en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire birdir. Aşağıdaki $f (x) = 2 x + 1$ doğrusu bu testi geçer; her yatay doğruyu tam bir kez keser, dolayısıyla bire birdir.

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz.

$f (x_{1}) = f (x_{2})$ kabul et: $2 x_{1} + 1 = 2 x_{2} + 1$ .
Her iki taraftan $1$ çıkar: $2 x_{1} = 2 x_{2}$ .
$2$ 'ye böl: $x_{1} = x_{2}$ .

Farklı girdiler için görüntüler de farklı olacağından fonksiyon bire birdir.

Sonuç:

f (x) = 2 x + 1

bire birdir.

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun bire bir olup olmadığını inceleyiniz.

Farklı iki girdi seç: $x_{1} = - 2$ ve $x_{2} = 2$ alalım. Bunlar farklıdır ( $- 2 \neq = 2$ ).
Görüntülerini hesapla: $f (- 2) = 4$ ve $f (2) = 4$ .
Farklı girdiler aynı görüntüyü verdi ( $f (- 2) = f (2)$ ), bu yüzden bire bir olma koşulu bozulur.

Sonuç:

f (x) = x^{2}

R

üzerinde bire bir değildir.

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = x^{2}$ fonksiyonu örten midir?

Örtenlik için görüntü kümesinin değer kümesine ( $R$ ) eşit olması gerekir. Negatif bir değer (örneğin $- 1$ ) elde edilebiliyor mu?

Değer kümesi $R$ 'dir; örten olması için her gerçek sayı bir görüntü olmalıdır.
$f (x) = x^{2} \geq 0$ olduğundan görüntü kümesi $[0, \infty)$ 'dur.
Örneğin $- 1$ değeri hiçbir $x$ için elde edilemez ( $x^{2} = - 1$ 'in gerçek çözümü yok), yani $f (A) = [0, \infty) \neq = R = B$ .

Sonuç:

f (x) = x^{2}

örten değildir (içine fonksiyondur).

3. Çift ve Tek Fonksiyonlar

Tanım kümesi orijine göre simetrik bir fonksiyon için:

$f (- x) = f (x) ise f \overset{c}{¸} ift fonksiyondur (y eksenine g \overset{o}{¨} re simetri)$

$f (- x) = - f (x) ise f tek fonksiyondur (orijine g \overset{o}{¨} re simetri)$

Pratik kural: Sadece çift dereceli kuvvetlerden (ve sabitten) oluşan polinom çifttir; sadece tek dereceli kuvvetlerden oluşan polinom tektir. İkisi karışırsa fonksiyon ne çift ne tektir.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.

$x$ yerine $- x$ yaz: $f (- x) = (- x)^{2}$ .
Sadeleştir: $(- x)^{2} = x^{2} = f (x)$ .
$f (- x) = f (x)$ sağlandığından fonksiyon çifttir; grafiği $y$ eksenine göre simetriktir.

Sonuç:

f (x) = x^{2}

çift fonksiyondur.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3}$ fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.

$x$ yerine $- x$ yaz: $f (- x) = (- x)^{3}$ .
Sadeleştir: $(- x)^{3} = - x^{3} = - f (x)$ .
$f (- x) = - f (x)$ sağlandığından fonksiyon tektir; grafiği orijine göre simetriktir.

Sonuç:

f (x) = x^{3}

tek fonksiyondur.

4. Özel Fonksiyonlar

Fonksiyon	Tanım	Özellik
Sabit	$f (x) = c$	Her girdiyi tek bir $c$ değerine eşler; grafiği yatay doğru
Birim	$f (x) = x$	Her elemanı kendisine eşler; bire bir ve örtendir
Doğrusal	$f (x) = a x + b, a \neq = 0$	Grafiği doğrudur; $a \neq = 0$ ise bire bir ve örtendir

Sabit fonksiyon $f (x) = c$ bire bir değildir (tüm girdiler aynı çıktıyı verir) ve genelde örten de değildir. Doğrusal fonksiyon $f (x) = a x + b$ 'de $b = 0$ özel durumunda $f (x) = a x$ elde edilir; bu bir tek fonksiyondur çünkü $f (- x) = - a x = - f (x)$ .

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 7$ fonksiyonunun bire bir olduğunu inceleyiniz.

$f (x_{1}) = f (x_{2})$ kabul et: $3 x_{1} - 7 = 3 x_{2} - 7$ .
Her iki tarafa $7$ ekle: $3 x_{1} = 3 x_{2}$ .
$3$ 'e böl: $x_{1} = x_{2}$ .

Eşit görüntüler ancak eşit girdilerden geldiği için fonksiyon bire birdir.

Sonuç:

f (x) = 3 x - 7

bire birdir.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5$ fonksiyonunun çift mi, tek mi yoksa hiçbiri mi olduğunu belirleyiniz.

$f (- x)$ ifadesini hesapla ve $f (x)$ ile $- f (x)$ 'e karşılaştır. Tüm üsler çift mi?

$x$ yerine $- x$ yaz: $f (- x) = (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} + 5$ .
Üsleri sadeleştir: $(- x)^{4} = x^{4}$ ve $(- x)^{2} = x^{2}$ , dolayısıyla $f (- x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5$ .
Sonuç $f (x)$ ile aynı: $f (- x) = f (x)$ .

Tüm kuvvetler çift dereceli (ve bir sabit) olduğundan fonksiyon çifttir.

Sonuç:

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5

çift fonksiyondur.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3} + 2 x$ fonksiyonunun çift mi, tek mi olduğunu belirleyiniz.

$x$ yerine $- x$ yaz: $f (- x) = (- x)^{3} + 2 (- x)$ .
Sadeleştir: $(- x)^{3} = - x^{3}$ ve $2 (- x) = - 2 x$ , dolayısıyla $f (- x) = - x^{3} - 2 x$ .
Ortak parantez al: $- x^{3} - 2 x = - (x^{3} + 2 x) = - f (x)$ .

$f (- x) = - f (x)$ sağlandığından fonksiyon tektir.

Sonuç:

f (x) = x^{3} + 2 x

tek fonksiyondur.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1$ fonksiyonu için $f (- x)$ ifadesini bulunuz ve fonksiyonun çift mi tek mi olduğunu söyleyiniz.

$x$ yerine $- x$ yaz: $f (- x) = 2 (- x)^{2} - 5 (- x) + 1$ .
Sadeleştir: $2 x^{2} + 5 x + 1$ .
Karşılaştır: $f (x) = 2 x^{2} - 5 x + 1$ olduğundan $f (- x) \neq = f (x)$ (orta terimin işareti farklı), yani çift değildir. Ayrıca $- f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 1$ olduğundan $f (- x) \neq = - f (x)$ , yani tek de değildir.

Sonuç:

f (- x) = 2 x^{2} + 5 x + 1

; fonksiyon ne çift ne tektir.

Örnek

Soru

$f (x) = a x + b$ doğrusal fonksiyonu $f (1) = 5$ ve $f (3) = 11$ koşullarını sağlıyor. $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

Verilen iki koşulu yerine koyarak iki bilinmeyenli denklem sistemi kur, sonra denklemleri taraf tarafa çıkararak $a$ 'yı yalnız bırak.

Koşulları yaz: $f (1) = a + b = 5$ ve $f (3) = 3 a + b = 11$ .
İkinci denklemden birinciyi çıkar: $(3 a + b) - (a + b) = 11 - 5 \Rightarrow 2 a = 6$ .
$a = 3$ bulunur; $a + b = 5$ denkleminde yerine koy: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$ .

Sonuç:

a = 3, b = 2

, yani

f (x) = 3 x + 2

Örnek

Soru

$f : [0, \infty) \to [k, \infty)$ , $f (x) = x^{2} + 3$ fonksiyonunun örten olması için $k$ değeri kaç olmalıdır?

Örtenlik için görüntü kümesinin değer kümesine eşit olması gerekir. Tanım kümesi $[0, \infty)$ iken $x^{2}$ 'nin alabileceği en küçük değer nedir?

Tanım kümesi $[0, \infty)$ olduğundan $x \geq 0$ için $x^{2} \geq 0$ , en küçük değer $x = 0$ 'da $0$ 'dır.
Buna $3$ eklenince $f (x) = x^{2} + 3 \geq 3$ olur; $x$ büyüdükçe değer sınırsız artar. Yani görüntü kümesi $[3, \infty)$ 'dur.
Fonksiyonun örten olması için değer kümesi görüntü kümesine eşit olmalı: $[k, \infty) = [3, \infty) \Rightarrow k = 3$ .

Sonuç:

k = 3

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = (m - 2) x + 5$ fonksiyonunun bire bir ve örten (yani tersinir) olması için $m$ hangi koşulu sağlamalıdır?

Doğrusal fonksiyon $f (x) = a x + b$ , ancak $a \neq = 0$ ise hem bire bir hem örtendir. Burada $a = m - 2$ 'dir.

$f$ doğrusaldır; bire bir ve örten olması için eğim sıfırdan farklı olmalıdır: $m - 2 \neq = 0$ .
Buradan $m \neq = 2$ bulunur. $m = 2$ olsaydı $f (x) = 5$ sabit fonksiyon olur, ne bire bir ne örten olurdu.

Sonuç:

m \neq = 2

Örnek

Soru

$f : R \to R$ bir tek fonksiyondur ve $f (2) = 7$ , $f (5) = - 3$ veriliyor. Buna göre $f (- 2) + f (- 5)$ toplamını bulunuz.

Tek fonksiyonda $f (- x) = - f (x)$ olur. Her terimi bu kuralla negatif girdiye taşı.

Tek fonksiyon olduğundan $f (- 2) = - f (2) = - 7$ ve $f (- 5) = - f (5) = - (- 3) = 3$ .
Topla: $f (- 2) + f (- 5) = - 7 + 3 = - 4$ .

Sonuç:

f (- 2) + f (- 5) = - 4

Örnek

Soru

$f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x - 3}{2}$ fonksiyonu örten midir? Gerekçesiyle açıklayınız.

$f$ doğrusaldır ( $a = \frac{1}{2} \neq = 0$ ). Örten olup olmadığını görmek için herhangi bir $y \in R$ için $f (x) = y$ denkleminin çözülebildiğini gösterelim.
$\frac{x - 3}{2} = y \Rightarrow x - 3 = 2 y \Rightarrow x = 2 y + 3$ . Her gerçek $y$ için bir $x$ vardır.
Görüntü kümesi tüm $R$ 'dir; değer kümesine eşittir, dolayısıyla fonksiyon örtendir (ayrıca bire birdir).

Sonuç: Evet,

f

örtendir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Parçalı tanımlı fonksiyonda değer: Girdiyi yanlış dala koymak f(4)'ü üst daldan hesaplayınca 2·4+1=9 gibi yanlış terim
Sabit fonksiyon koşulundan parametre: Orantı yerine yalnızca pay ve payda katsayılarını eşitlemek (a=c sanmak) a=2 gibi yanlış parametre
Doğrusal fonksiyonda f(f(x)) koşulundan katsayı: a²=4'ten yalnız a=2 alıp a=−2 dalını hiç kontrol etmemek (ya da tersi) a=−2, b=−9 dalı seçilirse a+b=−11
Tek/çift fonksiyon koşulundan parametre: Katsayıyı sıfıra eşitlerken işareti düşürmek (a+2=0'dan a=2 yazmak) a=2, b=−3 ⇒ a+b=−1 (doğrusu 1)
Tek/çift fonksiyonla değer hesabı (f(−a) ilişkisi): Kaydırılmış fonksiyonu da tek sanmak: g(x)=f(x)+5 için g(−3)=−g(3) yazmak −12 (doğrusu −2)
Örtenlik için değer kümesi (görüntü kümesi hesabı): Tepeyi hiç kontrol etmeyip yalnız uç değerleri koymak [2,5] ⇒ a+b=7 (doğrusu [1,5] ve 6)

Soru 1Kolay

f : R \to R

olmak üzere

f (x) = a x^{3} + (a - 3) x^{2} + 5 x + b - 4

fonksiyonu **tek** fonksiyondur. Buna göre

a + b

kaçtır?

Tek fonksiyonda yalnızca tek dereceli kuvvetler bulunabilir; çift dereceli terim ve sabit terim sıfır olmalıdır.
$x^{2}$ teriminin katsayısı sıfır olmalı: $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$ .
Sabit terim sıfır olmalı: $b - 4 = 0 \Rightarrow b = 4$ .
İstenen değer: $a + b = 3 + 4 = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 2Orta

f : [2, \infty) \to [c, \infty)

f (x) = x^{2} - 4 x + 7

fonksiyonu **örten** bir fonksiyondur. Buna göre

c

kaçtır?

Örtenlik için değer kümesi $[c, \infty)$ , görüntü kümesine eşit olmalıdır.
$f (x) = x^{2} - 4 x + 7 = (x - 2)^{2} + 3$ biçiminde yazılır; tepe noktası $x = 2$ 'dedir.
Tanım kümesi $[2, \infty)$ olduğundan fonksiyon bu aralıkta artandır; en küçük değer $x = 2$ 'de $f (2) = 0 + 3 = 3$ 'tür ve $x$ büyüdükçe değer sınırsız artar. Görüntü kümesi $[3, \infty)$ olur.
$[c, \infty) = [3, \infty) \Rightarrow c = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 3Orta

f

bir **çift** fonksiyon,

g

bir **tek** fonksiyondur.

h (x) = f (x) + g (x)

fonksiyonu için

h (3) = 11

h (- 3) = 5

veriliyor. Buna göre

f (3) \cdot g (3)

çarpımı kaçtır?

$f$ çift olduğundan $f (- 3) = f (3)$ ; $g$ tek olduğundan $g (- 3) = - g (3)$ .
Verilenleri yaz: $h (3) = f (3) + g (3) = 11$ ve $h (- 3) = f (- 3) + g (- 3) = f (3) - g (3) = 5$ .
İki denklemi taraf tarafa topla: $2 f (3) = 16 \Rightarrow f (3) = 8$ . Birinciden $g (3) = 11 - 8 = 3$ .
İstenen çarpım: $f (3) \cdot g (3) = 8 \cdot 3 = 24$ .

Sonuç:

24

Soru 4Zor

f : R \to R

olmak üzere

f (x) = \frac{( 2 a - 6 ) x ^{2} + 5 x + ( b + 1 )}{x ^{2} + 3}

fonksiyonu **tek** fonksiyondur. Buna göre

a + b

kaçtır?

Payda $x^{2} + 3$ çift bir ifadedir. Bütün kesrin tek olabilmesi için **pay da tek** olmalıdır; yani payda yalnızca tek dereceli terim kalmalı, çift dereceli ve sabit terimler sıfırlanmalıdır.
$x^{2}$ katsayısı sıfır: $2 a - 6 = 0 \Rightarrow a = 3$ .
Sabit terim sıfır: $b + 1 = 0 \Rightarrow b = - 1$ . (Kontrol: $f (0) = \frac{0}{3} = 0$ , tek fonksiyon koşuluyla uyumlu.)
Geriye $f (x) = \frac{5 x}{x ^{2} + 3}$ kalır; bu gerçekten tektir. İstenen: $a + b = 3 + (- 1) = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 5Orta

f : [1, 5] \to B

f (x) = x^{2} - 2 x + 4

fonksiyonunun **örten** olması için

B

değer kümesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

$f (x) = x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3$ . Tepe noktası $x = 1$ 'dedir ve tepe değeri $3$ 'tür.
Tanım kümesi $[1, 5]$ , tepe noktasından başlar; bu aralıkta fonksiyon **artandır**. En küçük değer $x = 1$ 'de $f (1) = (0)^{2} + 3 = 3$ .
En büyük değer $x = 5$ 'te: $f (5) = (5 - 1)^{2} + 3 = 16 + 3 = 19$ .
Görüntü kümesi $[3, 19]$ 'dur. Örtenlik için $B$ buna eşit olmalıdır.

Sonuç:

[3, 19]

Soru 6Kolay

f

g

R

üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.

f

**çift**,

g

**tek** fonksiyondur ve her ikisi de aynı anda bire bir olamaz.

g (x) = x^{3} + k x

tek fonksiyon olduğuna ve

g (2) = 14

sağlandığına göre

k

kaçtır?

$g (x) = x^{3} + k x$ ifadesinin tüm üsleri tektir; her $k$ değeri için zaten tektir, ek koşul gerekmez.
$g (2) = 14$ koşulunu kullan: $2^{3} + k \cdot 2 = 14 \Rightarrow 8 + 2 k = 14$ .
$2 k = 6 \Rightarrow k = 3$ .

Sonuç:

3

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Çift/tek koşulunu $f (- x)$ ile karıştırmak: Çift için $f (- x) = f (x)$ , tek için $f (- x) = - f (x)$ olmalıdır. $f (- x)$ 'i bulup hangisine eşit olduğunu kontrol etmeden karar vermeyin; eşitlik sağlanmıyorsa fonksiyon ne çift ne tektir.
"Bire bir" ile "örten"i karıştırmak: Bire birlik girdilere bakar ( $x_{1} \neq = x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ ); örtenlik çıktılara bakar ( $f (A) = B$ ). Bunlar bağımsız özelliklerdir; biri sağlanırken diğeri sağlanmayabilir.
Görüntü kümesi ile değer kümesini eş tutmak: Daima $f (A) \subseteq B$ 'dir; eşitlik yalnızca fonksiyon örtense geçerlidir.
$f (x) = x^{2}$ 'yi tüm $R$ 'de bire bir/örten sanmak: $R$ üzerinde ne bire bir ne örtendir; tanım kümesi $[0, \infty)$ ile sınırlandırılırsa bire bir olur.

Sınav İpucu

Çift/tek incelemesinde önce polinomun üslerine bakın: tüm üsler çiftse (sabit dahil) fonksiyon çift, tümü tekse fonksiyon tektir; karışıksa hemen "ne çift ne tek" diyebilirsiniz; $f (- x)$ hesabıyla zaman kaybetmenize gerek kalmaz.

1. Fonksiyon Tanımı

Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi

2. Bire Bir, Örten ve İçine Fonksiyonlar

3. Çift ve Tek Fonksiyonlar

4. Özel Fonksiyonlar

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Fonksiyonlar — diğer konular