Logaritma Kavramı ve Özellikleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Tanım: üs ↔ logaritma çevirme ve temel değerler

   KolaySık çıkar

   log_a b=c ⇔ aᶜ=b tanımıyla doğrudan değer hesaplama: log₂8, log 1000, log₅(1/25) gibi. Konunun kapı sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Soruyu üs diliyle oku: log_a b = 'a'yı b yapan üs'.
   2. b'yi tabanın kuvveti olarak yaz: 8=2³, 1000=10³, 1/25=5⁻².
   3. Üs cevaptır; log yazımında taban belirtilmemişse taban 10, ln'de taban e'dir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • log_a b'de taban ile içi karıştırmak (b'yi a yapan üs aramak)→doğru cevabın çarpmaya göre tersi (ör. 3 yerine 1/3)
   • 1/25 gibi kesirlerde negatif üsü pozitif almak→doğru cevabın işaretçe tersi

   Örnek

   log₂32 + log 1000 toplamı kaçtır?

   32=2⁵ ⇒ log₂32=5; 1000=10³ ⇒ log 1000=3; toplam 8

2. 02

   log_a(aˣ)=x ve a^(log_a x)=x özdeşlikleri

   KolaySık çıkar

   Üstel ile logaritmanın birbirini yok ettiği hazır özdeşlikler. Karışık görünen ifade iki satırda sadeleşir; hız sorusudur.

   Nasıl çözülür

   1. log_a(aˣ)=x: taban içerideki tabanla aynıysa üs doğrudan dışarı çıkar.
   2. a^(log_a x)=x: üs katındaki log tabanla aynıysa ifade içine eşittir.
   3. Tabanlar aynı DEĞİLSE özdeşlik uygulanmaz; önce taban değiştirme gerekir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tabanlar farklıyken özdeşliği uygulamak (ör. 2^(log₄x)=x sanmak)→içerideki sayının kendisi — sadeleşmemiş yanlış değer
   • a^(log_a x) ifadesini log_a x sanmak→x yerine logaritmanın kendisi

   Örnek

   log₄(4⁷) − 2^(log₂3) ifadesinin değeri kaçtır?

   log₄(4⁷)=7 ve 2^(log₂3)=3 ⇒ 7−3=4

3. 03

   Tanım aralığı (iç>0, taban>0 ve taban≠1)

   OrtaSık çıkar

   log_g(x) h(x) ifadesinin tanımlı olduğu x aralığı. Üç koşul birden: iç>0, taban>0, taban≠1; taban≠1 koşulunu unutturma sorusudur.

   Nasıl çözülür

   1. İç fonksiyon için h(x)>0 eşitsizliğini çöz.
   2. Taban değişken içeriyorsa g(x)>0 VE g(x)≠1 koşullarını ekle.
   3. Tüm koşulların kesişimini al; tam sayı sayısı isteniyorsa aralıktan çıkarılan noktaya dikkat et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Taban≠1 koşulunu (g(x)=1 yapan x'i) atlamak→bir fazla tam sayı — klasik yanlış şık
   • İç için h(x)≥0 yazmak (sıfırı dahil etmek)→sınır noktasını içeren yanlış aralık

   Örnek

   f(x)=log₍ₓ₋₂₎(8−x) tanımlı olduğuna göre x kaç farklı tam sayı değeri alır?

   x−2>0, x−2≠1, 8−x>0 ⇒ 2<x<8 ve x≠3; tam sayılar 4,5,6,7 ⇒ 4 tane

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Eşitsizlikler

4. 04

   Log kuralları ile ifade açma / birleştirme

   OrtaSık çıkar

   Çarpım→toplam, bölüm→fark, üs→katsayı kurallarıyla ifadeyi sadeleştirip tek log altında toplama. Tanımla birlikte konunun bel kemiği.

   Nasıl çözülür

   1. log_a(x·y)=log_a x+log_a y; log_a(x/y)=log_a x−log_a y; log_a(xⁿ)=n·log_a x.
   2. Toplamları tek log altında birleştir, içi hesapla.
   3. Sonuç tabanın tam kuvvetiyse tanımdan değeri yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • log(x+y)=log x+log y sanmak (toplamın logunu dağıtmak)→kural dışı sadeleştirme — tutarsız değer
   • log_a x·log_a y ile log_a(x·y)'yi karıştırmak→toplam yerine çarpım — büyük yanlış değer

   Örnek

   log 4 + log 25 toplamı kaçtır?

   log(4·25)=log 100=2

5. 05

   log 2=a, log 3=b verilip başka log türetme

   ZorSık çıkar

   10 tabanında iki değer verilir; istenen sayı 2, 3 ve 10'un çarpım/bölümü olarak yazılıp a,b cinsinden türetilir. log 5=1−a bu tipin anahtarıdır.

   Nasıl çözülür

   1. İstenen sayıyı çarpanlara ayır: 45=3²·5, 12=2²·3, 6=2·3.
   2. 5'i 10/2 olarak yaz: log 5=log 10−log 2=1−a.
   3. Kuralları uygula, a ve b cinsinden topla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • log 5'i doğrudan 5·log 1 gibi kurmaya çalışmak yerine 1−a'yı bilmemek→a,b cinsinden yazılamayan/eksik ifade — yanlış şık eleme
   • log 9=2b yerine log 9=b² yazmak (üs kuralını çarpım sanmak)→katsayı yerine kare — b² içeren yanlış şık

   Örnek

   log 2=a ve log 3=b ise log 45'in a,b türünden eşiti nedir?

   45=3²·5 ⇒ log 45=2b+log 5=2b+(1−a)=2b−a+1

6. 06

   Taban değiştirme formülü

   ZorSık çıkar

   log_a b=log_c b/log_c a ile farklı tabanları ortak tabana toplama; log_a b·log_b c=log_a c zincir sadeleşmesi de bu tipin hızlı hali.

   Nasıl çözülür

   1. Ortak tabanı, sorudaki sayıların kuvvet ilişkisine göre seç (8 ve 49 varsa taban 2 ve 7 düşün).
   2. log_a b=log_c b/log_c a yaz; üsleri katsayı olarak dışarı al.
   3. Zincir çarpımlarında ardışık paydalar sadeleşir: log_a b·log_b c=log_a c; ayrıca log_a b=1/log_b a.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Formülü ters kurmak: log_a b=log_c a/log_c b→doğru cevabın çarpmaya göre tersi
   • log₈49'da üsleri dışarı alırken 2/3 yerine 3/2 ile çarpmak→katsayısı ters çevrilmiş ifade (2x/3 yerine 3x/2)

   Örnek

   log₂7=x olduğuna göre log₈49'un x türünden eşiti nedir?

   log₈49=log₂49/log₂8=2log₂7/3=2x/3

   Sık birleştiği konular: Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler