Değişken Değiştirme (Yerine Koyma) Yöntemi — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   u = iç fonksiyon klasiği (türev yanında hazır)

   KolaySık çıkar

   İç fonksiyonun türevi çarpan olarak integrand'da hazır durur: ∫2x(x²+1)⁵dx gibi. Dönüşümün tanıtım sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Parantez içindeki (üs alınan) ifadeyi u seç: u = x²+1.
   2. du = 2x·dx olduğunu gör; integrand'daki 2x·dx bloğu tam du'dur.
   3. ∫u⁵du = u⁶/6 + C hesapla, u'yu GERİ KOY: sonuç x cinsinden yazılır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2x çarpanını yok sayıp parantezi ayrıca, 2x'i ayrıca integrallemek (çarpımı terim terim integrallenir sanmak)→x²·(x²+1)⁶/6 gibi fazladan çarpanlı, türevi integrand'ı tutmayan ifade
   • Sonucu u cinsinden bırakmak→u⁶/6 + c — şıklarda x'li karşılığı bulamayıp yanlış eşleştirme
   • u⁶'yı 6'ya bölmeyi unutmak→(x²+1)⁶ + c — 6 kat büyük ifade

   Örnek

   ∫2x(x²+1)⁵dx aşağıdakilerden hangisidir?

   (x²+1)⁶/6 + C (u=x²+1, du=2x dx)

2. 02

   du katsayı ayarlama (1/2, 1/3 çarpanı)

   OrtaSık çıkar

   İç fonksiyonun türevi integrand'da eksik katsayıyla durur: ∫x·cos(x²)dx'te du=2x dx ama elimizde sadece x dx var. Sabitle çarpıp bölerek ayarlanır.

   Nasıl çözülür

   1. u = iç fonksiyon seç, du'yu yaz: u = x² ⇒ du = 2x·dx.
   2. Elindeki diferansiyeli du cinsinden çöz: x·dx = du/2.
   3. Sabiti integralin önüne al: ∫x·cos(x²)dx = ½∫cos u du = ½ sin u + C; u'yu geri koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • ½ çarpanını hiç yazmamak (x dx'i doğrudan du saymak)→sin(x²)+c — doğrunun 2 katı, en dolu çeldirici şık
   • Ayarı ters yapmak (½ yerine 2 ile çarpmak)→2sin(x²)+c — 4 kat hatalı

   Örnek

   ∫x·cos(x²)dx aşağıdakilerden hangisidir?

   ½·sin(x²) + C (u=x², x dx = du/2)

3. 03

   Köklü / üslü iç fonksiyon (x·√(x²+a) tipi)

   OrtaSık çıkar

   Kök içinde x², dışında x çarpanı: ∫x√(x²+9)dx. Katsayı ayarı + kesirli üs kuvvet kuralı birlikte çalışır; belirli hâliyle de sorulur.

   Nasıl çözülür

   1. u = kök içi seç: u = x²+9 ⇒ du = 2x·dx ⇒ x·dx = du/2.
   2. ½∫√u du = ½·u^(3/2)/(3/2) = (1/3)u^(3/2) + C.
   3. Belirli integralde u sınırlarını hesapla ve u üzerinden bitir (x'e dönmene gerek yok).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • √u'nun integralinde 3/2'ye bölmeyi unutmak→½·u^(3/2) katsayılı — 3/2 kat hatalı değer
   • ½ katsayı ayarını atlamak→doğru cevabın 2 katı (98/3 yerine 196/3)

   Örnek

   ∫₀⁴ x·√(x²+9) dx kaçtır?

   u=x²+9, sınırlar 9→25: ½∫₉²⁵√u du = (1/3)(25^(3/2)−9^(3/2)) = (125−27)/3 = 98/3

4. 04

   f′/f biçimi (∫f′/f dx = ln|f| + C)

   OrtaSık çıkar

   Payın, paydanın türevi olduğu kesir: ∫3x²/(x³+1)dx. Payı görünce türev-payda ilişkisini fark etmek sorunun tamamıdır.

   Nasıl çözülür

   1. Paydanın türevini al ve payla karşılaştır; katsayı farkı varsa ayarla.
   2. Kural: ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.
   3. e^x'li kesirlerde de aynı desen: ∫eˣ/(eˣ+1)dx = ln(eˣ+1)+C.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kesiri bölüm kuralı/kuvvet kuralıyla integrallemeye çalışmak→−1/(x³+1) benzeri ln'siz yanlış ifade
   • Pay ile payda türevi arasındaki katsayıyı ayarlamamak (pay x² iken)→3 kat hatalı: 3ln|x³+1| yerine ln|x³+1| gereken yerde karışıklık

   Örnek

   ∫3x²/(x³+1) dx aşağıdakilerden hangisidir?

   ln|x³+1| + C (pay = paydanın türevi)

5. 05

   Trigonometrik değişken değiştirme (u = sin x temel hâli)

   OrtaSık çıkar

   ∫sinⁿx·cosx dx deseni: cosx dx bloğu, u = sinx dönüşümünün hazır du'sudur. π/2'li sınırlarla belirli hâli klasiktir.

   Nasıl çözülür

   1. cosx dx'i gör, u = sinx seç: du = cosx·dx.
   2. ∫uⁿdu = uⁿ⁺¹/(n+1) + C; geri koy: sinⁿ⁺¹x/(n+1) + C.
   3. Belirli integralde sınırları u'ya çevir: x=0 ⇒ u=0, x=π/2 ⇒ u=1.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • cosx'i de ayrıca integrallemek (sinx çarpanı eklemek)→fazladan çarpanlı, türevi tutmayan ifade
   • u = cosx seçip işaret yönetimini karıştırmak→işaretçe ters ya da desenle uyuşmayan sonuç

   Örnek

   ∫₀^(π/2) sin³x·cosx dx kaçtır?

   u=sinx, sınırlar 0→1: ∫₀¹u³du = 1/4

   Sık birleştiği konular: Trigonometrik Fonksiyonlar ve Değerleri

6. 06

   Belirli integralde sınır dönüşümü (klasik tuzak)

   ZorSık çıkar

   Belirli integralde u dönüşümü yapılınca SINIRLAR DA dönüşür. x sınırlarını u'lu integralde aynen kullanmak, konunun bir numaralı tuzağıdır; ÖSYM çeldiriciyi tam bu hatadan kurar.

   Nasıl çözülür

   1. u ve du'yu belirle: u = x²+1 ⇒ du = 2x·dx.
   2. Sınırları u'ya çevir: x=0 ⇒ u=1, x=1 ⇒ u=2. Artık integralin her şeyi u dünyasında.
   3. u üzerinden hesapla ve BİTİR; belirli integralde x'e geri dönmek gereksizdir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sınırları dönüştürmeden x sınırlarını u'lu integralde kullanmak→∫₀¹u³du = 1/4 — doğru cevap 15/4 iken sınavın en dolu yanlış şıkkı
   • u'lu sonucu x'e çevirip x sınırlarını koyduktan sonra bir de u sınırı uygulamak (çifte dönüşüm)→tutarsız, şıklarla eşleşmeyen değer — zaman kaybettirir

   Örnek

   ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx kaçtır?

   u=x²+1, sınırlar 1→2: ∫₁²u³du = (2⁴−1⁴)/4 = 15/4

   Sık birleştiği konular: Belirli İntegral ve Analizin Temel Teoremi