Fonksiyon ve Çeşitleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Parçalı tanımlı fonksiyonda değer

   KolaySık çıkar

   Fonksiyon iki (ya da üç) dalda tanımlanır; birkaç noktadaki değerlerin toplamı/farkı istenir. Konunun ısınma sorusu — tek iş doğru dalı seçmek.

   Nasıl çözülür

   1. Her girdi için önce koşulu kontrol et: x hangi aralıkta?
   2. Sınır noktasında eşitlik hangi dala aitse (≤, <) oradan hesapla.
   3. Değerleri ayrı ayrı bul, sonra istenen işlemi yap.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Girdiyi yanlış dala koymak→f(4)'ü üst daldan hesaplayınca 2·4+1=9 gibi yanlış terim
   • Sınır noktasında eşitliğin ait olduğu dalı karıştırmak→x=3 tam sınırda iken iki daldan iki farklı değer

   Örnek

   f(x) = 2x+1 (x<3), f(x) = x²−4 (x≥3) ise f(1)+f(4) kaçtır?

   1<3 ⇒ f(1)=2·1+1=3; 4≥3 ⇒ f(4)=16−4=12; toplam 15

2. 02

   Sabit fonksiyon koşulundan parametre

   KolaySık çıkar

   Rasyonel (ya da polinom) bir ifade 'sabit fonksiyondur' denir; parametre ve/veya sabit değer istenir. Anahtar: katsayılar orantılı olmalı.

   Nasıl çözülür

   1. (ax+b)/(cx+d) sabit ⇔ a/c = b/d; ortak oran sabit değerin kendisidir.
   2. Orandan parametreyi çöz.
   3. Sabit değer her x'te aynıdır — istenirse herhangi bir x koyarak (ör. x=0) bul.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Orantı yerine yalnızca pay ve payda katsayılarını eşitlemek (a=c sanmak)→a=2 gibi yanlış parametre
   • Sabit fonksiyonu birim fonksiyonla (f(x)=x) karıştırmak→parametreyi f(x)=x özdeşliğinden çözmeye çalışan çıkmaz denklem

   Örnek

   f(x)=(ax+6)/(2x+3) sabit fonksiyon ise a+f(5) kaçtır?

   a/2=6/3=2 ⇒ a=4; sabit değer 2 (f(5)=26/13=2); a+f(5)=4+2=6

3. 03

   Doğrusal fonksiyonda f(f(x)) koşulundan katsayı

   OrtaSık çıkar

   f(x)=ax+b verilir, f(f(x)) ya da f ile ilgili bir koşuldan a ve b istenir. a²'den çift kök çıkması sorunun asıl tuzağıdır.

   Nasıl çözülür

   1. f(f(x)) = a(ax+b)+b = a²x + ab + b olarak aç.
   2. Katsayıları verilen ifadeyle eşleştir: a² ve ab+b ayrı denklemler.
   3. a için iki kök çıkarsa sorudaki ek koşulu (a>0, f artan vb.) kullanarak seç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a²=4'ten yalnız a=2 alıp a=−2 dalını hiç kontrol etmemek (ya da tersi)→a=−2, b=−9 dalı seçilirse a+b=−11
   • f(f(x)) yerine f(x)·f(x) hesaplamak→ikinci dereceden, eşleşmeyen bir ifade

   Örnek

   f(x)=ax+b (a>0) ve f(f(x))=4x+9 ise a+b kaçtır?

   a²=4, a>0 ⇒ a=2; ab+b=3b=9 ⇒ b=3; a+b=5

4. 04

   Tek/çift fonksiyon koşulundan parametre

   OrtaSık çıkar

   Polinom (bazen rasyonel) fonksiyonun tek ya da çift olduğu söylenir; katsayılardaki parametreler istenir. Kural: tek fonksiyonda yalnız tek dereceli, çift fonksiyonda yalnız çift dereceli terimler kalır.

   Nasıl çözülür

   1. Tek fonksiyon ⇒ çift dereceli terimler ve sabit terim sıfırlanır (f(0)=0).
   2. Çift fonksiyon ⇒ tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırlanır; sabit terim serbesttir.
   3. Katsayı denklemlerini çöz; rasyonelde payda çiftse aynı kurallar paya uygulanır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Katsayıyı sıfıra eşitlerken işareti düşürmek (a+2=0'dan a=2 yazmak)→a=2, b=−3 ⇒ a+b=−1 (doğrusu 1)
   • Tek/çift kurallarını ters uygulamak — çift fonksiyonda çift dereceli terimleri sıfırlamak→4=0 gibi çelişki ya da sabit terimin gereksiz sıfırlanması

   Örnek

   f(x)=(a+2)x³+4x²+(b−3)x+1 çift fonksiyon ise a+b kaçtır?

   Tek dereceli katsayılar sıfır: a+2=0 ⇒ a=−2, b−3=0 ⇒ b=3; a+b=1

   Sık birleştiği konular: Fonksiyon Grafikleri ve İşlemleri

5. 05

   Tek/çift fonksiyonla değer hesabı (f(−a) ilişkisi)

   OrtaSık çıkar

   f tek ya da çift bilgisi verilir; f(−a) veya f'den türetilmiş bir fonksiyonun negatif noktadaki değeri istenir. f tek ⇒ f(−a)=−f(a), f çift ⇒ f(−a)=f(a).

   Nasıl çözülür

   1. Önce verilen koşulu f cinsine indir: türetilmiş g varsa g'yi f ile yaz.
   2. Bilinen noktadan f'nin değerini çek.
   3. f(−a)'yı teklik/çiftlik kuralıyla bul, sonra istenen ifadeye geri taşı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kaydırılmış fonksiyonu da tek sanmak: g(x)=f(x)+5 için g(−3)=−g(3) yazmak→−12 (doğrusu −2)
   • Tek ve çift kurallarını karıştırıp f(−3)=f(3) almak→g(−3)=7+5=12

   Örnek

   f tek fonksiyon ve g(x)=f(x)+5 için g(3)=12 ise g(−3) kaçtır?

   f(3)=12−5=7; f tek ⇒ f(−3)=−7; g(−3)=−7+5=−2

6. 06

   Örtenlik için değer kümesi (görüntü kümesi hesabı)

   ZorSık çıkar

   Kapalı aralıkta tanımlı bir parabolün örten olması için değer kümesi istenir. Örten ⇔ değer kümesi = görüntü kümesi; tepe içeride mi kontrolü sorunun kalbi.

   Nasıl çözülür

   1. Tepe apsisini bul; tanım aralığının içinde mi bak.
   2. Tepe içerideyse min/max adaylarından biri tepe değeridir; uç noktaların değerlerini de hesapla.
   3. En küçük ve en büyük değerlerden görüntü kümesini yaz; örtenlik için değer kümesine eşitle.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tepeyi hiç kontrol etmeyip yalnız uç değerleri koymak→[2,5] ⇒ a+b=7 (doğrusu [1,5] ve 6)
   • En büyük değer için iki ucu karşılaştırmayıp aralığın sağ ucunu almak→maksimumu f(3)=2 sanan yanlış aralık

   Örnek

   f:[0,3]→[a,b], f(x)=x²−4x+5 örten fonksiyon ise a+b kaçtır?

   Tepe x=2 içeride, f(2)=1; uçlar f(0)=5, f(3)=2; görüntü [1,5] ⇒ a+b=6

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler

7. 07

   Bire bir olması için tanım kümesini daraltma

   Zor

   Parabol gibi bire bir olmayan bir fonksiyonun tanım kümesi [k,∞) biçiminde kısıtlanır; bire birlik için k'nin alabileceği en küçük değer istenir. Anahtar: tepe noktasının apsisi.

   Nasıl çözülür

   1. İkinci dereceden fonksiyonun tepe apsisini bul: r = −b/(2a).
   2. Fonksiyon [r,∞) üzerinde tek yönlü (monoton) olduğundan bire birdir.
   3. En küçük k, tepe apsisi r'dir; yatay doğru testiyle zihinden doğrula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tepe apsisi yerine tepe ordinatını (f(r)) almak→k=−8 (f(3)=9−18+1) gibi ilgisiz değer
   • r=−b/(2a) hesabında işaret hatası→k=−3

   Örnek

   f:[k,∞)→ℝ, f(x)=x²−6x+1 fonksiyonu bire bir ise k en az kaçtır?

   Tepe apsisi r=6/2=3; [3,∞) üzerinde f artan ⇒ bire bir; k=3

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler