Dizi Kavramı — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Genel terimden terim hesabı

   KolaySık çıkar

   Genel terim aₙ verilir, belirli bir terimin değeri istenir. Konunun ısınma sorusu; n yerine sayı koyma disiplini ölçülür.

   Nasıl çözülür

   1. İstenen terimin sırasını belirle: aₖ için n=k.
   2. Genel terimde n gördüğün HER yere aynı sayıyı koy.
   3. İşlem önceliğine dikkat ederek hesapla (önce kuvvet, sonra çarpma).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • n'yi yalnızca ilk terime koyup ikinciyi sabit bırakmak (n²−3n yerine n²−3)→a₅ için 25−3=22
   • Ortadaki işareti ters almak (n²+3n hesaplamak)→a₅ için 25+15=40

   Örnek

   Genel terimi aₙ=n²−3n olan dizide a₅ kaçtır?

   a₅=5²−3⋅5=25−15=10

2. 02

   Terim değerinden sıra (n) bulma

   KolaySık çıkar

   Bir terimin değeri verilir, kaçıncı terim olduğu sorulur. Genel terim denkleme dönüşür; n pozitif tam sayı çıkmalıdır.

   Nasıl çözülür

   1. Genel terimi verilen değere eşitle: aₙ=47 ise denklemi kur.
   2. n'yi çöz.
   3. n'nin pozitif tam sayı olduğunu kontrol et; değilse o sayı dizinin terimi değildir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kaçıncı terim sorusunu terim hesabı sanıp a₄₇'yi hesaplamak→3⋅47+2=143
   • Sabiti yanlış tarafa atmak (3n=47+2 yazmak)→n=49/3 gibi tam olmayan değer

   Örnek

   Genel terimi aₙ=3n+2 olan dizinin kaçıncı terimi 47'dir?

   3n+2=47 ⇒ 3n=45 ⇒ n=15

3. 03

   Dizi belirtme (tanımlılık) koşulu — parametre

   OrtaSık çıkar

   Rasyonel genel terimde payda hiçbir pozitif tam sayı n için sıfır olmamalıdır. Parametrenin alamayacağı değer sorulur; AYT'nin klasik kavram tuzağı.

   Nasıl çözülür

   1. Paydayı sıfıra eşitle, n'yi parametre cinsinden çöz.
   2. Bulunan n pozitif tam sayı OLURSA ifade dizi belirtmez.
   3. Seçenekleri tek tek dene: hangi parametre değeri n'yi pozitif tam sayı yapıyorsa o değer 'olamaz'.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • n=k/2'nin her k için sorun çıkardığını sanmak (tam sayı şartını atlamak)→k=5 gibi geçerli değerleri de elemek
   • Koşulu tersine kurmak: paydayı sıfır yapan n varsa dizi olur sanmak→tam ters seçenek (olamaz yerine olabilir)

   Örnek

   aₙ=(3n−1)/(2n−k) ifadesi bir dizi belirttiğine göre k aşağıdakilerden hangisi olamaz? (5, 6, 7, 9, 11)

   2n−k=0 ⇒ n=k/2; k=6 için n=3 pozitif tam sayı olur, payda sıfırlanır ⇒ k=6 olamaz

4. 04

   İndirgemeli (rekürans) dizi — zincirleme hesap

   OrtaSık çıkar

   İlk terim ve aₙ₊₁ = f(aₙ) kuralı verilir; birkaç adım ilerideki terim istenir. Sabırlı, hatasız zincir hesabı ölçülür.

   Nasıl çözülür

   1. Kuralı n=1'den başlayarak sırayla uygula; her terimi yazarak ilerle.
   2. Her adımda bir önceki SONUCU kurala koy, baştaki a₁'i değil.
   3. İstenen indekse gelince dur; fazladan adım atma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bir adım fazla ilerleyip a₅'i hesaplamak→2⋅17−1=33
   • 2aₙ−1 yerine 2(aₙ−1) uygulamak→a₂=4, a₃=6, a₄=10 zinciri

   Örnek

   a₁=3 ve aₙ₊₁=2aₙ−1 olduğuna göre a₄ kaçtır?

   a₂=2⋅3−1=5, a₃=2⋅5−1=9, a₄=2⋅9−1=17

5. 05

   Kısmi toplamdan terim çekme (aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁)

   OrtaSık çıkar

   İlk n terimin toplamı Sₙ formülüyle verilir, tek bir terim istenir. Anahtar bağıntıyı bilmeyen soruyu hiç çözemez; bilen 30 saniyede bitirir.

   Nasıl çözülür

   1. Bağıntıyı yaz: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n ≥ 2).
   2. İstenen indeks için iki toplamı ayrı ayrı hesapla.
   3. Farkı al. (a₁ istenirse a₁ = S₁ doğrudan.)

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • aₙ'yi doğrudan Sₙ sanmak→a₅ için 35
   • Sₙ₋₁ yerine Sₙ₊₁ çıkarmak→35−48=−13

   Örnek

   Bir dizinin ilk n teriminin toplamı Sₙ=n²+2n ise a₅ kaçtır?

   a₅=S₅−S₄=(25+10)−(16+8)=35−24=11

   Sık birleştiği konular: Aritmetik Dizi

6. 06

   İki dizinin eşit (ortak sıralı) terimleri

   Orta

   İki genel terim verilir; aynı sıradaki terimlerin eşit olduğu n veya o terimin değeri istenir. Basit denklem, ama sorunun NEYİ istediği okunmalıdır.

   Nasıl çözülür

   1. Genel terimleri eşitle: aₙ=bₙ.
   2. n'yi çöz; pozitif tam sayı olduğunu doğrula.
   3. Soru terim değerini istiyorsa n'yi dizilerden birinde yerine koy (ikisinde de aynı çıkmalı — kontrol fırsatı).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Terim değeri sorulduğunda n'yi işaretlemek→22 yerine 6
   • Sabitleri taşırken işaret hatası (4−8=2n kurmak)→n=−2 (geçersiz)

   Örnek

   aₙ=3n+4 ve bₙ=5n−8 dizilerinin aynı sıradaki eşit terimlerinin değeri kaçtır?

   3n+4=5n−8 ⇒ 2n=12 ⇒ n=6; a₆=3⋅6+4=22 (kontrol: b₆=5⋅6−8=22)

7. 07

   Monotonluk ve sınırlılık analizi

   Zor

   Rasyonel genel terimli dizinin artan/azalan ve sınırlı olup olmadığı sorulur. Polinom bölmesiyle 'sabit + kesir' biçimine ayırmak işi bitirir.

   Nasıl çözülür

   1. Genel terimi böl: (2n+3)/(n+1) = 2 + 1/(n+1) gibi sabit + kesir yaz.
   2. Kesir kısmı n büyüdükçe küçülüyorsa dizi azalan, büyüyorsa artandır.
   3. Sınırlar: ilk terim bir uç, kesirin limit değeri (buradaki 2) diğer uçtur — 2 < aₙ ≤ a₁.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Pay ve payda ayrı ayrı büyüdüğü için diziyi artan sanmak→'monoton artan' seçeneği
   • Alt sınırı (limit değeri 2) görmeyip diziyi sınırsız sanmak→'sınırlı değildir' seçeneği

   Örnek

   aₙ=(2n+3)/(n+1) dizisinin monotonluk ve sınırlılık durumu nedir?

   aₙ=2+1/(n+1); 1/(n+1) azaldığından dizi monoton azalan, 2 < aₙ ≤ a₁=5/2 olduğundan sınırlıdır

   Sık birleştiği konular: Limit Kavramı: Soldan ve Sağdan Limit