Çember ve Daire — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Merkez açı = yay, çevre açı = yayın yarısı

   KolaySık çıkar

   Aynı yayı gören merkez açı ile çevre açı arasındaki 2 kat ilişkisi. Konunun ısınma sorusu; hangi açının hangisinin yarısı olduğu şaşırılır.

   Nasıl çözülür

   1. Merkez açının ölçüsü = gördüğü yayın ölçüsü.
   2. Çevre açının ölçüsü = gördüğü yayın YARISI.
   3. Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının 2 katıdır; çemberde tüm yayların toplamı 360°'dir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çevre açıyı gördüğü yaya (merkez açıya) eşit almak→yarıya bölünmemiş değer — ör. 50° yerine 100°
   • İlişkiyi ters kurup çevre açıyı 2 ile çarpmak→doğrunun 4 katı ilişki — ör. 50° yerine 200°

   Örnek

   O merkezli çemberde AB yayını gören AOB merkez açısı 100°'dir. Aynı yayı gören ACB çevre açısı kaç derecedir?

   Çevre açı = yay/2 = 100°/2 = 50°

2. 02

   Çapı gören çevre açı 90° (yarım çember)

   KolaySık çıkar

   Bir kenarı çap olan çevre açı sorusu: çapı gören açı daima 90°'dir; kalan açı üçgenin iç açılarından tamamlanır. Aynı yayı gören çevre açıların eşitliğiyle birlikte kurgulanır.

   Nasıl çözülür

   1. [AB] çap ise çember üzerindeki her C için m(ACB)=90° (çap 180°'lik yayı görür, 180/2=90).
   2. ABC dik üçgeninde verilen açıyla üçünücü açıyı tamamla: toplam 180°.
   3. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir — şekilde açı 'taşımak' için kullan.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalan açıyı 90°'den değil 180°'den tamamlamak (dikliği unutmak)→bütünler açı — ör. 55° yerine 145°
   • Çapı gören açıyı 180° sanmak→üçgen kurulamayan saçma değer; şıklarda 180−35=145 tuzağına düşürür

   Örnek

   [AB] çaplı O merkezli çember üzerinde bir C noktası alınıyor. m(BAC)=35° olduğuna göre m(ABC) kaç derecedir?

   m(ACB)=90° (çapı görür) ⇒ m(ABC)=180°−90°−35°=55°

   Sık birleştiği konular: Üçgende Açılar ve Kenarlar

3. 03

   Teğet ⊥ yarıçap: teğet açı hesabı

   OrtaSık çıkar

   Dış noktadan çizilen teğet(ler)le açı sorusu. Değme noktasında teğet–yarıçap dikliği yazılıp dörtgenin/üçgenin iç açılarından istenen bulunur.

   Nasıl çözülür

   1. Değme noktasına yarıçap çiz: teğet ile yarıçap arasındaki açı 90°'dir.
   2. İki teğet varsa PAOB dörtgeninde açıları topla: m(P)+90°+90°+m(AOB)=360°.
   3. Merkez açı m(AOB), küçük AB yayına eşittir; büyük yay = 360° − küçük yay.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Teğet–yarıçap dikliğini kurmayıp teğetler arası açıyı yay sanmak→m(p) değerinin kendisi — ör. 140° yerine 40°
   • Küçük yay istenirken büyük yayı (360°−140°) vermek→tamamlayan yay — ör. 140° yerine 220°

   Örnek

   P dış noktasından O merkezli çembere çizilen [PA ve [PB teğetleri arasındaki açı m(APB)=40°'dir. Küçük AB yayı kaç derecedir?

   PAOB dörtgeninde 40°+90°+90°+m(AOB)=360° ⇒ m(AOB)=140°, küçük yay 140°

4. 04

   Çember çevresi 2πr ve yay uzunluğu

   OrtaSık çıkar

   Çevre ya da merkez açısı verilen yayın uzunluğu istenir. Yay uzunluğu, çevrenin merkez açı oranı kadarıdır.

   Nasıl çözülür

   1. Çevre = 2πr.
   2. Yay uzunluğu = (α/360°)·2πr — merkez açının çevredeki payı.
   3. Uzunluk isteniyorsa 2πr, alan isteniyorsa πr² ile başla; ikisini karıştırma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yay uzunluğunda alan formülü πr² kullanmak→(60/360)·36π=6π — 2π yerine 6π
   • Merkez açı oranını unutup tüm çevreyi vermek→2π·6=12π — 2π yerine 12π

   Örnek

   Yarıçapı 6 birim olan çemberde merkez açısı 60° olan yayın uzunluğu kaç birimdir?

   (60/360)·2π·6 = (1/6)·12π = 2π

5. 05

   Daire alanı πr² ve daire dilimi alanı

   OrtaSık çıkar

   Merkez açısı verilen dilimin (pasta/pizza dilimi) alanı istenir. Dilim alanı, daire alanının merkez açı oranı kadarıdır; günlük yaşam kurgusuyla sık gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Daire alanı = πr².
   2. Dilim alanı = (α/360°)·πr².
   3. Eşit parçaya bölünmüş dairede bir parça = alan/parça sayısı; istenen parça sayısıyla çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Dilim alanında çevre formülü 2πr kullanmak→(120/360)·12π=4π — 12π yerine 4π
   • Merkez açı oranını uygulamayıp tüm daire alanını vermek→π·6²=36π — 12π yerine 36π

   Örnek

   Yarıçapı 6 birim olan bir dairede merkez açısı 120° olan dilimin alanı kaç birim karedir?

   (120/360)·π·6² = (1/3)·36π = 12π

6. 06

   Dış noktadan teğet parçalarının eşitliği

   Orta

   Dış bir noktadan çembere çizilen iki teğet parçası eşittir (|PA|=|PB|); uzunluklar x'li ifadeyle verilip denklem kurdurulur.

   Nasıl çözülür

   1. Aynı dış noktadan çizilen teğet parçaları eşittir: |PA|=|PB|.
   2. Verilen ifadeleri eşitle, x'i çöz.
   3. İstenen uzunluğu x'i yerine koyarak bul; iki ifadenin aynı değeri verdiğini sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İfadeleri eşitlemek yerine toplamayıp/toplayıp yanlış denklem kurmak (2x+3+3x−1=… gibi)→denklemsiz rastgele x; şıklarda x'in kendisi (4) cevap sanılır
   • x'i bulup |PA|'yı hesaplamadan bırakmak→uzunluk 11 yerine x=4

   Örnek

   P dış noktasından çembere çizilen teğetlerin değme noktaları A ve B'dir. |PA|=2x+3, |PB|=3x−1 olduğuna göre |PA| kaç birimdir?

   2x+3=3x−1 ⇒ x=4 ⇒ |PA|=2·4+3=11

7. 07

   Halka alanı (iç içe iki daire)

   Zor

   Aynı merkezli iki daire arasında kalan halka bölgenin alanı: yürüyüş yolu, çerçeve, CD kurgularıyla sorulur. Alan = büyük daire − küçük daire.

   Nasıl çözülür

   1. Halka alanı = πR² − πr² = π(R²−r²).
   2. R²−r² = (R−r)(R+r) çarpanlaması işlemi hızlandırır.
   3. Yol/çerçeve 'genişliği' verilmişse R = r + genişlik olarak kur; kareler farkını yarıçap farkının karesiyle karıştırma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • π(R²−r²) yerine π(R−r)² almak→π(5−3)²=4π — 16π yerine 4π
   • Küçük daireyi çıkarmayıp yalnız büyük dairenin alanını vermek→π·5²=25π — 16π yerine 25π

   Örnek

   Aynı merkezli iki çemberden büyüğünün yarıçapı 5, küçüğünün yarıçapı 3 birimdir. İki çember arasında kalan halka bölgenin alanı kaç birim karedir?

   π(5²−3²) = π(25−9) = 16π

   Sık birleştiği konular: Dörtgenler ve Çokgenler