Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Ortak çarpan parantezine alma

   KolaySık çıkar

   Terimlerin hepsinde ortak olan sayı/harf dışarı alınır. Sayısal biçimi (a⋅b + a⋅c hızlı hesabı) TYT'nin ısınma sorusudur.

   Nasıl çözülür

   1. Her terimde ortak olan en büyük çarpanı belirle (katsayıların OBEB'i ve ortak harflerin en küçük üssü).
   2. Ortak çarpanı dışarı al, parantez içine kalanları yaz: a⋅b + a⋅c = a(b + c).
   3. Sayısal soruda parantez içini önce topla, sonra çarp — asla tek tek büyük çarpım yapma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Ortak çarpanı dışarı alınca içeride 1 kalan terimi yazmamak (ör. 3x²+3x = 3x(x) sanmak)→bir terimi eksik parantez, yanlış değer
   • Sayısal soruda dağıtmadan tek tek uzun çarpma yapıp işlem hatası→doğru cevaba yakın ama kaymış bir sayı

   Örnek

   17⋅23 + 17⋅77 işleminin sonucu kaçtır?

   17(23+77) = 17⋅100 = 1700

2. 02

   İki kare farkı a²−b² (sayısal hızlı hesap)

   KolaySık çıkar

   51²−49² tipi: büyük kareleri açmadan (a−b)(a+b) ile saniyeler içinde hesaplatır. TYT'nin klasik zaman kazandıran sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. a²−b² = (a−b)(a+b) özdeşliğini tanı — iki KARENİN FARKI olmalı.
   2. a−b ve a+b değerlerini ayrı ayrı hesapla.
   3. Çarp; genelde çarpanlardan biri 1, 2 veya 10'un katı çıkar.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a²−b² = (a−b)² sanmak→51²−49² için 2² = 4 gibi çok küçük bir değer
   • a²+b² toplamını da çarpanlara ayırmaya çalışmak→reel çarpanı olmayan ifadeye zorla (a+b)(a−b) yazıp yanlış sonuç

   Örnek

   51² − 49² işleminin sonucu kaçtır?

   (51−49)(51+49) = 2⋅100 = 200

3. 03

   Tam kare özdeşlikleri (a±b)² — verilenden isteneni üretme

   KolaySık çıkar

   a+b ve a⋅b verilir; a²+b² (veya (a−b)²) istenir. Özdeşliği ters yönde, 'istenen = bilinen² ∓ 2ab' biçiminde kullandırır.

   Nasıl çözülür

   1. (a+b)² = a² + 2ab + b² özdeşliğini yaz.
   2. İsteneni yalnız bırak: a² + b² = (a+b)² − 2ab.
   3. (a−b)² istenirse: (a−b)² = (a+b)² − 4ab kestirmesini kullan.
   4. Verilenleri yerine koy, işaretlere dikkat ederek hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a²+b² = (a+b)² sanmak (2ab terimini unutmak)→doğru cevaptan 2ab kadar büyük değer
   • −2ab yerine −ab çıkarmak→doğru cevaptan ab kadar büyük değer

   Örnek

   x + y = 6 ve x⋅y = 4 olduğuna göre x² + y² kaçtır?

   x²+y² = (x+y)² − 2xy = 36 − 8 = 28

4. 04

   Üç terimli çarpanlara ayırma x²+bx+c

   OrtaSık çıkar

   Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı aranır. 'Çarpanlarından biri hangisidir?' veya çarpan verilip diğeri istenerek sorulur.

   Nasıl çözülür

   1. Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bul (m ve n).
   2. x² + bx + c = (x+m)(x+n) yaz.
   3. İşaret kuralı: c pozitifse iki sayı aynı işaretli (işareti b belirler); c negatifse zıt işaretli.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çarpımı c olan sayıları bulup toplam koşulunu kontrol etmemek→x²−5x+6 için (x−1)(x−6) gibi yanlış çarpan çifti
   • İşaretleri ters dağıtmak: (x+2)(x+3) yazmak→orta terimi +5x olan yanlış açılım, çeldirici şık x+2 yerine x−2'nin işaret tersi

   Örnek

   x² − 5x + 6 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

   Çarpımı 6, toplamı −5 olan sayılar −2 ve −3 ⇒ (x−2)(x−3); çarpanlardan biri x−2

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

5. 05

   Cebirsel kesir sadeleştirme

   ZorSık çıkar

   Pay ve payda ayrı ayrı çarpanlara ayrılıp ortak çarpan sadeleştirilir; sonra bir değer sorulur. Birden çok ayırma tekniğini aynı soruda birleştiren sınav ayarı tip.

   Nasıl çözülür

   1. Payı ve paydayı ayrı ayrı çarpanlara ayır (iki kare farkı, üç terimli, ortak çarpan...).
   2. Ortak çarpanı sadeleştir — sadeleşen çarpanın sıfır olmadığı koşulunu (x ≠ ...) unutma.
   3. Sade biçimde verilen değeri yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sadeleştirmeden değeri doğrudan koyup 0/0 belirsizliğine düşmek veya uzun işlemde hata yapmak→tanımsız sonuç ya da işlem hatasından gelen kaymış değer
   • Kesirde terim sadeleştirmek (çarpan yerine x²'leri birbirine bölmek)→payın ve paydanın parçalarını ayrı ayrı sadeleyen tamamen yanlış ifade

   Örnek

   x ≠ −3 ve x ≠ 2 için (x²−9)/(x²+x−6) ifadesinin x = 4 için değeri kaçtır?

   (x−3)(x+3)/((x+3)(x−2)) = (x−3)/(x−2); x=4 ⇒ 1/2

   Sık birleştiği konular: Mutlak Değer, Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

6. 06

   Gruplandırma yöntemi (dört terimli ifade)

   Orta

   xy + ax + by + ab tipindeki dört terimli ifade ikişerli gruplanıp ortak parantez çıkarılır. Genelde 'çarpanlardan biri' veya değer sorusu olarak gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Terimleri ortak çarpan çıkacak biçimde ikişerli grupla.
   2. Her gruptan ortak çarpanı al; iki grupta AYNI parantez kalmalı.
   3. Ortak parantezi dışarı al: x(y+2) + 3(y+2) = (y+2)(x+3).
   4. Aynı parantez çıkmıyorsa gruplamayı değiştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İkinci gruptan eksi ortak çarpan alırken içerideki işaretleri değiştirmemek→parantezler uyuşmaz; öğrenci yine de zorla çarpar, işaretçe bozuk çarpan
   • Parantezleri toplayıp (x + y + 5) tek çarpan sanmak→çarpım yerine toplam yazılmış ilgisiz ifade

   Örnek

   xy + 2x + 3y + 6 ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi nedir?

   x(y+2) + 3(y+2) = (x+3)(y+2)

7. 07

   Küp farkı ve toplamı a³ ± b³

   Zor

   a−b (veya a+b) ile ab verilir, a³−b³ (veya a³+b³) istenir. a²±ab+b² parçası tam kare özdeşliğiyle üretilir; iki özdeşlik zincirlenir.

   Nasıl çözülür

   1. a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²) ve a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²) formüllerini yaz.
   2. a² + b² değerini tam kareden üret: a² + b² = (a−b)² + 2ab.
   3. Parça değerleri formüle yerleştirip çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Orta terimin işaretini karıştırmak: a³−b³ = (a−b)(a²−ab+b²) yazmak→doğru cevaptan 2ab(a−b) kadar küçük değer (örnekte 3⋅13 = 39)
   • a³−b³ = (a−b)³ sanmak→örnekte 3³ = 27 gibi bariz küçük değer

   Örnek

   a − b = 3 ve a⋅b = 4 olduğuna göre a³ − b³ kaçtır?

   a²+b² = 3² + 2⋅4 = 17 ⇒ a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) = 3(17+4) = 63