çözümebak

TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme · Soru Tipleri

Bölme ve Bölünebilme Kuralları — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Bölme özdeşliği (A = B⋅b + k)

    KolaySık çıkar

    Bölünen, bölen, bölüm ve kalandan üçü verilir, dördüncüsü istenir. Kritik nokta 0 ≤ kalan < bölen koşulu; ÖSYM bu koşulu bozan şıkla tuzak kurar.

    Nasıl çözülür

    1. Özdeşliği yaz: Bölünen = Bölen ⋅ Bölüm + Kalan.
    2. Kalan koşulunu denetle: 0 ≤ kalan < bölen olmalı.
    3. Verilenleri yerine koy, bilinmeyeni çöz.
    4. Bölen ile bölüm yer değiştirmiş de sorulabilir; hangisinin bölen olduğunu kalandan anla (kalan bölenden küçük).

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Kalanı çıkarmak yerine eklemek (A = B⋅b − k almak)doğru cevaptan 2k eksik değer
    • Bölen ile bölümü karıştırmakb ve b farklıysa yanlış çarpım, kalan koşulunu bozan sayı
    • Kalanın bölenden büyük olabileceğini sanmakkalan ≥ bölen olan geçersiz şıkkı seçmek

    Örnek

    Bir A doğal sayısı 13 ile bölündüğünde bölüm 7, kalan 5 oluyor. A kaçtır?

    A = 13⋅7 + 5 = 91 + 5 = 96 (kontrol: 0 ≤ 5 < 13 ✓)

  2. 3 ve 9 ile bölünebilme (rakam bulma)

    KolaySık çıkar

    İçinde harf (bilinmeyen rakam) olan sayının 3'e veya 9'a tam bölünmesi istenir; rakamın alabileceği değer(ler) sorulur. Konunun en klasik açılış sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. Rakamlar toplamını bilinmeyen cinsinden yaz.
    2. 3 için toplam 3'ün katı, 9 için 9'un katı olmalı.
    3. Bilinmeyen bir rakamdır: 0 ≤ a ≤ 9 sınırında kalan değerleri listele.
    4. Soru 'kaç değer alır' veya 'değerlerin toplamı' isteyebilir; dikkatle oku.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • a = 0 değerini unutmak3 kuralında bir eksik değer sayısı / eksik toplam
    • 3 kuralı ile 9 kuralını karıştırmak9 istenirken 3'ün katlarını da saymak — fazla değer
    • Rakam sınırını (0–9) aşan değeri saymakbir fazla değer sayısı

    Örnek

    Üç basamaklı 5a2 sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre a kaçtır?

    5 + a + 2 = 7 + a; 7 ≤ 7+a ≤ 16 aralığındaki tek 9 katı 9 ⇒ a = 2 (sayı 522 = 9⋅58)

  3. 2, 4, 5, 8, 10 ile bölünebilme (son basamak kuralları)

    KolaySık çıkar

    Yalnızca son bir/iki/üç basamağa bakılan kurallar. 4 için son iki, 8 için son üç basamak; gerisi kalana etki etmez. Bilinmeyen rakam son iki basamakta ise dikkat gerektirir.

    Nasıl çözülür

    1. 2 ve 5 ve 10: yalnız son rakama bak.
    2. 4: son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'ün katı (ya da 00) olmalı.
    3. 8: son üç basamağın oluşturduğu sayı 8'in katı olmalı.
    4. Bilinmeyen için olası rakamları tek tek dene; 0–9 sınırını unutma.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • 4 kuralında yalnız son rakama bakmakson rakamı çift olan her sayıyı 4'e bölünür sanmak — fazla değer
    • 8 kuralında son iki basamağa bakmakeksik ya da fazla değer kümesi
    • 0'ı geçerli rakam olarak saymamakbir eksik değer sayısı

    Örnek

    Dört basamaklı 47a6 sayısı 4 ile tam bölünebildiğine göre a kaç farklı değer alabilir?

    Son iki basamak a6 = 10a+6, 4'ün katı olmalı: 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ a ∈ {1,3,5,7,9}, 5 farklı değer

  4. Bileşik bölene bölünme (hem a hem b koşulu)

    OrtaSık çıkar

    6, 12, 15, 36, 45 gibi bileşik bölenler aralarında asal çarpanlara ayrılır (12 = 4⋅3, 45 = 9⋅5) ve her çarpanın kuralı aynı anda uygulanır. Genellikle iki bilinmeyen rakam verilir.

    Nasıl çözülür

    1. Böleni aralarında asal iki çarpana ayır: 6 = 2⋅3, 12 = 4⋅3, 15 = 3⋅5, 36 = 4⋅9, 45 = 9⋅5.
    2. Önce güçlü kısıt olan koşulu uygula (son rakam kuralı genellikle daha az seçenek bırakır).
    3. Kalan koşulu bu seçenekler üzerinde dene; iki koşulu birden sağlayan değeri al.
    4. Dikkat: çarpanlar aralarında asal olmalı — 12 için 2⋅6 ayrışımı YANLIŞ sonuç verebilir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Aralarında asal olmayan ayrışım kullanmak (12 = 2⋅6)koşulu gereğinden gevşek tutup fazla değer bulmak
    • Koşullardan yalnız birini uygulamaktek koşulu sağlayan ama diğerini bozan rakam
    • İki bilinmeyenli soruda koşulları ayrı rakamlara yanlış dağıtmakrakam çifti yer değiştirmiş yanlış cevap

    Örnek

    Üç basamaklı 7a2 sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre a kaçtır?

    36 = 4⋅9. 4 koşulu: a2 sayısı 4'ün katı ⇒ a tek (12, 32, 52, 72, 92). 9 koşulu: 7+a+2 = 9+a ⇒ a = 0 veya 9. Ortak değer a = 9 (792 = 36⋅22)

    Sık birleştiği konular: Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı

  5. Kalanlı bölünebilme (9'a ve 11'e bölümden kalan)

    OrtaSık çıkar

    Büyük bir sayının 9 (veya 3, 11) ile bölümünden kalanı, sayıyı bölmeden bulma. 9'a bölümden kalan = rakamlar toplamının 9'a bölümünden kalan; 11 için birlerden başlayan dönüşümlü toplam kullanılır.

    Nasıl çözülür

    1. 9 (veya 3) için rakamlar toplamını al; toplam büyükse rakamlarını tekrar topla.
    2. Çıkan sonucun 9'a (3'e) bölümünden kalan, sayının kalanıdır.
    3. 11 için birler basamağından başlayarak +, −, +, … işaretli toplamı hesapla; sonucu 11'e göre değerlendir (negatifse 11 ekle).
    4. 5'e/4'e/8'e bölümden kalan istenirse yalnız son 1/2/3 basamağı böl.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Rakam toplamının kendisini kalan sanmaktoplam 9'dan büyükken 9'un katını düşmemiş değer (ör. 24 ⇒ kalan 24 yazmak)
    • 11 kuralında dönüşümlü toplama soldan başlamakişareti ters, 11 tamamlayanı yanlış kalan
    • Negatif dönüşümlü toplamı kalan olarak bırakmak−3 gibi geçersiz kalan; doğrusu −3+11 = 8

    Örnek

    38 274 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

    Rakamlar toplamı 3+8+2+7+4 = 24; 24 = 9⋅2 + 6 ⇒ kalan 6

  6. Kalanlarla işlem (A+B, A⋅B, kA'nın kalanı)

    OrtaSık çıkar

    İki sayının aynı bölene göre kalanları verilir; toplamlarının, çarpımlarının veya katlarının kalanı istenir. Kalanlar üzerinde işlem yapılır, sonuç bölenden büyükse tekrar bölünür.

    Nasıl çözülür

    1. A = b⋅k + r₁, B = b⋅m + r₂ biçiminde yaz.
    2. İstenen ifadedeki işlemi kalanlara uygula: A+B için r₁+r₂, A⋅B için r₁⋅r₂, 3A için 3r₁.
    3. Çıkan sonuç bölene eşit veya büyükse bölene bölüp kalanı al.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Kalan toplamı bölenden büyükken tekrar bölmemekkalan ≥ bölen olan geçersiz değer (ör. 7'ye bölmede kalan 9 yazmak)
    • Çarpım kalanında kalanları toplamakr₁+r₂'den gelen ilgisiz kalan
    • kA'da katsayıyı kalana uygulamamakkalanı değişmeden bırakmak

    Örnek

    A'nın 7 ile bölümünden kalan 3, B'nin 7 ile bölümünden kalan 6'dır. 2A + B toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

    2⋅3 + 6 = 12; 12 = 7⋅1 + 5 ⇒ kalan 5

    Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

  7. Bölen değişince kalan (ortak kalan / EKOK bağlantısı)

    ZorSık çıkar

    Bir sayının iki farklı bölene göre kalanları verilir, üçüncü bir bölene (genellikle EKOK'a) göre kalanı istenir. Kalanlar bölenlerden hep aynı miktar eksikse '+1 hilesi' devreye girer. Konunun sınav ayarındaki zor sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. Kalanlar bölenlerden aynı miktar eksikse (kalan = bölen − c): sayıya c ekle, sayı+c her bölenin katı olur.
    2. Sayı + c = EKOK(bölenler)⋅t yaz; sayı = EKOK⋅t − c.
    3. İstenen bölene göre yeniden düzenle: EKOK⋅t − c = EKOK⋅(t−1) + (EKOK − c) ⇒ kalan EKOK − c.
    4. Kalanlar eşitse (hepsi k): sayı = EKOK⋅t + k, kalan doğrudan k'dır (k < yeni bölen ise).

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Kalanları toplayıp yeni kalan sanmak5+7 = 12 gibi yapıyla ilgisiz bir değer
    • Sayıyı EKOK⋅t − c yazıp kalanı −c bırakmaknegatif 'kalan'; doğrusu ekok − c
    • EKOK yerine bölenlerin çarpımını almakbölenler aralarında asal değilken yanlış modül (6 ve 8 için 48 almak; doğrusu 24)

    Örnek

    Bir doğal sayı 6 ile bölündüğünde 5, 8 ile bölündüğünde 7 kalanını veriyor. Bu sayının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?

    Her iki kalan bölenden 1 eksik ⇒ sayı+1 hem 6'nın hem 8'in katı, yani EKOK(6,8) = 24'ün katı. Sayı = 24t − 1 = 24(t−1) + 23 ⇒ kalan 23

    Sık birleştiği konular: EBOB ve EKOK

7 soru tipini gördün. Şimdi Bölme ve Bölünebilme Kuralları sorularını çöz →