Artan-Azalan Fonksiyonlar ve Yerel Ekstremum — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   İşaret tablosuyla artan/azalan aralık

   KolaySık çıkar

   f′'nün işaretinden fonksiyonun arttığı/azaldığı aralık istenir. Mekanik üçlü: türev al → çarpanla → sayı doğrusunda işaret oku.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)'i hesapla ve çarpanlarına ayır.
   2. Kökleri sayı doğrusuna diz, her aralıkta f′'nün işaretine bak (deneme değeri koy).
   3. f′ > 0 olan aralıklar artan, f′ < 0 olanlar azalandır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • f′ yerine f'nin işaretini incelemek→fonksiyonun pozitif/negatif olduğu aralık — artanlıkla ilgisiz
   • İşaret tablosunu tek çarpandan okumak→yarısı doğru, yarısı ters aralıklar

   Örnek

   f(x)=x³−3x² fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?

   f′(x)=3x²−6x=3x(x−2); işaret (0, 2)'de negatif ⇒ azalan aralık (0, 2)

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

2. 02

   Kritik nokta bulma

   KolaySık çıkar

   f′(x)=0 (veya f′ tanımsız) olan x değerleri istenir. Ekstremum sorularının zorunlu ilk adımı; tek başına da sorulur.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)'i hesapla.
   2. f′(x)=0 denklemini çöz; f′'nün tanımsız olduğu tanım kümesi noktalarını da ekle.
   3. İstenirse kritik noktaların sayısını veya toplamını raporla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • f(x)=0'ın köklerini kritik nokta sanmak→fonksiyonun sıfırları — kritik noktalarla ilgisiz değerler
   • f′'nün tanımsız olduğu noktaları (köşe, düşey teğet) atlamak→eksik sayıda kritik nokta

   Örnek

   f(x)=x³−6x²+9x+2 fonksiyonunun kritik noktalarının apsisleri nedir?

   f′(x)=3x²−12x+9=3(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1 ve x=3

3. 03

   Yerel maksimum/minimum DEĞERİ (x değil, f(x))

   OrtaSık çıkar

   Ekstremum noktası bulunur ama istenen ORDİNAT'tır: f(c). Apsisi cevap işaretlemek konunun klasik tuzağıdır; şıklarda ikisi de bulunur.

   Nasıl çözülür

   1. f′'yü çarpanlara ayırıp kritik noktaları bul.
   2. İşaret tablosuyla türü belirle: + → − yerel maks, − → + yerel min.
   3. İstenen ekstremumun apsisini f'DE yerine koy; cevap f(c) değeridir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Değer yerine apsisi (x=c) cevaplamak→kritik noktanın apsisi — şıklarda hazır bekler
   • Maks ile min noktalarını karıştırmak (tablo yönünü ters okumak)→öteki ekstremumun değeri

   Örnek

   f(x)=x³−12x+3 fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?

   f′(x)=3x²−12=3(x−2)(x+2); x=−2'de + → − ⇒ yerel maks, f(−2)=−8+24+3=19

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

4. 04

   Ekstremum noktasından parametre bulma (f′(x₀)=0)

   OrtaSık çıkar

   "x=x₀'da yerel ekstremumu vardır" bilgisi f′(x₀)=0 denklemine çevrilip fonksiyondaki bilinmeyen katsayı çözülür.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)'i parametre cinsinden hesapla.
   2. Ekstremum koşulunu yaz: f′(x₀)=0, parametreyi çöz.
   3. Titiz çözümde işaret değişimini doğrula (f′(x₀)=0 tek başına ekstremumu garanti etmez).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Koşulu f(x₀)=0 diye kurmak (türev yerine fonksiyon)→ilgisiz bir parametre değeri
   • Ekstremum değeri verildiğinde f(x₀) koşulunu da yazmayı unutmak→iki bilinmeyenli soruda tek denklem — yanlış/eksik sonuç

   Örnek

   f(x)=x³+ax²−9x fonksiyonunun x=1 noktasında yerel ekstremumu olduğuna göre a kaçtır?

   f′(x)=3x²+2ax−9, f′(1)=3+2a−9=0 ⇒ a=3 (f′=3(x+3)(x−1), x=1'de − → +, gerçekten min)

5. 05

   Her yerde artan/azalan için parametre aralığı (diskriminant)

   OrtaSık çıkar

   f tüm ℝ'de artan olacak şekilde parametre aralığı istenir. f′ ikinci derecedense çözüm diskriminanttan gelir: her x için f′(x) ≥ 0 ⇔ Δ ≤ 0.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)'i parametre cinsinden yaz; ikinci dereceden olduğunu ve baş katsayısının işaretini kontrol et.
   2. Her yerde artan için f′(x) ≥ 0 (her x): baş katsayı pozitifken koşul Δ ≤ 0.
   3. Diskriminant eşitsizliğini parametre için çöz, aralığı yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Δ ≤ 0 yerine Δ ≥ 0 kurmak (koşulu ters çevirmek)→doğru aralığın tümleyeni
   • f′(x) > 0'ı zorunlu sanıp Δ < 0 almak (eşitliği atmak)→uç değerleri dışlayan, tam sayı sorularında yanlış cevaba götüren aralık

   Örnek

   f(x)=x³+ax²+12x fonksiyonu tüm gerçek sayılarda artan olduğuna göre a hangi aralıktadır?

   f′(x)=3x²+2ax+12, Δ=4a²−144≤0 ⇒ a²≤36 ⇒ −6≤a≤6

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler

6. 06

   Kapalı aralıkta mutlak maksimum/minimum

   Orta

   [a, b] üzerinde en büyük/en küçük değer istenir. Adaylar: aralık İÇİNDEKİ kritik noktalar + iki uç nokta. Uçları unutmak klasik hatadır.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)=0'ı çöz; yalnız [a, b] içine düşen kritik noktaları tut.
   2. f'yi kritik noktalarda VE uç noktalarda (x=a, x=b) hesapla.
   3. En büyüğü mutlak maks, en küçüğü mutlak min olarak seç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Uç noktaları hesaba katmamak→yalnız iç kritik noktadan gelen, çoğu zaman yanlış ekstremum
   • Aralık dışındaki kritik noktayı da listeye almak→aralıkta ulaşılmayan bir f değeri

   Örnek

   f(x)=x³−3x fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki mutlak maksimum değeri kaçtır?

   f′=3x²−3, aralıktaki kritik nokta x=1; f(0)=0, f(1)=−2, f(3)=18 ⇒ mutlak maks 18

7. 07

   f′(c)=0 ama ekstremum yok (işaret değişimi şartı)

   Zor

   Kritik nokta sayısı ile ekstremum sayısını ayırt ettiren soru. Çift katlı kökte f′ işaret değiştirmez; ekstremum doğmaz (x³ tipi yatay büküm).

   Nasıl çözülür

   1. f′'yü çarpanlara ayır; köklerin KATLARINA dikkat et.
   2. İşaret tablosu kur: tek katlı kökte işaret değişir, çift katlı kökte değişmez.
   3. Yalnız işaret değiştiren kritik noktaları ekstremum say.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Her kritik noktayı ekstremum saymak→ekstremum sayısını fazla veren cevap (örnekte 2)
   • Çift katlı kökte işaret değişimini var sanıp tür atamak→büküm noktasına yerel maks/min etiketi

   Örnek

   f(x)=x⁴−4x³ fonksiyonunun kaç tane yerel ekstremum noktası vardır?

   f′(x)=4x³−12x²=4x²(x−3); x=0 çift katlı (− → −, ekstremum yok), x=3'te − → + ⇒ 1 tane (yerel min, f(3)=−27)

   Sık birleştiği konular: İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları