10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Ters Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir fonksiyon $x$ 'ten $y$ 'ye gider; ters fonksiyon ise $y$ 'den $x$ 'e geri döner. Bu derste bir fonksiyonun tersinin ne zaman var olduğunu (bire bir ve örten olma), tersin nasıl bulunduğunu ( $x$ ile $y$ 'yi değiştirip $y$ 'yi yalnız bırakma) ve grafiklerinin $y = x$ doğrusuna göre simetrik olduğunu öğreneceğiz. Ters fonksiyon, doğrusal/karesel/karekök gibi referans fonksiyonların birbirini nasıl "geri aldığını" gösterir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

Bir $f$ fonksiyonunun tersi $f^{- 1}$ 'in olması için $f$ bire bir (farklı girdiler farklı çıktılar verir) ve örten olmalıdır. Bu durumda:

$f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a$

Yani $f$ bir noktayı $a \to b$ taşıyorsa, $f^{- 1}$ aynı noktayı $b \to a$ geri taşır.

Örnek

Soru

$f (3) = 10$ olduğu biliniyor. $f^{- 1} (10)$ kaçtır?

$f (3) = 10$ ise tanım gereği $f^{- 1} (10) = 3$ .

Sonuç:

f^{- 1} (10) = 3

2. Tersi Bulma Yöntemi

Bir formülün tersini bulmak için:

$f (x)$ yerine $y$ yaz.
$x$ ile $y$ 'yi yer değiştir.
$y$ 'yi yalnız bırak → bu $f^{- 1} (x)$ 'tir.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 6$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

$y = 2 x + 6$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir, sonra yeni $y$ 'yi çek.

$y = 2 x + 6$ .
Değiştir: $x = 2 y + 6$ .
Çek: $2 y = x - 6 \Rightarrow y = \frac{x - 6}{2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x - 6}{2}

3. Grafikte Simetri

$f$ ve $f^{- 1}$ 'in grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden $f$ üzerindeki $(a, b)$ noktası, $f^{- 1}$ üzerinde $(b, a)$ olur. Örneğin $f (x) = x^{2}$ ( $x \geq 0$ ) ile $f^{- 1} (x) = x$ birbirinin yansımasıdır.

Şekil 1 —

f (x) = 2 x - 1

ve tersi

f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}

doğruları

y = x

doğrusuna göre simetriktir.

f

üzerindeki

(2, 3)

noktası,

f^{- 1}

üzerinde

(3, 2)

noktasına yansır.

Örnek

Soru

$f$ fonksiyonunun grafiği $(2, 7)$ noktasından geçiyorsa, $f^{- 1}$ 'in grafiği hangi noktadan geçer?

$(a, b) \to (b, a)$ simetrisi: $(2, 7) \to (7, 2)$ .

Sonuç:

(7, 2)

4. Bileşke ile Doğrulama

$f^{- 1}$ doğruysa, $f$ ile bileşkesi birim fonksiyonu verir:

$f (f^{- 1} (x)) = x f^{- 1} (f (x)) = x$

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 6$ ve $f^{- 1} (x) = \frac{x - 6}{2}$ için $f (f^{- 1} (x))$ ifadesini sadeleştirip doğrulayınız.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 6}{2}$ 'yi $f$ 'e koy: $f (\frac{x - 6}{2}) = 2 \cdot \frac{x - 6}{2} + 6$ .
$= (x - 6) + 6 = x$ .

Sonuç:

x

çıktı; ters doğrudur.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 9$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

$y = 3 x - 9$ → değiştir: $x = 3 y - 9$ .
$3 y = x + 9 \Rightarrow y = \frac{x + 9}{3}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x + 9}{3}

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x + 4}{2}$ ise $f^{- 1} (5)$ kaçtır?

$f^{- 1} (5)$ demek "hangi $x$ için $f (x) = 5$ " demektir; $f (x) = 5$ denklemini çöz.

$f (x) = 5$ : $\frac{x + 4}{2} = 5 \Rightarrow x + 4 = 10 \Rightarrow x = 6$ .

Sonuç:

f^{- 1} (5) = 6

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ ( $x \geq 0$ ) fonksiyonunun tersi nedir?

$y = x^{2}$ , $x \geq 0$ → değiştir: $x = y^{2}$ .
$y \geq 0$ olduğundan $y = x$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = x

Örnek

Soru

$f (x) = 5 x - 2$ fonksiyonunun grafiği $(1, 3)$ 'ten geçiyor. $f^{- 1}$ hangi noktadan geçer?

$(a, b) \to (b, a)$ : $(1, 3) \to (3, 1)$ .

Sonuç:

(3, 1)

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = x + 8$ fonksiyonunun tersini bul.

$y = x + 8$ → $x = y + 8$ → $y = x - 8$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = x - 8

Örnek

Soru

$f (4) = 11$ ise $f^{- 1} (11)$ kaçtır?

Tanım gereği $f^{- 1} (11) = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 1$ ise $f^{- 1} (7)$ kaçtır?

$2 x - 1 = 7 \Rightarrow x = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x}{3} + 2$ fonksiyonunun tersini bul.

$y = \frac{x}{3} + 2$ → $x = \frac{y}{3} + 2$ → $\frac{y}{3} = x - 2 \Rightarrow y = 3 (x - 2)$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = 3 x - 6

Örnek

Soru

$f$ grafiği $(0, 5)$ 'ten geçiyorsa $f^{- 1}$ hangi noktadan geçer?

$(0, 5) \to (5, 0)$ .

Sonuç:

(5, 0)

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3}$ fonksiyonunun tersini bul.

$y = \frac{2 x - 1}{3}$ → değiştir: $x = \frac{2 y - 1}{3}$ .
$3 x = 2 y - 1 \Rightarrow 2 y = 3 x + 1 \Rightarrow y = \frac{3 x + 1}{2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{2}

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ fonksiyonunun tersini bul.

$x$ ile $y$ 'yi değiştirdikten sonra $y$ 'li terimleri bir tarafta topla ve $y$ 'yi parantezine al.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$ → değiştir: $x = \frac{y + 3}{y - 2}$ .
İçler-dışlar: $x (y - 2) = y + 3 \Rightarrow x y - 2 x = y + 3$ .
$y$ 'leri topla: $x y - y = 2 x + 3 \Rightarrow y (x - 1) = 2 x + 3$ .
$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}

Örnek

Soru

$f$ doğrusal bir fonksiyon, $f (1) = 4$ ve $f (3) = 10$ veriliyor. $f^{- 1} (7)$ kaçtır?

Önce doğrunun eğimini iki noktadan bul, $f (x) = a x + b$ 'yi yaz; sonra $f (x) = 7$ denklemini çöz.

Eğim: $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$ . $f (x) = 3 x + b$ ve $f (1) = 4 \Rightarrow 3 + b = 4 \Rightarrow b = 1$ , yani $f (x) = 3 x + 1$ .
$f^{- 1} (7)$ : $3 x + 1 = 7 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

f^{- 1} (7) = 2

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x + 3$ ve $g (x) = x - 1$ için $(f \circ g)^{- 1} (9)$ kaçtır?

Önce $h (x) = (f \circ g) (x) = f (g (x))$ bileşkesini sadeleştir, sonra $h (x) = 9$ denklemini çöz; çünkü $h^{- 1} (9)$ , " $h (x) = 9$ yapan $x$ "tir.

$(f \circ g) (x) = f (x - 1) = 2 (x - 1) + 3 = 2 x + 1$ .
$h^{- 1} (9)$ : $2 x + 1 = 9 \Rightarrow 2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ .

Sonuç:

(f \circ g)^{- 1} (9) = 4

Sık Yapılan Hatalar

Tersi " $\frac{1}{f ( x )}$ " sanmak. Ters fonksiyon işlemi geri alır; çarpmaya göre ters (resiprok) değildir.
$x$ ile $y$ 'yi değiştirmeyi atlamak. Ters bulmanın kalbi bu adımdır; sadece $y$ 'yi çekmek yetmez.
Tanım aralığını göz ardı etmek. $f (x) = x^{2}$ ancak $x \geq 0$ kısıtıyla tersinir; aksi hâlde bire bir değildir.
$f^{- 1} (a)$ 'yı $f (a)$ ile karıştırmak. $f^{- 1} (a)$ , " $f (x) = a$ yapan $x$ "tir.

Not: $f^{- 1} (a)$ istendiğinde en hızlı yol çoğu zaman formülü bulmak değil, doğrudan $f (x) = a$ denklemini çözmektir. Sonucu $f (f^{- 1} (x)) = x$ ile doğrula.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = 4 x - 5

fonksiyonunun tersi

f^{- 1} (x)

aşağıdakilerden hangisidir?

$y = 4 x - 5$ yaz.
$x$ ile $y$ 'yi yer değiştir: $x = 4 y - 5$ .
$y$ 'yi yalnız bırak: $4 y = x + 5 \Rightarrow y = \frac{x + 5}{4}$ .
Doğrulama: $f (\frac{x + 5}{4}) = 4 \cdot \frac{x + 5}{4} - 5 = (x + 5) - 5 = x$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{4}

(A).

Soru 2Kolay

f (x) = \frac{x - 3}{2}

olduğuna göre

f^{- 1} (2)

kaçtır?

$f^{- 1} (2)$ demek " $f (x) = 2$ yapan $x$ " demektir.
$\frac{x - 3}{2} = 2$ yaz.
$x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7$ .
Kontrol: $f (7) = \frac{7 - 3}{2} = 2$ olduğundan $f^{- 1} (2) = 7$ .

Sonuç:

f^{- 1} (2) = 7

(E).

Soru 3Orta

f

fonksiyonunun grafiği

(- 1, 6)

noktasından geçmektedir. Buna göre

f^{- 1}

'in grafiği hangi noktadan geçer?

$f$ ve $f^{- 1}$ grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir: $(a, b) \to (b, a)$ .
$f$ üzerindeki $(- 1, 6)$ noktası, $f^{- 1}$ üzerinde $(6, - 1)$ olur.
Yani koordinatların işareti değişmez, yalnızca yerleri değişir.

Sonuç:

(6, - 1)

(B).

Soru 4Orta

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

fonksiyonunun tersi

f^{- 1} (x)

aşağıdakilerden hangisidir?

$y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir: $x = \frac{2 y + 1}{y - 3}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $x (y - 3) = 2 y + 1 \Rightarrow x y - 3 x = 2 y + 1$ .
$y$ 'li terimleri topla: $x y - 2 y = 3 x + 1 \Rightarrow y (x - 2) = 3 x + 1$ .
$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Sonuç:

f^{- 1} (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}

(B).

Soru 5Orta

Bir taksinin ücreti, gidilen

x

km yol için

f (x) = 6 x + 15

(TL) kuralıyla hesaplanıyor. Bir yolculukta ödenen ücret

51

TL olduğuna göre, kaç km yol gidilmiştir? (Yani

f^{- 1} (51)

kaçtır?)

Sorulan $f^{- 1} (51)$ , yani " $f (x) = 51$ yapan $x$ "tir.
$6 x + 15 = 51$ yaz.
$6 x = 36 \Rightarrow x = 6$ .
Kontrol: $f (6) = 6 \cdot 6 + 15 = 51$ TL, doğru.

Sonuç:

f^{- 1} (51) = 6

km (B).

Soru 6Zor

f

doğrusal bir fonksiyondur ve

f (2) = 1

f (5) = 7

olarak veriliyor. Buna göre

f^{- 1} (11)

kaçtır?

Eğim: $a = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ .
$f (x) = 2 x + b$ ve $f (2) = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 + b = 1 \Rightarrow b = - 3$ , yani $f (x) = 2 x - 3$ .
$f^{- 1} (11)$ : $2 x - 3 = 11 \Rightarrow 2 x = 14 \Rightarrow x = 7$ .
Kontrol: $f (7) = 2 \cdot 7 - 3 = 11$ , doğru.

Sonuç:

f^{- 1} (11) = 7

(C).

0/6 soru cevaplandı

1. Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

2. Tersi Bulma Yöntemi

3. Grafikte Simetri

4. Bileşke ile Doğrulama

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular