10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Ters Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Bir fonksiyon $x$ 'ten $y$ 'ye gider; ters fonksiyon ise $y$ 'den $x$ 'e geri döner. Bu derste bir fonksiyonun tersinin ne zaman var olduğunu (bire bir ve örten olma), tersin nasıl bulunduğunu ( $x$ ile $y$ 'yi değiştirip $y$ 'yi yalnız bırakma) ve grafiklerinin $y=x$ doğrusuna göre simetrik olduğunu öğreneceğiz. Ters fonksiyon, doğrusal/karesel/karekök gibi referans fonksiyonların birbirini nasıl "geri aldığını" gösterir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

Bir $f$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}$ 'in olması için $f$ bire bir (farklı girdiler farklı çıktılar verir) ve örten olmalıdır. Bu durumda:

$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$

Yani $f$ bir noktayı $a\to b$ taşıyorsa, $f^{-1}$ aynı noktayı $b\to a$ geri taşır.

Örnek

Soru

$f(3)=10$ olduğu biliniyor. $f^{-1}(10)$ kaçtır?

$f(3)=10$ ise tanım gereği $f^{-1}(10)=3$ .

Sonuç:

f^{-1}(10)=3

2. Tersi Bulma Yöntemi

Bir formülün tersini bulmak için:

$f(x)$ yerine $y$ yaz.
$x$ ile $y$ 'yi yer değiştir.
$y$ 'yi yalnız bırak → bu $f^{-1}(x)$ 'tir.

Örnek

Soru

$f(x)=2x+6$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

$y=2x+6$ yaz, $x$ ile $y$ 'yi değiştir, sonra yeni $y$ 'yi çek.

$y=2x+6$ .
Değiştir: $x=2y+6$ .
Çek: $2y=x-6\Rightarrow y=\dfrac{x-6}{2}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{2}

3. Grafikte Simetri

$f$ ve $f^{-1}$ 'in grafikleri $y=x$ doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden $f$ üzerindeki $(a,b)$ noktası, $f^{-1}$ üzerinde $(b,a)$ olur. Örneğin $f(x)=x^2$ ( $x\ge 0$ ) ile $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ birbirinin yansımasıdır.

Şekil 1 —

f(x)=2x-1

ve tersi

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2}

doğruları

y=x

doğrusuna göre simetriktir.

f

üzerindeki

(2,3)

noktası,

f^{-1}

üzerinde

(3,2)

noktasına yansır.

Örnek

Soru

$f$ fonksiyonunun grafiği $(2,\ 7)$ noktasından geçiyorsa, $f^{-1}$ 'in grafiği hangi noktadan geçer?

$(a,b)\to(b,a)$ simetrisi: $(2,7)\to(7,2)$ .

Sonuç:

(7,\ 2)

4. Bileşke ile Doğrulama

$f^{-1}$ doğruysa, $f$ ile bileşkesi birim fonksiyonu verir:

$f\big(f^{-1}(x)\big)=x \qquad f^{-1}\big(f(x)\big)=x$

Örnek

Soru

$f(x)=2x+6$ ve $f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{2}$ için $f\big(f^{-1}(x)\big)$ ifadesini sadeleştirip doğrulayınız.

$f^{-1}(x)=\dfrac{x-6}{2}$ 'yi $f$ 'e koy: $f\!\left(\dfrac{x-6}{2}\right)=2\cdot\dfrac{x-6}{2}+6$ .
$=(x-6)+6=x$ .

Sonuç:

x

çıktı; ters doğrudur.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f(x)=3x-9$ fonksiyonunun tersini bulunuz.

$y=3x-9$ → değiştir: $x=3y-9$ .
$3y=x+9\Rightarrow y=\dfrac{x+9}{3}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{x+9}{3}

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x+4}{2}$ ise $f^{-1}(5)$ kaçtır?

$f^{-1}(5)$ demek "hangi $x$ için $f(x)=5$ " demektir; $f(x)=5$ denklemini çöz.

$f(x)=5$ : $\dfrac{x+4}{2}=5\Rightarrow x+4=10\Rightarrow x=6$ .

Sonuç:

f^{-1}(5)=6

Örnek

Soru

$f(x)=x^2$ ( $x\ge 0$ ) fonksiyonunun tersi nedir?

$y=x^2$ , $x\ge 0$ → değiştir: $x=y^2$ .
$y\ge 0$ olduğundan $y=\sqrt{x}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\sqrt{x}

Örnek

Soru

$f(x)=5x-2$ fonksiyonunun grafiği $(1,\ 3)$ 'ten geçiyor. $f^{-1}$ hangi noktadan geçer?

$(a,b)\to(b,a)$ : $(1,3)\to(3,1)$ .

Sonuç:

(3,\ 1)

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f(x)=x+8$ fonksiyonunun tersini bul.

$y=x+8$ → $x=y+8$ → $y=x-8$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=x-8

Örnek

Soru

$f(4)=11$ ise $f^{-1}(11)$ kaçtır?

Tanım gereği $f^{-1}(11)=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$f(x)=2x-1$ ise $f^{-1}(7)$ kaçtır?

$2x-1=7\Rightarrow x=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x}{3}+2$ fonksiyonunun tersini bul.

$y=\dfrac{x}{3}+2$ → $x=\dfrac{y}{3}+2$ → $\dfrac{y}{3}=x-2\Rightarrow y=3(x-2)$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=3x-6

Örnek

Soru

$f$ grafiği $(0,\ 5)$ 'ten geçiyorsa $f^{-1}$ hangi noktadan geçer?

$(0,5)\to(5,0)$ .

Sonuç:

(5,\ 0)

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2x-1}{3}$ fonksiyonunun tersini bul.

$y=\dfrac{2x-1}{3}$ → değiştir: $x=\dfrac{2y-1}{3}$ .
$3x=2y-1\Rightarrow 2y=3x+1\Rightarrow y=\dfrac{3x+1}{2}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{2}

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x+3}{x-2}$ fonksiyonunun tersini bul.

$x$ ile $y$ 'yi değiştirdikten sonra $y$ 'li terimleri bir tarafta topla ve $y$ 'yi parantezine al.

$y=\dfrac{x+3}{x-2}$ → değiştir: $x=\dfrac{y+3}{y-2}$ .
İçler-dışlar: $x(y-2)=y+3\Rightarrow xy-2x=y+3$ .
$y$ 'leri topla: $xy-y=2x+3\Rightarrow y(x-1)=2x+3$ .
$y=\dfrac{2x+3}{x-1}$ .

Sonuç:

f^{-1}(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}

Örnek

Soru

$f$ doğrusal bir fonksiyon, $f(1)=4$ ve $f(3)=10$ veriliyor. $f^{-1}(7)$ kaçtır?

Önce doğrunun eğimini iki noktadan bul, $f(x)=ax+b$ 'yi yaz; sonra $f(x)=7$ denklemini çöz.

Eğim: $a=\dfrac{10-4}{3-1}=3$ . $f(x)=3x+b$ ve $f(1)=4\Rightarrow 3+b=4\Rightarrow b=1$ , yani $f(x)=3x+1$ .
$f^{-1}(7)$ : $3x+1=7\Rightarrow x=2$ .

Sonuç:

f^{-1}(7)=2

Örnek

Soru

$f(x)=2x+3$ ve $g(x)=x-1$ için $(f\circ g)^{-1}(9)$ kaçtır?

Önce $h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ bileşkesini sadeleştir, sonra $h(x)=9$ denklemini çöz; çünkü $h^{-1}(9)$ , " $h(x)=9$ yapan $x$ "tir.

$(f\circ g)(x)=f(x-1)=2(x-1)+3=2x+1$ .
$h^{-1}(9)$ : $2x+1=9\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$ .

Sonuç:

(f\circ g)^{-1}(9)=4

Sık Yapılan Hatalar

Tersi " $\dfrac{1}{f(x)}$ " sanmak. Ters fonksiyon işlemi geri alır; çarpmaya göre ters (resiprok) değildir.
$x$ ile $y$ 'yi değiştirmeyi atlamak. Ters bulmanın kalbi bu adımdır; sadece $y$ 'yi çekmek yetmez.
Tanım aralığını göz ardı etmek. $f(x)=x^2$ ancak $x\ge 0$ kısıtıyla tersinir; aksi hâlde bire bir değildir.
$f^{-1}(a)$ 'yı $f(a)$ ile karıştırmak. $f^{-1}(a)$ , " $f(x)=a$ yapan $x$ "tir.

Not: $f^{-1}(a)$ istendiğinde en hızlı yol çoğu zaman formülü bulmak değil, doğrudan $f(x)=a$ denklemini çözmektir. Sonucu $f(f^{-1}(x))=x$ ile doğrula.

1. Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

2. Tersi Bulma Yöntemi

3. Grafikte Simetri

4. Bileşke ile Doğrulama

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular