10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Karekök ve Rasyonel Fonksiyonlar

~8 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Doğrusal ve karesel fonksiyonların yanına iki yeni aile ekliyoruz: karekök fonksiyonu $f(x)=\sqrt{x}$ ve rasyonel fonksiyon $f(x)=\dfrac{1}{x}$ gibi. Bu derste bu fonksiyonların tanım kümesini (hangi $x$ değerlerinin geçerli olduğunu), grafiklerinin biçimini ve rasyonel fonksiyonlardaki asimptot fikrini öğreneceğiz. Asıl beceri: bir fonksiyonun nerede tanımlı olduğunu belirlemek. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Karekök Fonksiyonu

$f(x)=\sqrt{x}$ fonksiyonunda kök içi negatif olamaz; bu yüzden tanım kümesi $x\ge 0$ 'dır. Grafik orijinden başlar ve gittikçe yatıklaşarak artar; değer kümesi $[0,\infty)$ 'dur.

Şekil 1 —

f(x)=\sqrt{x}

grafiği. Yalnız

x\ge 0

için tanımlıdır; orijinden başlar, artar ama giderek yavaşlar.

Genel olarak $\sqrt{A}$ ifadesinin tanımlı olması için $A\ge 0$ koşulu çözülür.

Örnek

Soru

$f(x)=\sqrt{x-3}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Kök içi sıfırdan küçük olamaz: kök içini $\ge 0$ yapan eşitsizliği çöz.

Kök içi $\ge 0$ : $x-3\ge 0$ .
$x\ge 3$ .

Sonuç: Tanım kümesi

[3,\ \infty)

2. Rasyonel Fonksiyon

Pay ve payda birer polinom olan $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ fonksiyonuna rasyonel fonksiyon denir. Burada payda sıfır olamaz; tanım kümesi, $Q(x)=0$ yapan değerler dışlanarak bulunur.

Şekil 2 —

f(x)=\dfrac{1}{x}

grafiği (hiperbol).

x=0

'da tanımsızdır; eksenler birer asimptottur — grafik onlara yaklaşır ama dokunmaz.

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-5}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Payda sıfır olamaz: $x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5$ .

Sonuç: Tanım kümesi

\mathbb{R}\setminus\{5\}

3. Asimptot Fikri

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ gibi fonksiyonlarda grafik, paydanın sıfır olduğu yere yaklaştıkça düşey asimptota ( $x=0$ ) sonsuza gider; $x$ büyüdükçe yatay asimptota ( $y=0$ ) yaklaşır. Asimptot, grafiğin "dokunmadan yaklaştığı" doğrudur.

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ fonksiyonunun düşey asimptotu nedir?

Payda sıfır: $x-2=0\Rightarrow x=2$ .
Bu değerde fonksiyon tanımsızdır; düşey asimptot $x=2$ doğrusudur.

Sonuç: Düşey asimptot

x=2

4. Birleşik Koşullar

Bir ifade hem kök hem payda içeriyorsa her iki koşul birden sağlanmalıdır: kök içi $\ge 0$ ve payda $\neq 0$ .

Özel bir durum: bir kök paydada ise (örneğin $\dfrac{1}{\sqrt{A}}$ ), kök içi hem $\ge 0$ olmalı hem de payda $0$ olamaz. İki koşul birleşince kök içi kesin pozitif olur: $A>0$ .

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-4}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

Kök içi: $x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1$ .
Payda: $x-4\neq 0\Rightarrow x\neq 4$ .
İkisini birleştir: $x\ge -1$ ve $x\neq 4$ .

Sonuç:

[-1,\ 4)\cup(4,\ \infty)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f(x)=\sqrt{5-x}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.

$5-x\ge 0\Rightarrow x\le 5$ .

Sonuç:

(-\infty,\ 5]

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x}{x^2-9}$ fonksiyonu hangi değerlerde tanımsızdır?

Payda sıfır: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$ .

Sonuç:

x=3

x=-3

'te tanımsızdır.

Örnek

Soru

$f(9)$ değerini $f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{6}{x}$ için bulunuz.

$\sqrt{9}=3$ , $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ .
$f(9)=3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{11}{3}

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{x+3}$ fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını yazınız.

Düşey: payda $0$ → $x=-3$ .
Yatay: $x$ büyüdükçe değer $0$ 'a yaklaşır → $y=0$ .

Sonuç: Düşey

x=-3

, yatay

y=0

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f(x)=\sqrt{2x-8}$ fonksiyonunun tanım kümesini bul.

$2x-8\ge 0\Rightarrow x\ge 4$ .

Sonuç:

[4,\ \infty)

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{3}{x-7}$ fonksiyonu nerede tanımsızdır?

$x-7=0\Rightarrow x=7$ .

Sonuç:

x=7

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ fonksiyonunun yatay asimptotu nedir?

$x$ büyüdükçe $\dfrac{1}{x}\to 0$ .

Sonuç:

y=0

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$ fonksiyonunun tanım kümesini bul.

Kök içi: $x\ge 0$ . Payda: $x\neq 1$ .
Birleştir: $[0,1)\cup(1,\infty)$ .

Sonuç:

[0,\ 1)\cup(1,\ \infty)

Örnek

Soru

$f(x)=\sqrt{x-2}$ için $f(6)$ kaçtır?

$f(6)=\sqrt{6-2}=\sqrt{4}=2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-4}$ fonksiyonu nerede tanımsızdır?

Payda sıfır: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ .

Sonuç:

x=2

x=-2

'de tanımsızdır.

Örnek

Soru

$f(x)=\sqrt{x^2-9}$ fonksiyonunun tanım kümesini bul.

Kök içi $\ge 0$ olmalı: $x^2-9\ge 0$ ikinci dereceden eşitsizliğini "ortada ters, dışta aynı" kuralıyla çöz.

Kök içi $\ge 0$ : $x^2-9\ge 0\Rightarrow (x-3)(x+3)\ge 0$ .
Kökler $\pm 3$ , $a=1>0$ ; ifade kökler dışında pozitiftir (uçlar dâhil).
Çözüm: $x\le -3$ veya $x\ge 3$ .

Sonuç:

(-\infty,\ -3]\cup[3,\ \infty)

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{5-x}}$ fonksiyonunun tanım kümesini bul.

İki koşul birden: paydaki kök içi $\ge 0$ ve paydadaki kök içi $>0$ (payda hem köklü hem $0$ olamaz, bu yüzden eşitlik yok).

Pay kökü: $x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2$ .
Payda kökü: $5-x>0\Rightarrow x<5$ (payda $0$ olamayacağından kesin büyük).
Kesişim: $-2\le x<5$ .

Sonuç:

[-2,\ 5)

Sık Yapılan Hatalar

Kök içini negatif bırakmak. $\sqrt{A}$ için daima $A\ge 0$ koşulunu çöz.
Paydanın sıfır olabileceğini unutmak. Rasyonel fonksiyonda payda $\neq 0$ ; bu değer tanım kümesinden çıkarılır.
Birleşik koşullarda yalnız birini almak. Hem kök hem payda varsa iki koşulu da sağla (kesişimlerini al).
Asimptotu grafiğin değdiği doğru sanmak. Grafik asimptota yaklaşır ama dokunmaz.
Paydadaki kökte eşitliğe izin vermek. Kök paydadaysa kök içi $\ge 0$ değil, $>0$ olmalıdır; aksi hâlde payda $0$ olur.

Not: Tanım kümesi sorularında refleksin iki kontrol olsun: kök içi $\ge 0$ ve payda $\neq 0$ . Her iki koşulu yazıp ortak çözümü aralık olarak ver.

1. Karekök Fonksiyonu

2. Rasyonel Fonksiyon

3. Asimptot Fikri

4. Birleşik Koşullar

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular