10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Karesel fonksiyonların sıfırları ve işareti, ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri çözmemizi sağlar. Bu derste $a x^{2} + b x + c = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak ve diskriminant–kök formülüyle çözmeyi, kök sayısını $Δ$ ile belirlemeyi, kök–katsayı ilişkilerini ve ikinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Çarpanlara Ayırarak Çözüm

Bir çarpım $0$ ise çarpanlardan en az biri $0$ 'dır. Denklem kolay çarpanlanıyorsa en hızlı yol budur.

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ denklemini çözünüz.

Çarpanlara ayır: çarpımı $6$ , toplamı $- 5$ olan iki sayı $- 2$ ve $- 3$ .
$(x - 2) (x - 3) = 0$ .
$x = 2$ veya $x = 3$ .

Sonuç:

x \in {2, 3}

2. Diskriminant ve Kök Formülü

Her ikinci derece denklemi kök formülü ile çözülür:

$Δ = b^{2} - 4 a c x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$

Kök sayısı $Δ$ 'nın işaretine bağlıdır:

$Δ > 0$ → iki farklı gerçek kök.
$Δ = 0$ → bir (çift) gerçek kök.
$Δ < 0$ → gerçek kök yok.

Örnek

Soru

$2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ denkleminin köklerini bulunuz.

Çarpanlara kolay ayrılmıyorsa doğrudan kök formülünü kullan. Önce $Δ = b^{2} - 4 a c$ 'yi hesapla.

$a = 2, b = - 4, c = - 1$ : $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 16 + 8 = 24$ .
$x = \frac{4 \pm 24}{4} = \frac{4 \pm 2 6}{4} = \frac{2 \pm 6}{2}$ .

Sonuç:

x = \frac{2 \pm 6}{2}

3. Kök – Katsayı İlişkileri

$a x^{2} + b x + c = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}, x_{2}$ ise:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Bu ilişkiler, kökleri bulmadan kökler hakkındaki ifadeleri hesaplamaya yarar.

Örnek

Soru

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$ denkleminin köklerinin toplamını ve çarpımını bulunuz.

$a = 1, b = - 7, c = 10$ .
Toplam $= - \frac{b}{a} = 7$ ; çarpım $= \frac{c}{a} = 10$ .

Sonuç: Toplam

7

, çarpım

10

4. İkinci Dereceden Eşitsizlikler

$a x^{2} + b x + c$ ifadesinin işareti parabolün grafiğinden okunur. Kural ("ortada ters, dışta aynı"): kökler $x_{1} < x_{2}$ ise, ifade kökler arasında baş katsayının tersi, dışında baş katsayıyla aynı işaretlidir.

Şekil 1 —

f (x) = x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)

ifadesinin işaret tablosu.

a = 1 > 0

olduğundan ifade kökler dışında (

x < - 2

veya

x > 3

) pozitif, kökler arasında (

- 2 < x < 3

) negatiftir: "ortada ters, dışta aynı".

Örnek

Soru

$x^{2} - x - 6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökler: $(x - 3) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = - 2, x = 3$ .
$a = 1 > 0$ ; ifade kökler dışında pozitiftir.
Pozitif istendiği için çözüm: $x < - 2$ veya $x > 3$ .

Sonuç:

x \in (- \infty, - 2) \cup (3, \infty)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ denklemini çözünüz.

Çarpımı $- 15$ , toplamı $2$ olan sayılar: $5$ ve $- 3$ .
$(x + 5) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = - 5$ veya $x = 3$ .

Sonuç:

x \in {- 5, 3}

Örnek

Soru

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ denkleminin kaç kökü vardır?

$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$ .
$Δ = 0$ → bir (çift) kök: $x = 3$ .

Sonuç: Bir çift kök (

x = 3

Örnek

Soru

$x^{2} - k x + 12 = 0$ denkleminin köklerinden biri $3$ ise diğer kök ve $k$ nedir?

Çarpım $= \frac{c}{a} = 12$ ; bir kök $3$ ise diğeri $\frac{12}{3} = 4$ .
Toplam $= k$ ; $3 + 4 = 7 \Rightarrow k = 7$ .

Sonuç: Diğer kök

4

k = 7

Örnek

Soru

$x^{2} - 4 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökler: $x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ .
$a = 1 > 0$ ; ifade kökler arasında negatiftir (ortada ters).
$\leq 0$ istendiğinden uçlar dâhil: $- 2 \leq x \leq 2$ .

Sonuç:

x \in [- 2, 2]

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$ denkleminin köklerini bul.

$(x - 4) (x - 5) = 0 \Rightarrow x = 4, 5$ .

Sonuç:

4

5

Örnek

Soru

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$ denkleminin kaç gerçek kökü vardır?

$Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ → gerçek kök yok.

Sonuç: Gerçek kök yok.

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + k = 0$ denkleminin kökler çarpımı $6$ ise $k$ kaçtır?

Çarpım $= \frac{c}{a} = k = 6$ .

Sonuç:

k = 6

Örnek

Soru

$x^{2} - x - 12 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bul.

Kökler: $(x - 4) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = - 3, 4$ .
$a > 0$ , negatif istendiği için kökler arası: $- 3 < x < 4$ .

Sonuç:

x \in (- 3, 4)

Örnek

Soru

$3 x^{2} - 12 = 0$ denklemini çöz.

$3 x^{2} = 12 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Sonuç:

x = \pm 2

Örnek

Soru

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ denkleminin köklerini bul.

Baş katsayı $1$ değil; ya kök formülünü kullan ya da $2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)$ çarpanlamasını dene.

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$ , $25 = 5$ .
$x = \frac{3 \pm 5}{4}$ : $x = 2$ veya $x = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

x = 2

x = - \frac{1}{2}

Örnek

Soru

$x^{2} - (m - 1) x + 9 = 0$ denkleminin çift katlı (tek) kökü olması için $m$ 'nin alabileceği değerleri bul.

Tek (çift katlı) kök $Δ = 0$ demektir. $b = - (m - 1)$ alıp $b^{2} - 4 a c = 0$ kur.

$Δ = 0$ : $(m - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0 \Rightarrow (m - 1)^{2} = 36$ .
$m - 1 = \pm 6 \Rightarrow m = 7$ veya $m = - 5$ .

Sonuç:

m = 7

veya

m = - 5

Örnek

Soru

Kökleri $x_{1}, x_{2}$ olan $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ denklemi için $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ değerini bulunuz.

Kökleri tek tek bulma. Paydaları eşitle: $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ ; kök–katsayı ilişkilerini kullan.

$x_{1} + x_{2} = - \frac{- 5}{1} = 5$ , $x_{1} x_{2} = \frac{3}{1} = 3$ .
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{5}{3}$ .

Sonuç:

\frac{5}{3}

Örnek

Soru

$\frac{x - 1}{x - 4} \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Rasyonel eşitsizlikte pay ve paydanın köklerini bir işaret tablosuna yerleştir. Payda asla sıfır olamaz, o yüzden $x = 4$ çözüme dâhil edilmez.

Pay sıfırı: $x = 1$ (dâhil, çünkü $\leq$ ); payda sıfırı: $x = 4$ (hariç).
İşaret tablosunda kritik değerler $1$ ve $4$ . İfade kökler arasında ( $1 < x < 4$ ) negatiftir.
$\leq 0$ istendiğinden $x = 1$ alınır, $x = 4$ alınmaz.

Sonuç:

x \in [1, 4)

Sık Yapılan Hatalar

Diskriminantta işaret hatası. $Δ = b^{2} - 4 a c$ ; $c$ negatifse $- 4 a c$ pozitife döner — dikkatli ol.
Kök–katsayı oranlarını ters yazmak. Toplam $- \frac{b}{a}$ , çarpım $\frac{c}{a}$ ; toplamdaki eksiyi unutma.
Eşitsizlikte işaret bölgesini ezbere almak. "Ortada ters, dışta aynı" kuralını baş katsayının işaretine göre uygula; $a < 0$ ise bölgeler yer değiştirir.
Uç noktaları yanlış dâhil etmek. $<, >$ kökleri dışlar; $\leq, \geq$ kökleri içerir.
Rasyonel eşitsizlikte paydanın kökünü içermek. $\leq, \geq$ olsa bile payda sıfır olamayacağından paydanın kökü her zaman çözüm dışıdır.

Not: Çarpanlara kolay ayrılan denklemde çarpanlamayı dene; ayrılmıyorsa kök formülüne geç. Kök sayısını her zaman önce $Δ$ ile kontrol et.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

x^{2} - 2 x - 8 = 0

denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

Çarpımı $- 8$ , toplamı $- 2$ olan sayılar $- 4$ ve $2$ 'dir.
$(x - 4) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4$ veya $x = - 2$ .
Köklerin toplamı $4 + (- 2) = 2$ .
Alternatif olarak kök-katsayı ilişkisi: toplam $= - \frac{b}{a} = - \frac{- 2}{1} = 2$ .

Sonuç: Köklerin toplamı

2

'dir (C).

Soru 2Kolay

x^{2} - 4 x + 7 = 0

denkleminin gerçek kök sayısı kaçtır?

$a = 1, b = - 4, c = 7$ için $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = - 12$ .
$Δ < 0$ olduğundan denklemin gerçek kökü yoktur.
Gerçek kök sayısı $0$ 'dır.

Sonuç:

Δ = - 12 < 0

olduğundan gerçek kök yoktur; sayı

0

(A).

Soru 3Orta

Kökleri

x_{1}

x_{2}

olan

x^{2} - 8 x + 3 = 0

denklemi için

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

değeri kaçtır?

Kök-katsayı ilişkileri: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 8$ ve $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 3$ .
Özdeşlik: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ .
$= 8^{2} - 2 \cdot 3 = 64 - 6 = 58$ .

Sonuç:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 64 - 6 = 58

(B).

Soru 4Orta

x^{2} - 2 x - 15 \geq 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Kökler: $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = - 3$ ve $x = 5$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir (ortada ters, dışta aynı).
$\geq 0$ istendiği için kökler dışı ve uç noktalar dâhildir.
Çözüm: $x \leq - 3$ veya $x \geq 5$ , yani $(- \infty, - 3] \cup [5, \infty)$ .

Sonuç:

x \in (- \infty, - 3] \cup [5, \infty)

(C).

Soru 5Orta

Bir dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarından

3

m fazladır. Dikdörtgenin alanı

40

^{2}

olduğuna göre kısa kenarın uzunluğu kaç metredir?

Kısa kenara $x$ dersek uzun kenar $x + 3$ olur.
Alan: $x (x + 3) = 40 \Rightarrow x^{2} + 3 x - 40 = 0$ .
Çarpanlara ayır: çarpımı $- 40$ , toplamı $3$ olan sayılar $8$ ve $- 5$ : $(x + 8) (x - 5) = 0$ .
$x = - 8$ veya $x = 5$ ; uzunluk negatif olamayacağından $x = 5$ .
Kısa kenar $5$ m'dir (uzun kenar $8$ m).

Sonuç:

x^{2} + 3 x - 40 = 0

denkleminin pozitif kökü

x = 5

; kısa kenar

5

m (B).

Soru 6Zor

x^{2} - (k + 2) x + (k + 5) = 0

denkleminin çift katlı (tek) kökü olması için

k

'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çift katlı (tek) kök için $Δ = 0$ olmalıdır.
$a = 1, b = - (k + 2), c = k + 5$ : $Δ = (k + 2)^{2} - 4 (k + 5) = 0$ .
$k^{2} + 4 k + 4 - 4 k - 20 = 0 \Rightarrow k^{2} - 16 = 0$ .
$k = 4$ veya $k = - 4$ .
Değerlerin toplamı $4 + (- 4) = 0$ .

Sonuç:

Δ = 0

koşulu

k^{2} - 16 = 0

verir;

k = \pm 4

, toplam

0

(C).

0/6 soru cevaplandı

1. Çarpanlara Ayırarak Çözüm

2. Diskriminant ve Kök Formülü

3. Kök – Katsayı İlişkileri

4. İkinci Dereceden Eşitsizlikler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular