10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler
İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
Karesel fonksiyonların sıfırları ve işareti, ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri çözmemizi sağlar. Bu derste ax^2+bx+c=0 denklemini çarpanlara ayırarak ve diskriminant–kök formülüyle çözmeyi, kök sayısını \Delta ile belirlemeyi, kök–katsayı ilişkilerini ve ikinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesini öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Çarpanlara Ayırarak Çözüm
Bir çarpım 0 ise çarpanlardan en az biri 0'dır. Denklem kolay çarpanlanıyorsa en hızlı yol budur.
x^2-5x+6=0 denklemini çözünüz.
- Çarpanlara ayır: çarpımı
6, toplamı-5olan iki sayı-2ve-3. (x-2)(x-3)=0.x=2veyax=3.
x\in\{2,\ 3\}.2. Diskriminant ve Kök Formülü
Her ikinci derece denklemi kök formülü ile çözülür:
\Delta=b^2-4ac \qquad x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}
Kök sayısı \Delta'nın işaretine bağlıdır:
\Delta>0→ iki farklı gerçek kök.\Delta=0→ bir (çift) gerçek kök.\Delta<0→ gerçek kök yok.
2x^2-4x-1=0 denkleminin köklerini bulunuz.
Çarpanlara kolay ayrılmıyorsa doğrudan kök formülünü kullan. Önce \Delta=b^2-4ac'yi hesapla.
a=2,\ b=-4,\ c=-1:\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16+8=24.x=\dfrac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{4\pm 2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt6}{2}.
x=\dfrac{2\pm\sqrt6}{2}.3. Kök – Katsayı İlişkileri
ax^2+bx+c=0 denkleminin kökleri x_1,\ x_2 ise:
x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \qquad x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}
Bu ilişkiler, kökleri bulmadan kökler hakkındaki ifadeleri hesaplamaya yarar.
x^2-7x+10=0 denkleminin köklerinin toplamını ve çarpımını bulunuz.
a=1,\ b=-7,\ c=10.- Toplam
=-\dfrac{b}{a}=7; çarpım=\dfrac{c}{a}=10.
7, çarpım 10.4. İkinci Dereceden Eşitsizlikler
ax^2+bx+c ifadesinin işareti parabolün grafiğinden okunur. Kural ("ortada ters, dışta aynı"): kökler x_1<x_2 ise, ifade kökler arasında baş katsayının tersi, dışında baş katsayıyla aynı işaretlidir.
f(x)=x^2-x-6=(x+2)(x-3) ifadesinin işaret tablosu. a=1>0 olduğundan ifade kökler dışında (x<-2 veya x>3) pozitif, kökler arasında (-2<x<3) negatiftir: "ortada ters, dışta aynı".x^2-x-6>0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
- Kökler:
(x-3)(x+2)=0\Rightarrow x=-2,\ x=3. a=1>0; ifade kökler dışında pozitiftir.- Pozitif istendiği için çözüm:
x<-2veyax>3.
x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty).Çözümlü Örnekler
x^2+2x-15=0 denklemini çözünüz.
- Çarpımı
-15, toplamı2olan sayılar:5ve-3. (x+5)(x-3)=0\Rightarrow x=-5veyax=3.
x\in\{-5,\ 3\}.x^2-6x+9=0 denkleminin kaç kökü vardır?
\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.\Delta=0→ bir (çift) kök:x=3.
x=3).x^2-kx+12=0 denkleminin köklerinden biri 3 ise diğer kök ve k nedir?
- Çarpım
=\dfrac{c}{a}=12; bir kök3ise diğeri\dfrac{12}{3}=4. - Toplam
=k;3+4=7\Rightarrow k=7.
4, k=7.x^2-4\le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
- Kökler:
x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2. a=1>0; ifade kökler arasında negatiftir (ortada ters).\le 0istendiğinden uçlar dâhil:-2\le x\le 2.
x\in[-2,\ 2].Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
x^2-9x+20=0 denkleminin köklerini bul.
(x-4)(x-5)=0\Rightarrow x=4,\ 5.
4 ve 5.x^2+2x+5=0 denkleminin kaç gerçek kökü vardır?
\Delta=4-20=-16<0→ gerçek kök yok.
x^2-5x+k=0 denkleminin kökler çarpımı 6 ise k kaçtır?
- Çarpım
=\dfrac{c}{a}=k=6.
k=6.x^2-x-12<0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bul.
- Kökler:
(x-4)(x+3)=0\Rightarrow x=-3,\ 4. a>0, negatif istendiği için kökler arası:-3<x<4.
x\in(-3,\ 4).3x^2-12=0 denklemini çöz.
3x^2=12\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.
x=\pm 2.2x^2-3x-2=0 denkleminin köklerini bul.
Baş katsayı 1 değil; ya kök formülünü kullan ya da 2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2) çarpanlamasını dene.
\Delta=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25,\sqrt{25}=5.x=\dfrac{3\pm5}{4}:x=2veyax=-\dfrac{1}{2}.
x=2 ve x=-\dfrac{1}{2}.x^2-(m-1)x+9=0 denkleminin çift katlı (tek) kökü olması için m'nin alabileceği değerleri bul.
Tek (çift katlı) kök \Delta=0 demektir. b=-(m-1) alıp b^2-4ac=0 kur.
\Delta=0:(m-1)^2-4\cdot1\cdot9=0\Rightarrow (m-1)^2=36.m-1=\pm 6\Rightarrow m=7veyam=-5.
m=7 veya m=-5.Kökleri x_1,\ x_2 olan x^2-5x+3=0 denklemi için \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2} değerini bulunuz.
Kökleri tek tek bulma. Paydaları eşitle: \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}; kök–katsayı ilişkilerini kullan.
x_1+x_2=-\dfrac{-5}{1}=5,\;x_1 x_2=\dfrac{3}{1}=3.\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\dfrac{5}{3}.
\dfrac{5}{3}.\dfrac{x-1}{x-4}\le 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Rasyonel eşitsizlikte pay ve paydanın köklerini bir işaret tablosuna yerleştir. Payda asla sıfır olamaz, o yüzden x=4 çözüme dâhil edilmez.
- Pay sıfırı:
x=1(dâhil, çünkü\le); payda sıfırı:x=4(hariç). - İşaret tablosunda kritik değerler
1ve4. İfade kökler arasında (1<x<4) negatiftir. \le 0istendiğindenx=1alınır,x=4alınmaz.
x\in[1,\ 4).Sık Yapılan Hatalar
- Diskriminantta işaret hatası.
\Delta=b^2-4ac;cnegatifse-4acpozitife döner — dikkatli ol. - Kök–katsayı oranlarını ters yazmak. Toplam
-\dfrac{b}{a}, çarpım\dfrac{c}{a}; toplamdaki eksiyi unutma. - Eşitsizlikte işaret bölgesini ezbere almak. "Ortada ters, dışta aynı" kuralını baş katsayının işaretine göre uygula;
a<0ise bölgeler yer değiştirir. - Uç noktaları yanlış dâhil etmek.
<,>kökleri dışlar;\le,\gekökleri içerir. - Rasyonel eşitsizlikte paydanın kökünü içermek.
\le,\geolsa bile payda sıfır olamayacağından paydanın kökü her zaman çözüm dışıdır.
Not: Çarpanlara kolay ayrılan denklemde çarpanlamayı dene; ayrılmıyorsa kök formülüne geç. Kök sayısını her zaman önce
\Deltaile kontrol et.