10. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Parabol

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Nicelikler ve Değişimler temasının en geniş konusu, grafiği parabol olan ikinci dereceden (karesel) fonksiyonlardır. Bu derste $f (x) = a x^{2} + b x + c$ fonksiyonunun grafiğini; kollarının yönünü, tepe noktasını, eksen kesişimlerini ve simetri eksenini bulmayı öğreneceğiz. Parabol; atış hareketinden alan optimizasyonuna kadar pek çok değişimin modelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Karesel Fonksiyon ve Kolların Yönü

$a \neq = 0$ olmak üzere $f (x) = a x^{2} + b x + c$ fonksiyonuna karesel (ikinci dereceden) fonksiyon denir. Grafiği bir paraboldür.

$a > 0$ → kollar yukarı açılır (parabolün en küçük değeri vardır).
$a < 0$ → kollar aşağı açılır (en büyük değeri vardır).

Örnek

Soru

$f (x) = - 2 x^{2} + 3 x - 1$ parabolünün kolları hangi yöne açılır?

Baş katsayı $a = - 2 < 0$ .
$a < 0$ olduğundan kollar aşağı açılır.

Sonuç: Aşağı açılır (en büyük değeri vardır).

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Tepe noktasının apsisi (simetri ekseni) ve ordinatı:

$r = - \frac{b}{2 a} k = f (r)$

Tepe noktası $T (r, k)$ 'dir; simetri ekseni $x = r$ düşey doğrusudur.

Şekil 1 —

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

parabolü.

a = 1 > 0

(kollar yukarı), tepe noktası

T (2, - 1)

, kökler

x = 1

x = 3

y

kesişimi

(0, 3)

, simetri ekseni

x = 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ parabolünün tepe noktasını bulunuz.

Önce $r = - \frac{b}{2 a}$ ile apsisi bul, sonra $r$ 'yi fonksiyonda yerine koyarak ordinatı hesapla.

$a = 1, b = - 6$ : $r = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
$k = f (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

Sonuç: Tepe noktası

T (3, - 4)

3. Eksen Kesişimleri

$y$ ekseni: $x = 0$ → $(0, c)$ .
$x$ ekseni (kökler): $f (x) = 0$ denklemini çöz. Kök sayısı diskriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ 'ye bağlıdır: $Δ > 0$ iki kök, $Δ = 0$ bir (çift) kök, $Δ < 0$ kök yok (parabol $x$ eksenini kesmez).

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ parabolünün eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

$y$ kesişimi: $c = 3$ → $(0, 3)$ .
Kökler: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = 3$ .

Sonuç:

(0, 3)

(1, 0)

(3, 0)

4. En Büyük / En Küçük Değer

Tepe noktasının ordinatı $k$ , fonksiyonun uç değeridir:

$a > 0$ → $k$ en küçük değer.
$a < 0$ → $k$ en büyük değer.

Tepe noktasının ordinatını köklere uğramadan da bulabilirsin: $k = f (r)$ yerine doğrudan $k = - \frac{Δ}{4 a}$ formülü kullanılır ( $Δ = b^{2} - 4 a c$ ). İki yöntem de aynı sonucu verir; hangisi hızlıysa onu seç.

Örnek

Soru

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$ fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

$a = - 1 < 0$ , en büyük değer tepededir. $r = - \frac{4}{2 ( - 1 )} = 2$ .
$k = f (2) = - 4 + 8 + 1 = 5$ .

Sonuç: En büyük değer

5

(x=2'de).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 6$ parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bulunuz.

$a = 2, b = - 8$ : $r = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$ .
$k = f (2) = 2 \cdot 4 - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = - 2$ .

Sonuç:

T (2, - 2)

, simetri ekseni

x = 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ parabolünün köklerini bulunuz.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 2) = 0$ .
$x = 4$ veya $x = - 2$ .

Sonuç: Kökler

4

- 2

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + b x + 9$ parabolünün tepe noktası $x = 3$ doğrusu üzerindeyse $b$ kaçtır?

Simetri ekseni $r = - \frac{b}{2 a} = 3$ , $a = 1$ .
$- \frac{b}{2} = 3 \Rightarrow b = - 6$ .

Sonuç:

b = - 6

Örnek

Soru

Bir taş $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ (metre) yüksekliğiyle atılıyor. Ulaştığı en yüksek nokta kaç metredir?

$a = - 5 < 0$ ; en yüksek nokta tepededir. $r = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = 2$ s.
$h (2) = - 5 \cdot 4 + 40 = - 20 + 40 = 20$ .

Sonuç:

20

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ fonksiyonunu tepe biçimi $f (x) = (x - r)^{2} + k$ olarak yazıp tepe noktasını okuyunuz.

Tam kareye tamamla: $x^{2} - 6 x$ için $(\frac{- 6}{2})^{2} = 9$ ekleyip çıkar.

Tam kareye tamamla: $x^{2} - 6 x + 11 = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 11 = (x - 3)^{2} + 2$ .
Tepe biçimi $(x - r)^{2} + k$ ile karşılaştır: $r = 3, k = 2$ .

Sonuç:

f (x) = (x - 3)^{2} + 2

, tepe noktası

T (3, 2)

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x^{2} - 1$ parabolünün kolları hangi yöne açılır?

$a = 3 > 0$ → yukarı.

Sonuç: Yukarı.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 10 x + 21$ parabolünün tepe noktasının apsisini bul.

$r = - \frac{- 10}{2} = 5$ .

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 9$ parabolünün $x$ eksenini kestiği noktaları bul.

$x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$ .

Sonuç:

(- 3, 0)

(3, 0)

Örnek

Soru

$f (x) = - x^{2} + 6 x$ fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

$r = - \frac{6}{2 ( - 1 )} = 3$ ; $f (3) = - 9 + 18 = 9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 5$ parabolünün $y$ eksenini kestiği nokta nedir?

$x = 0$ → $f (0) = 5$ .

Sonuç:

(0, 5)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ parabolünün tepe noktasını bul.

$r = - \frac{- 2}{2} = 1$ ; $f (1) = 1 - 2 - 3 = - 4$ .

Sonuç:

T (1, - 4)

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 7$ fonksiyonunun en küçük değerini $k = - \frac{Δ}{4 a}$ formülüyle bul.

Önce $Δ = b^{2} - 4 a c$ 'yi hesapla, sonra $- \frac{Δ}{4 a}$ 'yı bul. Sonucu $f (r)$ ile de doğrulayabilirsin.

$Δ = (- 12)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 144 - 56 = 88$ .
$k = - \frac{88}{4 \cdot 2} = - \frac{88}{8} = - 11$ .
(Doğrulama: $r = \frac{12}{4} = 3$ , $f (3) = 18 - 36 + 7 = - 11$ .)

Sonuç: En küçük değer

- 11

Örnek

Soru

Tepe noktası $T (2, - 1)$ olan ve $(0, 3)$ noktasından geçen parabolün $f (x) = a (x - r)^{2} + k$ biçiminde denklemini yaz.

Tepe biçiminde $r = 2, k = - 1$ yerleşir; bilinmeyen $a$ 'yı $(0, 3)$ noktasını koyarak bul.

Tepe biçimi: $f (x) = a (x - 2)^{2} - 1$ .
$(0, 3)$ noktasını koy: $3 = a (0 - 2)^{2} - 1 = 4 a - 1$ .
$4 a = 4 \Rightarrow a = 1$ . Yani $f (x) = (x - 2)^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 3$ .

Sonuç:

f (x) = (x - 2)^{2} - 1

(açık biçim

x^{2} - 4 x + 3

Örnek

Soru

Kenarlarının toplamı sabit olan dikdörtgenlerden çevresi $20$ m olanın alanı en çok kaç $m^{2}$ olur?

Bir kenara $x$ dersen, çevre $20$ olduğundan diğer kenar $10 - x$ olur. Alan $A (x) = x (10 - x)$ bir paraboldür; tepesinde en büyüktür.

Kenarlar $x$ ve $10 - x$ (çünkü $2 x + 2 (10 - x) = 20$ ).
Alan: $A (x) = x (10 - x) = - x^{2} + 10 x$ , $a = - 1 < 0$ (yukarıdan tepe = en büyük).
$r = - \frac{10}{2 ( - 1 )} = 5$ ; $A (5) = 5 \cdot 5 = 25$ .

Sonuç: En büyük alan

25 m^{2}

(kare:

5 \times 5

Sık Yapılan Hatalar

Tepe apsisinde işareti unutmak. $r = - \frac{b}{2 a}$ ; baştaki eksiyi atlama.
Kolların yönünü $c$ ile belirlemek. Yönü baş katsayı $a$ belirler, sabit terim $c$ değil.
Kök yokken grafiği yanlış yorumlamak. $Δ < 0$ ise parabol $x$ eksenini kesmez; bu, fonksiyonun hep aynı işaretli olması demektir.
En büyük/küçük değeri apsisle karıştırmak. Uç değer tepe noktasının ordinatı $k$ 'dir; $x = r$ onun alındığı yerdir.

Not: Bir parabolü çözmenin omurgası tepe noktasıdır: $r = - \frac{b}{2 a}$ , $k = f (r)$ . Yön ( $a$ 'nın işareti) + tepe + eksen kesişimleri ile grafiğin tamamı çıkar.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = - 3 x^{2} + 5 x - 2

karesel fonksiyonunun grafiği olan parabol için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Baş katsayı $a = - 3 < 0$ olduğundan kolların yönünü $a$ belirler ve kollar **aşağı** açılır.
$y$ eksenini kestiği nokta $x = 0$ için $f (0) = c = - 2$ , yani $(0, - 2)$ noktasıdır.
Buna göre kollar aşağı açılır ve $y$ eksenini $(0, - 2)$ 'de keser.

Sonuç: Kollar aşağı açılır ve

y

eksenini

(0, - 2)

noktasında keser (B).

Soru 2Kolay

f (x) = x^{2} - 8 x + 11

parabolünün tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Tepe apsisi $r = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 1} = 4$ .
Tepe ordinatı $k = f (4) = 4^{2} - 8 \cdot 4 + 11 = 16 - 32 + 11 = - 5$ .
Tepe noktası $T (4, - 5)$ 'tir.

Sonuç:

T (4, - 5)

(A).

Soru 3Orta

f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 5

fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?

$a = 3 > 0$ olduğundan fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasının ordinatı $k$ 'dir.
$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 6)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = - 24$ .
$k = - \frac{Δ}{4 a} = - \frac{- 24}{4 \cdot 3} = \frac{24}{12} = 2$ .
(Doğrulama: $r = - \frac{- 6}{2 \cdot 3} = 1$ , $f (1) = 3 - 6 + 5 = 2$ .)

Sonuç: En küçük değer

2

(D).

Soru 4Orta

f (x) = x^{2} + b x + 7

parabolünün simetri ekseni

x = - 2

doğrusu olduğuna göre

b

kaçtır?

Simetri ekseni $x = r = - \frac{b}{2 a}$ ile bulunur; burada $a = 1$ .
$- \frac{b}{2 \cdot 1} = - 2$ eşitliğinden $- \frac{b}{2} = - 2$ .
Buradan $b = 4$ elde edilir.

Sonuç:

b = 4

(E).

Soru 5Orta

f (x) = x^{2} - 10 x + 27

fonksiyonu tepe biçimi

f (x) = (x - r)^{2} + k

olarak yazıldığında

r + k

toplamı kaçtır?

Tam kareye tamamla: $x^{2} - 10 x$ için $(\frac{- 10}{2})^{2} = 25$ ekleyip çıkar.
$f (x) = (x^{2} - 10 x + 25) - 25 + 27 = (x - 5)^{2} + 2$ .
Tepe biçimiyle karşılaştırınca $r = 5$ ve $k = 2$ olur.
$r + k = 5 + 2 = 7$ .

Sonuç:

r + k = 7

(C).

Soru 6Zor

Bir çiftçi elindeki

24

m tel ile dikdörtgen biçiminde bir bahçeyi çevirecektir. Bu bahçenin alanı en çok kaç

m^{2}

olabilir?

Bir kenar $x$ ise, çevre $2 x + 2 y = 24$ olduğundan diğer kenar $y = 12 - x$ olur.
Alan $A (x) = x (12 - x) = - x^{2} + 12 x$ bir paraboldür; $a = - 1 < 0$ olduğundan tepe noktasında en büyüktür.
$r = - \frac{12}{2 \cdot ( - 1 )} = 6$ , yani $x = 6$ m.
$A (6) = 6 \cdot (12 - 6) = 6 \cdot 6 = 36 m^{2}$ (kare biçim).

Sonuç: En büyük alan

36 m^{2}

(D).

0/6 soru cevaplandı

1. Karesel Fonksiyon ve Kolların Yönü

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

3. Eksen Kesişimleri

4. En Büyük / En Küçük Değer

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular