Yaş, İşçi ve Havuz Problemleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Zamanın herkese eşit işlemesi (fark sabit, toplam k⋅n artar)

   KolaySık çıkar

   Konunun temel ilkesini doğrudan yoklayan soru: n yıl geçince HERKES n yaş değişir. Buradan iki hızlı sonuç: iki kişinin yaş farkı hiç değişmez; k kişinin yaşları toplamı n yılda k⋅n artar.

   Nasıl çözülür

   1. n yıl sonrası için her kişiye +n, n yıl öncesi için her kişiye −n uygula.
   2. Fark sorulursa hesap yapma: yaş farkı her an sabittir.
   3. Toplam sorulursa kişi sayısını unutma: yeni toplam = eski toplam + k⋅n.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • n yılı yalnızca bir kişiye eklemek (toplama +n demek)→45+4=49 — doğrusu 45+3⋅4=57
   • Yaş farkının da zamanla büyüdüğünü sanmak→farka n eklenmiş yanlış değer

   Örnek

   Üç kardeşin yaşları toplamı bugün 45'tir. 4 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?

   Her kardeş 4 yaş alır: 45 + 3⋅4 = 57

2. 02

   Yaşlar toplamı + kat ilişkisi (baba-oğul klasiği)

   KolaySık çıkar

   Bugünkü toplam ve 'biri diğerinin k katı' bilgisi verilir; tek bilinmeyenle çözülür. Konunun ısınma denklemi.

   Nasıl çözülür

   1. Küçüğe x de; büyüğü k⋅x olarak yaz.
   2. Toplam denklemini kur: x + k⋅x = (k+1)⋅x = toplam.
   3. Toplamı (k+1)'e böl; soru hangi kişiyi istiyorsa ONU cevapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Toplamı (k+1) yerine k'ye bölmek→48÷5 = 9,6 — kesirli, şıklara uymayan değer
   • Oğul istenirken babayı (ya da tersini) işaretlemek→8 yerine 40

   Örnek

   Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 48'dir. Babanın yaşı oğlunun yaşının 5 katı olduğuna göre oğul kaç yaşındadır?

   x + 5x = 48 ⇒ 6x = 48 ⇒ x = 8 (baba 40; sağlama: 40 = 5⋅8)

3. 03

   Kaç yıl sonra k katı olur? (tek denklemli kat sorusu)

   OrtaSık çıkar

   Bugünkü yaşlar verilir, 'kaç yıl sonra/önce biri diğerinin k katı olur' istenir. Aranan süre t; iki tarafa da t işlenir.

   Nasıl çözülür

   1. Süreye t de; t yıl sonra için HER İKİ yaşa +t ekle (önce için −t).
   2. Kat koşulunu kur: büyük + t = k⋅(küçük + t).
   3. Denklemi çöz; bulduğun t'yi yaşlara geri koyup katı sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • t'yi yalnızca bir kişiye eklemek (38+t = 3⋅8 kurmak)→t = −14 gibi anlamsız/negatif süre
   • Kat ilişkisini ters kurmak (3(38+t) = 8+t)→negatif, soruyla çelişen t değeri

   Örnek

   Bir annenin yaşı 38, kızının yaşı 8'dir. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olur?

   38+t = 3(8+t) ⇒ 38+t = 24+3t ⇒ 14 = 2t ⇒ t = 7 (sağlama: 45 = 3⋅15)

4. 04

   Birim iş ve birlikte çalışma (1/a + 1/b)

   OrtaSık çıkar

   İşi a günde bitiren, bir günde işin 1/a'sını yapar; birlikte çalışınca birim işler TOPLANIR, süreler toplanmaz. İşçi sorularının omurgası.

   Nasıl çözülür

   1. Tüm işi 1 kabul et; her işçinin günlük işini 1/süre olarak yaz.
   2. Birlikte günlük iş: 1/a + 1/b (paydaları eşitleyip topla).
   3. Ortak süre bu kesrin TERSİDİR: 1 ÷ (1/a + 1/b).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Süreleri doğrudan toplamak→8+24 = 32 gün
   • Sürelerin ortalamasını almak→(8+24)/2 = 16 gün
   • Birim işleri toplayıp tersini almayı unutmak→1/6'yı 'gün' sanmak

   Örnek

   Bir işi A işçisi 8 günde, B işçisi 24 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

   1/8 + 1/24 = 3/24 + 1/24 = 4/24 = 1/6 ⇒ iş 6 günde biter

   Sık birleştiği konular: Oran ve Orantı

5. 05

   Havuz problemi (dolduran + / boşaltan −)

   OrtaSık çıkar

   Dolduran ve boşaltan musluk birlikte açıktır. Boşaltan musluk işi geri götürür; hızı NEGATİF işaretle katılır, net hız farktır.

   Nasıl çözülür

   1. Dolduranın saatlik işi +1/a, boşaltanın saatlik etkisi −1/b.
   2. Net saatlik dolum: 1/a − 1/b (pozitifse havuz dolar).
   3. Dolma süresi net hızın tersidir; kısmi süre sorulursa net hızı süreyle çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Boşaltan musluğu da + almak→1/4 + 1/12 = 1/3 ⇒ 3 saat
   • Sürelerin farkını almak→12 − 4 = 8 saat

   Örnek

   Bir havuzu dolduran musluk tek başına 4 saatte dolduruyor; boşaltan musluk dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Havuz boşken ikisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

   1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 2/12 = 1/6 ⇒ havuz 6 saatte dolar

6. 06

   n yıl önce k katı, m yıl sonra p katı (iki denklemli yaş)

   ZorSık çıkar

   Geçmiş ve gelecekteki iki ayrı kat ilişkisi verilir; iki bilinmeyenli sistem kurulur. Yaş sorularının sınav ayarı.

   Nasıl çözülür

   1. Bugünkü yaşlara x ve y de; her koşul için HERKESE aynı kaydırmayı uygula.
   2. İki denklem yaz: (x−n) = k(y−n) ve (x+m) = p(y+m).
   3. Birinden x'i çekip diğerine koy; bulduğun yaşları HER İKİ koşulda sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kaydırmayı (−5/+5) yalnızca bir kişiye uygulamak→oğul için 1,25 gibi kesirli, anlamsız yaş
   • Sistemi çözüp bugünkü yaş yerine 5 yıl önceki yaşı işaretlemek→10 yerine 5

   Örnek

   Bir babanın yaşı 5 yıl önce oğlunun yaşının 7 katıydı; 5 yıl sonra ise 3 katı olacaktır. Oğul bugün kaç yaşındadır?

   b−5 = 7(o−5) ⇒ b = 7o−30; b+5 = 3(o+5) ⇒ 7o−25 = 3o+15 ⇒ 4o = 40 ⇒ o = 10 (b = 40; sağlama: 35 = 7⋅5, 45 = 3⋅15)

   Sık birleştiği konular: Sayı ve Kesir Problemleri

7. 07

   İşin bir kısmı yapıldıktan sonra kalan iş

   ZorSık çıkar

   Birlikte başlanır, biri ayrılır (ya da geç katılır); kalan işi kimin kaç günde bitirdiği istenir. Aşamalı kurgu, gerçek sınav zorluğu.

   Nasıl çözülür

   1. Birlikte çalışılan sürede biten işi hesapla: süre ⋅ (1/a + 1/b).
   2. Kalan işi bul: 1 − biten kısım.
   3. Kalan işi, devam eden kişinin günlük işine böl: kalan ÷ (1/süre). Soru toplam süreyi mi, kalan süreyi mi istiyor — dikkat.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kalan işi 1'den çıkarmayı unutup tüm işi devredene yaptırmak→10 yerine 15
   • Kalan süre istenirken toplam süreyi vermek (ya da tersi)→10 yerine 12

   Örnek

   Bir işi A işçisi 10 günde, B işçisi 15 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte 2 gün çalıştıktan sonra A ayrılıyor. Kalan işi B tek başına kaç günde bitirir?

   Birlikte günlük iş 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6; 2 günde 2/6 = 1/3 biter, kalan 2/3; B için süre (2/3) ÷ (1/15) = 10 gün