çözümebak

TYT Matematik · Temel Geometri · Soru Tipleri

Üçgende Açılar ve Kenarlar — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~7 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. İç açılar toplamı 180° (oranlı / eksik açı)

    KolaySık çıkar

    İki açı verilip üçüncüsü istenir ya da açılar oranla (1:2:3 gibi) verilir. Konunun ısınma sorusu; oranlı versiyonda k'yı cevap sanmak klasik hatadır.

    Nasıl çözülür

    1. Oran verilmişse açıları k cinsinden yaz: k, 2k, 3k gibi.
    2. İç açılar toplamını kur: toplam = 180°, k'yı çöz.
    3. İstenen AÇIYI hesapla — k'nın kendisi neredeyse hiçbir zaman cevap değildir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • k'yı bulup cevap sanmakk değeri (ör. 90° yerine 30)
    • İç açılar toplamını 360° almak (dörtgenle karıştırmak)doğru cevabın iki katı ölçekli değer
    • En büyük açı istenirken en küçük oranın açısını vermeken küçük açı (ör. 30°)

    Örnek

    △ABC'nin iç açılarının ölçüleri 1, 2 ve 3 sayılarıyla orantılıdır. En büyük iç açının ölçüsü kaç derecedir?

    k+2k+3k=180° ⇒ k=30°; açılar 30°, 60°, 90° — en büyüğü 90°

  2. Dış açı = komşu olmayan iç açılar toplamı

    KolaySık çıkar

    Bir dış açı ile bir iç açı verilir, üçüncü iç açı sorulur (ya da tersi). Dış açının komşu OLMAYAN iki iç açının toplamına eşit olduğu bağıntı kullanılır; dış açılar toplamının 360° olduğu da aynı kalıbın sorusudur.

    Nasıl çözülür

    1. Dış açıyı yaz: dış(B) = m(A) + m(C) (B'ye komşu olmayan içler).
    2. Verilenleri yerine koy, bilinmeyen iç açıyı çöz.
    3. Kontrol: dış açı + komşu iç açı = 180° ve üç iç açı toplamı 180° sağlanmalı.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Dış açıyı iç açı sanıp üç 'iç' açıyı 180°'ye tamamlamak180° − (iç + dış) (ör. 70° yerine 10°)
    • Dış açının bütünlerini (komşu iç açıyı) bulup istenen açı sanmak180° − dış açı (ör. 60°)
    • Dış açılar toplamını 180° sanmakyarı ölçekli yanlış değer

    Örnek

    △ABC'de m(A)=50° ve B köşesindeki dış açının ölçüsü 120°'dir. m(C) kaç derecedir?

    Dış(B)=m(A)+m(C) ⇒ 120°=50°+m(C) ⇒ m(C)=70° (kontrol: iç B=60°, 50+60+70=180 ✓)

  3. Üçgen eşitsizliği (kaç farklı tam sayı değeri)

    OrtaSık çıkar

    İki kenar verilir; üçüncü kenarın alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı, en büyüğü ya da en küçüğü istenir. |b−c| < a < b+c bağıntısı — sınır değerlerin DAHİL OLMADIĞI en kritik ayrıntıdır.

    Nasıl çözülür

    1. Aralığı yaz: |b−c| < x < b+c (iki sınır da açık aralık, dahil değil).
    2. Tam sayı isteniyorsa aralıktaki tam sayıları say: (üst−alt−1) formülü açık aralıkta işe yarar.
    3. En küçük/en büyük tam değer isteniyorsa sınıra EN YAKIN ama sınırda olmayan tam sayıyı al.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Sınır değerleri dahil etmek (≤ kullanmak)doğru sayının 2 fazlası (ör. 9 yerine 11)
    • Yalnız x < b+c koşulunu kullanıp alt sınırı unutmakfazladan küçük değerler sayılmış sonuç (ör. 13)
    • Alt sınırı b−c yerine b+c−1 gibi ezber değerle kurmakkaymış aralıktan yanlış sayım

    Örnek

    Kenar uzunlukları 5, 9 ve x birer tam sayıdır. x kaç farklı değer alabilir?

    9−5 < x < 9+5 ⇒ 4 < x < 14; x ∈ {5,6,…,13} — 9 farklı değer

  4. Açı–kenar ilişkisi (kenar sıralaması)

    OrtaSık çıkar

    Üçgenin açıları verilir (ya da hesaplattırılır), kenarların büyükten küçüğe sıralaması istenir. Kural: büyük açının KARŞISINDA büyük kenar bulunur — açıya komşu kenarla karıştırılır.

    Nasıl çözülür

    1. Eksik açıyı 180°'den tamamla; üç açıyı da bil.
    2. Her açının karşısındaki kenarı eşleştir: m(A) karşısı |BC|=a, m(B) karşısı |AC|=b, m(C) karşısı |AB|=c.
    3. Açı sıralamasını aynen kenarlara taşı: en büyük açı ⇒ en uzun kenar.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Büyük açının karşısına küçük kenar koymak (ilişkiyi ters kurmak)doğru sıralamanın tam tersi
    • Açının karşı kenarı yerine komşu kenarını eşleştirmek (A ↔ |AB| sanmak)karışık, kısmen doğru görünen sıralama
    • Üçüncü açıyı hesaplamadan verilen iki açıyla sıralamakeksik karşılaştırmadan yanlış sıra

    Örnek

    △ABC'de m(A)=70° ve m(B)=60°'dir. Kenarları büyükten küçüğe sıralayınız.

    m(C)=50°; 70°>60°>50° ⇒ a>b>c, yani |BC|>|AC|>|AB|

  5. İkizkenar üçgende açı–kenar özellikleri

    OrtaSık çıkar

    İki kenarı eş üçgende taban açılarının eşitliği kullanılır: tepe açısı verilip taban açısı istenir ya da tersi. Hangi açının tepe, hangilerinin taban olduğu şekil okunmadan karıştırılır — eşit kenarların KARŞISINDAKİ açılar eşittir.

    Nasıl çözülür

    1. Eş kenarları belirle: |AB|=|AC| ise taban BC'dir ve m(B)=m(C) (eşit kenarların karşı açıları).
    2. İç açılar toplamını kur: tepe + 2 × taban = 180°.
    3. İstenen açıyı çöz; ikizkenarda tepeden inen yükseklik aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Tepe açısını taban açısı sanmak (eşit açıları yanlış köşelere koymak)tepe açısının kendisi (ör. 70° yerine 40°)
    • 180°'den tepe açısını çıkarıp İKİYE BÖLMEYİ unutmaktaban açılarının toplamı (ör. 140°)
    • |AB|=|AC| iken m(A)=m(B) yazmakyanlış denklem, tutarsız açılar

    Örnek

    △ABC'de |AB|=|AC| ve tepe açısı m(A)=40°'dir. Taban açısı m(B) kaç derecedir?

    m(B)=m(C)=(180°−40°)/2=70° (kontrol: 40+70+70=180 ✓)

  6. Eşkenar üçgen: yükseklik ve alan bağıntısı

    OrtaSık çıkar

    Bir kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik h = a√3/2 ve alan = a²√3/4 bağıntıları. Yükseklik indirildiğinde oluşan 30–60–90 dik üçgeni görmek çözümün özüdür; formüller birbirine karıştırılır.

    Nasıl çözülür

    1. Tepeden yükseklik indir: tabanı ortalar, 30°–60°–90° dik üçgen oluşur.
    2. Yükseklik: h = a√3/2 (dik üçgende a/2, h, a kenarlarından Pisagor ile de çıkar).
    3. Alan: (taban × yükseklik)/2 = a ⋅ (a√3/2) / 2 = a²√3/4.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Alan formülünde 4 yerine 2'ye bölmek (a²√3/2 kullanmak)doğru alanın iki katı (ör. 9√3 yerine 18√3)
    • Yüksekliği a√3 sanmak (2'ye bölmeyi unutmak)iki kat yükseklik ve ondan türeyen dört kat alan
    • Yükseklik yerine kenarın yarısını kullanmaka²/4'lü köksüz yanlış alan

    Örnek

    Bir kenarının uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç cm, alanı kaç cm²'dir?

    h=6√3/2=3√3 cm; Alan=6²√3/4=9√3 cm² (kontrol: 6⋅3√3/2=9√3 ✓)

  7. İç açıortayların kesişimi: m(BPC) = 90° + A/2 kalıbı

    ZorSık çıkar

    B ve C köşelerinden çizilen iç açıortaylar üçgenin içinde (iç merkezde) kesişir; tepe açısı verilip açıortayların arasındaki açı sorulur. Ezber bağıntı 90°+A/2'dir ama ÖSYM türetmeyi bilmeyeni cebirsel varyasyonlarla eler. Kenarortayların kesişimi (ağırlık merkezi, 2:1 bölme) ile karıştırılmamalıdır.

    Nasıl çözülür

    1. m(B)+m(C)=180°−m(A) yaz.
    2. Açıortaylar yarısını alır: B/2 + C/2 = (180°−A)/2 = 90° − A/2.
    3. BPC üçgeninde: m(BPC) = 180° − (B/2 + C/2) = 90° + A/2.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Dış açıortay formülünü kullanmak: 90° − A/290°−a/2 (ör. 125° yerine 55°)
    • Açıortayları unutup m(BPC)=180°−m(A) almak180°−a (ör. 110°)
    • B/2 + C/2 toplamını cevap sanmak90°−a/2 ile aynı yanlış değer (ör. 55°)

    Örnek

    △ABC'de m(A)=70°'dir. B ve C köşelerindeki iç açıortaylar üçgenin içinde P noktasında kesişiyor. m(BPC) kaç derecedir?

    m(BPC)=90°+70°/2=125° (kontrol: B+C=110°, yarıları 55°, 180°−55°=125° ✓)

    Sık birleştiği konular: Açılar ve Doğrular

7 soru tipini gördün. Şimdi Üçgende Açılar ve Kenarlar sorularını çöz →