Üçgende Benzerlik ve Alan — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Paralel kesenle Tales (parça oranından uzunluk)

   KolaySık çıkar

   △ABC'de [DE] ∥ [BC] olacak biçimde D∈[AB], E∈[AC]. Paralellik kenarları AYNI oranda böler: AD/DB = AE/EC. Konunun açılış sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Paralel doğruyu gör: [DE] ∥ [BC] ⇒ kenarlar orantılı bölünür.
   2. Oranı parça-parça kur: AD/DB = AE/EC (üst parçalar bir tarafta, alt parçalar diğer tarafta).
   3. İçler-dışlar çarpımı ile bilinmeyeni çek.
   4. Dikkat: parça/parça oranı ile parça/bütün (AD/AB) oranını karıştırma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Oranı parça/bütün kurmak: AD/AB = AE/EC yazmak→ec = 12 (doğrusu 4)
   • Oranı ters çevirmek: DB/AD = AE/EC→ec = 16

   Örnek

   △ABC'de D∈[AB], E∈[AC] ve [DE] ∥ [BC]. AD=6, DB=3, AE=8 birim ise EC kaç birimdir?

   AD/DB = AE/EC ⇒ 6/3 = 8/EC ⇒ EC = 4

2. 02

   AA benzerliği ile kenar bulma (DE'den BC'ye geçiş)

   OrtaSık çıkar

   [DE] ∥ [BC] iken △ADE ~ △ABC olur (AA). Paralel kenarın kendisi sorulunca oran parça/parça DEĞİL, parça/bütün alınır: DE/BC = AD/AB. Tales sorusunun bir kademe üstü.

   Nasıl çözülür

   1. Paralellikten iki eş açı bul: △ADE ~ △ABC (AA benzerliği).
   2. Benzer üçgenlerde oran BÜTÜN kenarlar arasındadır: DE/BC = AD/AB = AE/AC.
   3. AB = AD + DB toplamını yazmayı unutma.
   4. Oranı kur, istenen kenarı çek.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • DE/BC oranını AD/DB (parça/parça) ile kurmak→de = 18 (doğrusu 6)
   • AB yerine DB kullanmak: DE/BC = AD/DB karıştırması ile aynı kapıya çıkan eşleme hatası→şıklarda duran 18 veya 4,5 gibi kaymış değerler

   Örnek

   △ABC'de D∈[AB], E∈[AC] ve [DE] ∥ [BC]. AD=4, DB=2, BC=9 birim ise DE kaç birimdir?

   △ADE ~ △ABC ⇒ DE/BC = AD/AB = 4/6 ⇒ DE = 9⋅2/3 = 6

3. 03

   Benzerlik oranı → alan oranı k² (çevre k, alan k² tuzağı)

   OrtaSık çıkar

   Benzerlik oranı k ise uzunluklar (kenar, çevre, yükseklik) k ile, ALAN k² ile orantılıdır. Alanı k ile çarpmak konunun bir numaralı hatasıdır; ÖSYM bu yanlışın ürettiği değeri hep şıklara koyar.

   Nasıl çözülür

   1. Benzerlik oranını yönüyle yaz: k = küçük/büyük (hangi üçgenden hangisine gittiğine dikkat).
   2. Uzunluk isteniyorsa k ile, alan isteniyorsa k² ile çarp.
   3. Alan oranı: A₁/A₂ = k².
   4. Sağlama: büyük üçgenin alanı küçüğünkinden büyük çıkmalı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Alan oranını k sanmak (kareyi almamak)→45 yerine 30
   • Oranı ters yönde uygulamak (büyükten küçüğe k² ile bölmek yerine çarpmak)→20⋅4/9 ≈ 8,9 gibi küçülmüş değer

   Örnek

   Benzer iki üçgenin benzerlik oranı (küçükten büyüğe) 2/3'tür. Küçük üçgenin alanı 20 birim kare ise büyük üçgenin alanı kaç birim karedir?

   Alan oranı k² = 4/9 ⇒ A_büyük = 20⋅9/4 = 45

4. 04

   Tabana paralel doğru ile alan bölme (üçgen + yamuk)

   OrtaSık çıkar

   [DE] ∥ [BC] üçgeni tepede küçük bir üçgen ile altta bir yamuğa ayırır. Küçük üçgenin alanı k² ile bulunur; yamuk alanı FARKTAN gelir. İki tuzak üst üste: k² unutulur ya da yamuk yerine üçgen verilir.

   Nasıl çözülür

   1. △ADE ~ △ABC benzerliğini kur; k = AD/AB.
   2. Küçük üçgenin alanı: A(ADE) = k²⋅A(ABC).
   3. Yamuğun alanı fark ile: A(DECB) = A(ABC) − A(ADE).
   4. Soruda üçgen mi yamuk mu istendiğini bir kez daha oku.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Küçük üçgen alanını k ile hesaplamak: 36⋅1/2→yamuk 18 (doğrusu 27)
   • Yamuk yerine küçük üçgenin alanını işaretlemek→9

   Örnek

   △ABC'de D∈[AB], E∈[AC] ve [DE] ∥ [BC]; AD/AB = 1/2 ve A(ABC) = 36 birim karedir. DECB yamuğunun alanı kaç birim karedir?

   A(ADE) = (1/2)²⋅36 = 9 ⇒ A(DECB) = 36−9 = 27

5. 05

   Kenarortay ile alan bölme (altı eş parça)

   OrtaSık çıkar

   Bir kenarortay üçgeni iki EŞİT alana böler; üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir ve üçgeni altı EŞ alana ayırır. G merkezli parça-alan soruları bu iki cümleyle çözülür.

   Nasıl çözülür

   1. Tek kenarortay: iki eş alan (tabanlar eşit, yükseklik ortak).
   2. Üç kenarortay: altı eş parça; her biri A(ABC)/6.
   3. İstenen bölgenin kaç parçadan oluştuğunu say (ör. △AGB iki parçadır).
   4. Parça sayısı × A(ABC)/6.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • △AGB'yi tek parça sanıp A/6 vermek→9 (doğrusu 18)
   • Kenarortayın alanı yalnız ikiye böldüğünü düşünüp A/2 vermek→27

   Örnek

   △ABC'nin kenarortayları G noktasında kesişiyor ve A(ABC) = 54 birim karedir. A(AGB) kaç birim karedir?

   Kenarortaylar üçgeni 6 eş parçaya böler; △AGB bunların ikisidir ⇒ 2⋅54/6 = 18

6. 06

   Aynı yükseklikli üçgenlerde taban oranı = alan oranı

   OrtaSık çıkar

   Tepe noktası ortak, tabanları aynı doğru üzerinde olan üçgenlerde yükseklik ortaktır; alanlar TABANLARLA orantılıdır (kare alınmaz — benzerlik yok, yükseklik ortaklığı var). ÖSYM'nin alan bölme sorularının motoru.

   Nasıl çözülür

   1. Tabanların aynı doğru üzerinde, tepenin ortak olduğunu doğrula ⇒ yükseklik ortak.
   2. Alan oranı = taban oranı: A(ABD)/A(ADC) = BD/DC.
   3. Bütünle çalışırken payda taban TOPLAMI olur: A(ABD)/A(ABC) = BD/BC.
   4. Bu kural benzerlik değildir; k² almaya kalkma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • BD/DC = 2/4 oranını BD/BC sanmak→12 (doğrusu 8)
   • Benzerlik var sanıp taban oranının karesini almak: (1/3)²→24/9 = 8/3 gibi kesirli saçma değer

   Örnek

   △ABC'de D∈[BC], BD=2, DC=4 birim ve A(ABC)=24 birim karedir. A(ABD) kaç birim karedir?

   Yükseklik ortak ⇒ A(ABD)/A(ABC) = BD/BC = 2/6 ⇒ A(ABD) = 24⋅1/3 = 8

   Sık birleştiği konular: Dik Üçgen ve Pisagor Teoremi

7. 07

   Alan oranından çevre/kenar bulma (karekök yönü)

   ZorSık çıkar

   Alanlar verilir, çevre ya da kenar istenir — k² tuzağının TERS yönü. Alan oranının KAREKÖKÜ alınmadan çevreye geçilemez. Sınav ayarındaki karışık soru.

   Nasıl çözülür

   1. Alan oranını yaz ve sadeleştir: A₁/A₂ = 27/48 = 9/16.
   2. Benzerlik oranı karekökle gelir: k = √(9/16) = 3/4.
   3. Çevre (ve her uzunluk) k ile orantılıdır: Ç_büyük = Ç_küçük⋅(1/k yönünde) = 18⋅4/3.
   4. Sağlama: büyük üçgenin çevresi büyük çıkmalı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çevreyi alan oranıyla çarpmak (karekök almamak)→18⋅16/9 = 32 (doğrusu 24)
   • k = 3/4'ü ters yönde uygulamak: 18⋅3/4→13,5 — küçülmüş çevre

   Örnek

   Benzer iki üçgenin alanları sırasıyla 27 ve 48 birim karedir. Küçük üçgenin çevresi 18 birim ise büyük üçgenin çevresi kaç birimdir?

   A oranı 27/48 = 9/16 ⇒ k = 3/4 ⇒ Ç_büyük = 18⋅4/3 = 24