Türevin Tanımı ve Temel Kuralları — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 14 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   h→0 tanım limitini türev olarak tanıma

   KolaySık çıkar

   lim(h→0) [f(a+h)−f(a)]/h biçimindeki limit verilir; öğrencinin bunun f′(a) olduğunu görmesi beklenir. Konunun kapı sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Limitin biçimine bak: [f(a+h)−f(a)]/h, h→0 ⇒ bu tam olarak f′(a) tanımıdır.
   2. Limiti açmaya çalışma; f′(x)'i kurallarla al.
   3. a noktasını türevde yerine koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • h=0'ı doğrudan koyup 0/0'a takılmak, sonra limiti 0 sanmak→0 cevabı
   • Limiti türev yerine f(a) değeri sanmak→f(a) — fonksiyon değeri, türev değil

   Örnek

   f(x)=x²−x ise lim(h→0) [f(2+h)−f(2)]/h kaçtır?

   Limit f′(2)'dir; f′(x)=2x−1, f′(2)=3

   Sık birleştiği konular: Limit Hesaplama ve Belirsizlik (0/0)

2. 02

   x→a tanımı: [f(x)−f(a)]/(x−a) ile hesap

   KolaySık çıkar

   Türevin ikinci tanım biçimi. Ya doğrudan hesaplatılır (çarpanlara ayır, sadeleştir) ya da öğrencinin biçimi tanıyıp f′(a) demesi istenir.

   Nasıl çözülür

   1. f′(a) = lim(x→a) [f(x)−f(a)]/(x−a) olduğunu tanı.
   2. Doğrudan hesap istenirse f(a)'yı koy, payı çarpanlarına ayır, (x−a) ile sadeleştir.
   3. Sadeleşen ifadede x=a yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sadeleştirmeden x=a koyup 0/0'ı '0' veya 'tanımsız' saymak→0 ya da 'limit yoktur' cevabı
   • Limit yerine f(a)'yı hesaplamak→f(a) değeri

   Örnek

   f(x)=x²+3 ise lim(x→2) [f(x)−f(2)]/(x−2) kaçtır?

   f(2)=7; (x²−4)/(x−2)=x+2 → limit 4 (= f′(2)=2⋅2)

   Sık birleştiği konular: Limit Hesaplama ve Belirsizlik (0/0)

3. 03

   Katsayılı tanım limiti: f(a+kh) biçimi

   OrtaSık çıkar

   f′(a) verilir; lim(h→0) [f(a+kh)−f(a)]/h türü limit istenir. Öğrenci limiti tanıma dönüştürüp k çarpanını çıkarabilmeli.

   Nasıl çözülür

   1. Pay ve paydayı k ile dengele: [f(a+kh)−f(a)]/h = k·[f(a+kh)−f(a)]/(kh).
   2. u=kh dönüşümüyle limit k·f′(a) olur.
   3. Verilen f′(a) değeriyle çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • k çarpanını unutup limiti doğrudan f′(a) sanmak→f′(a) — k katı eksik
   • k ile çarpmak yerine bölmek→f′(a)/k

   Örnek

   f′(a)=4 ise lim(h→0) [f(a+3h)−f(a)]/h kaçtır?

   3·f′(a) = 3⋅4 = 12

4. 04

   Süreklilik–türevlenebilirlik ilişkisi (köşe noktası)

   OrtaSık çıkar

   Mutlak değerli veya köşeli bir fonksiyonun kritik noktadaki durumu sorulur: sürekli mi, türevlenebilir mi? Kritik bilgi: türev ⇒ süreklilik, ama tersi geçerli DEĞİL.

   Nasıl çözülür

   1. Önce süreklilik: soldan/sağdan limit ve fonksiyon değeri eşit mi?
   2. Sonra soldan ve sağdan türevleri ayrı ayrı hesapla.
   3. Tek taraflı türevler farklıysa köşe (sivri uç) vardır: sürekli ama türevlenemez.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 'Sürekli ise türevlenebilir' sanmak→'süreklidir ve türevlenebilir' seçeneği
   • Tek taraflı türevlerden yalnız birine bakıp karar vermek→türev varmış gibi sayısal bir eğim değeri

   Örnek

   f(x)=|x−2| fonksiyonu x=2 noktasında türevlenebilir mi?

   Süreklidir; ama f′₋(2)=−1 ≠ f′₊(2)=1 olduğundan türevlenemez (köşe)

   Sık birleştiği konular: Süreklilik

5. 05

   Parçalı fonksiyonda türevlenebilirlikten parametre bulma

   ZorSık çıkar

   İki parçalı fonksiyonun ek noktasında türevlenebilir olduğu söylenir; a, b katsayıları istenir. İKİ koşul birden kurulur: süreklilik VE türev eşitliği.

   Nasıl çözülür

   1. Süreklilik denklemi: ek noktada iki parçanın değerlerini eşitle.
   2. Türev denklemi: iki parçanın türevlerini ek noktada eşitle.
   3. İki denklemli sistemi çöz; istenen kombinasyonu (a+b, a·b …) hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yalnız süreklilik kurup türev eşitliğini atlamak→tek denklem — parametreler tek başına belirlenemez, rastgele/yanlış çift
   • Yalnız türevleri eşitleyip sürekliliği atlamak→sabit terim (b) yanlış bulunur

   Örnek

   f(x)= ax²+b (x≤1), 4x (x>1) fonksiyonu x=1'de türevlenebilir ise a·b kaçtır?

   Türev: 2a=4 ⇒ a=2; süreklilik: a+b=4 ⇒ b=2; a·b=4

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları, Süreklilik

6. 06

   Gizlenmiş tanım limiti (payda çarpanlı / iki yönlü)

   ZorSık çıkar

   Tanım limiti kılık değiştirir: paydada x²−a² gibi çarpanlı ifade ya da payda f(a+kh)−f(a−mh) gibi iki yönlü fark. Gerçek sınav zorluğu; limit tanım parçalarına ayrılır.

   Nasıl çözülür

   1. Paydayı çarpanlarına ayır; [f(x)−f(a)]/(x−a) parçasını izole et.
   2. İki yönlü farkta payı f(a) ekleyip çıkararak iki tanım limitine böl.
   3. Her parça k·f′(a) verir; katsayıları topla (f(a−mh) parçası +m·f′(a) katkısı yapar).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Payda çarpanını (x+a gibi) hesaba katmamak→kalan çarpan kadar yanlış ölçekli f′(a)
   • f(a−mh) parçasının işaretini yanlış yönetip katkıyı çıkarmak→(k−m)·f′(a) — eksik toplam

   Örnek

   f türevlenebilir, lim(x→3) [f(x)−f(3)]/(x²−9) = 2 ise f′(3) kaçtır?

   x²−9=(x−3)(x+3); limit f′(3)·1/6 = 2 ⇒ f′(3)=12

   Sık birleştiği konular: Limit Hesaplama ve Belirsizlik (0/0), Türev Alma Kuralları

7. 07

   Ortalama değişim hızı vs anlık değişim hızı

   Orta

   Bir aralıktaki ortalama değişim hızı (kesen eğimi) ile bir noktadaki anlık değişim hızı (türev, teğet eğimi) ayrımı. Genelde ikisinden biri hesaplatılır ya da karşılaştırılır.

   Nasıl çözülür

   1. Ortalama değişim hızı: [f(b)−f(a)]/(b−a) — türev YOK, sadece iki nokta.
   2. Anlık değişim hızı: f′(a) — türev alınır, nokta konur.
   3. Soruda 'aralık' geçiyorsa ortalama, 'anında/noktasında' geçiyorsa anlık istenir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Ortalama istenirken türev alıp bir uç noktada değerlendirmek→f′(a) veya f′(b) — anlık hız
   • Farkı aralık uzunluğuna bölmeyi unutmak→f(b)−f(a) — bölünmemiş fark

   Örnek

   f(x)=x²−3x fonksiyonunun [1, 4] aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

   [f(4)−f(1)]/(4−1) = [4−(−2)]/3 = 2