Paydayı Rasyonel Yapma — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Tek terimli payda (a/√b tipini √b ile genişletme)

   KolaySık çıkar

   Payda yalnız √b (veya k√b). Pay ve payda √b ile çarpılır, payda köksüz kalır. Konunun giriş sorusu; sonuç genelde katsayı sadeleşmesiyle biter.

   Nasıl çözülür

   1. Pay ve paydayı paydanın kökü ile çarp: √b⋅√b = b.
   2. Payda k√b ise yalnız √b ile çarpmak yeterlidir; k dışarıda kalır.
   3. Ortaya çıkan katsayıları sadeleştir: 12√6/6 = 2√6.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yalnız paydayı çarpmak (payı unutmak — kesrin değeri değişir)→12/6 = 2
   • √6⋅√6 = 6 yerine √36 bırakıp kökten çıkarmamak→12√6/√36 — bitmemiş, sade olmayan biçim
   • Son sadeleştirmeyi atlamak→12√6/6 — şıklarda 2√6 varken eşleştirememek

   Örnek

   12/√6 ifadesinin paydası rasyonel yapılmış en sade biçimi nedir?

   12√6/6 = 2√6

   Sık birleştiği konular: Köklü İfadeler

2. 02

   İki terimli payda: √a ± √b eşleniği

   OrtaSık çıkar

   Payda √a − √b veya √a + √b. Eşlenikle (işareti değişmiş haliyle) genişletilir; payda kareler farkından a − b olur. Konunun standart TYT sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Eşleniği yaz: √a − √b'nin eşleniği √a + √b (yalnız ortadaki işaret değişir).
   2. Pay ve paydayı eşlenikle çarp; paydada (√a−√b)(√a+√b) = a − b.
   3. Payı dağıt, katsayı sadeleşmesi varsa yap.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Paydayı kendisiyle çarpmak (eşlenik yerine aynı işaret)→paydada 9 − 2√14 gibi yine köklü ifade — çıkmaz
   • (√7−√2)(√7+√2) = √(7−2) = √5 sanmak (farkı kök içine almak)→5(√7+√2)/√5 — köklü payda sürer
   • Paydayı 7 + 2 = 9 almak (fark yerine toplam)→5(√7+√2)/9

   Örnek

   5/(√7 − √2) ifadesinin paydası rasyonel yapılmış biçimi nedir?

   5(√7+√2)/(7−2) = √7 + √2

3. 03

   İki terimli payda: √a ± c (kök + tam sayı) eşleniği

   OrtaSık çıkar

   Payda 3 + √7 gibi tam sayı ile kök karışımı. Eşlenik 3 − √7; payda c² − a (veya a − c²) olur. Tam sayının karesi alınırken kökle karıştırılırsa payda yanlış çıkar.

   Nasıl çözülür

   1. Eşleniği yaz: 3 + √7'nin eşleniği 3 − √7.
   2. Paydayı kareler farkıyla hesapla: (3+√7)(3−√7) = 3² − (√7)² = 9 − 7 = 2.
   3. Payı dağıtıp sadeleştir; payda negatif çıkarsa eksiyi paya taşı.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tam sayının karesini almamak (3 − 7 = −4 yazmak)→2(3−√7)/(−4) = (√7−3)/2
   • Kökün karesini yanlış almak ((√7)² = 49 sanmak)→payda 9 − 49 = −40
   • Eşlenikte her iki terimin işaretini değiştirmek (−3 − √7 ile çarpmak)→payda −(9−7) = −2, işareti unutulan sonuç

   Örnek

   2/(3 + √7) ifadesinin paydası rasyonel yapılmış en sade biçimi nedir?

   2(3−√7)/(9−7) = 3 − √7

4. 04

   Rasyonelleştirme sonrası değer hesabı (x = √3 + √2 iken x + 1/x)

   OrtaSık çıkar

   x köklü bir sayı olarak verilir; x + 1/x veya x − 1/x istenir. 1/x eşlenikle rasyonelleştirilince kökler ya sadeleşir ya ikiye katlanır. Özdeşliklerle birleşen sınav ayarı soru.

   Nasıl çözülür

   1. 1/x'i eşlenikle rasyonelleştir: 1/(√3+√2) = (√3−√2)/(3−2) = √3 − √2.
   2. İstenen ifadeyi topla: x + 1/x = (√3+√2) + (√3−√2) = 2√3.
   3. Payda farkı 1 olan eşlenik çiftleri (√(n+1) ± √n) bu tipin klasiğidir; fark 1 ise ters çevirmek işareti değiştirmekten ibarettir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 1/x'i rasyonelleştirmeden 'x'in tersi = kökler ters' diye 1/√3 + 1/√2 yazmak→karışık, sadeleşmeyen ifade
   • x + 1/x yerine x − 1/x hesaplamak (işlem karıştırma)→2√2
   • Eşlenik çarpımında payda 3 + 2 = 5 almak→(√3−√2)/5 üzerinden yanlış toplam

   Örnek

   x = √3 + √2 olduğuna göre x + 1/x ifadesinin değeri kaçtır?

   1/x = √3 − √2 ⇒ x + 1/x = 2√3

   Sık birleştiği konular: Köklü İfadeler

5. 05

   Eşlenikle sadeleşen kesir toplamları (teleskopik zincir)

   ZorSık çıkar

   1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + ... biçiminde zincir. Her kesir rasyonelleştirilince √(n+1) − √n olur; ara terimler birbirini götürür, yalnız uçlar kalır. Zor bloğun gözde sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Her paydanın eşleniği ile genişlet; ardışık köklerde payda hep (n+1) − n = 1'dir.
   2. Kesirleri fark biçimine çevir: 1/(√(n+1)+√n) = √(n+1) − √n.
   3. Zinciri aç: (√2−1) + (√3−√2) + (2−√3) — aradakiler sadeleşir, son terim eksi ilk terim kalır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Teleskopik sadeleşmeyi görmeyip payda eşitlemeye girişmek→içinden çıkılmaz işlem, zaman kaybı
   • Fark sırasını ters yazmak (√n − √(n+1))→−1 (doğru cevabın ters işaretlisi)
   • Uç terimleri yanlış bırakmak (ilk kesirdeki 1'i veya son köke ait tam sayıyı unutmak)→2 veya √2 − 1 gibi eksik sonuç

   Örnek

   1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + 1/(2+√3) toplamının değeri kaçtır?

   (√2−1) + (√3−√2) + (2−√3) = 2 − 1 = 1

   Sık birleştiği konular: Köklü İfadeler

6. 06

   Eşlenik farkıyla köklü sayı karşılaştırma (√7−√6 ile √6−√5)

   Zor

   Ardışık kök farklarının hangisinin büyük olduğu sorulur. Fark, eşlenik yardımıyla 1/(toplam) biçimine çevrilir; paydası küçük olan kesir büyüktür. Kavrayış ölçen zor tip.

   Nasıl çözülür

   1. Her farkı eşlenikle 1'in bölümü olarak yaz: √7 − √6 = 1/(√7+√6), √6 − √5 = 1/(√6+√5).
   2. Paydaları karşılaştır: √7+√6 > √6+√5.
   3. Payı 1 olan kesirde payda büyüdükçe kesir küçülür ⇒ √7 − √6 < √6 − √5.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Büyük köklerin farkı büyüktür sanmak (7 ve 6, 6 ve 5'ten büyük diye)→√7 − √6 daha büyük — yanlış
   • Kesirde payda büyüyünce kesrin de büyüdüğünü sanmak→ters karşılaştırma
   • Yaklaşık değerle (√7 ≈ 2,6) kaba yuvarlama yapıp farkları eşit sanmak→'eşittir' şıkkı

   Örnek

   a = √7 − √6 ve b = √6 − √5 olduğuna göre a ile b'den hangisi daha büyüktür?

   a = 1/(√7+√6), b = 1/(√6+√5); √7+√6 > √6+√5 ⇒ a < b, yani b daha büyüktür

   Sık birleştiği konular: Köklü İfadeler