çözümebak

TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Köklü İfadeler

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Köklü ifadeler, üslü sayıların kesirli üs olarak yazılmış hâlidir. Bu konuda kökü üs cinsinden tanımlar, kök kurallarını çıkarır, kök dışına çıkarma ve benzer köklü terimlerle dört işlem tekniklerini işleriz. TYT'de bu konu hem doğrudan sadeleştirme sorularında hem de üslü sayılarla birlikte sık çıkar.

1. Kök Tanımı ve Üs–Kök İlişkisi

Bir sayının n. dereceden kökü, kesirli üs ile tanımlanır:

\sqrt[n]{a}=a^{1/n},\qquad \sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}

Özel olarak karekök n=2 durumudur ve gösterilirken indis yazılmaz:

\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}=a^{1/2}

Tanım kümesi uyarısı: Karekökte (ve çift dereceli tüm köklerde) kök içi negatif olamaz. Yani \sqrt{a} ifadesinin reel sayı olması için a\ge 0 olmalıdır. Tek dereceli köklerde (\sqrt[3]{a} gibi) bu kısıt yoktur; \sqrt[3]{-8}=-2 tanımlıdır.

2. Kök Kuralları

Aşağıdaki kurallarda, çift dereceli kökler için a\ge 0,\ b\ge 0 kabul edilir:

KuralFormül
Çarpım\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}
Bölüm\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}
Kökün kökü\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}
Kökün kuvveti\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a
Üs–kök\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}

Bu kuralların tümü üs özelliklerinden gelir; örneğin çarpım kuralı a^{1/n}\cdot b^{1/n}=(ab)^{1/n} eşitliğinin kök yazımıdır.

Mutlak Değer Kuralı

Çok dikkat edilmesi gereken bir özel durum: bir ifadenin karesinin karekökü, o ifadenin mutlak değeridir.

\sqrt{a^{2}}=\lvert a\rvert

Çünkü karekök sonucu her zaman pozitif ya da sıfırdır. Örneğin \sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4=\lvert -4\rvert, ama a negatifken \sqrt{a^{2}}=a yazmak yanlış olur.

3. Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki sayıyı tam kare (genel olarak tam n. kuvvet) çarpanlarına ayırıp, bu çarpanı kök dışına alırız. a\ge 0 için:

\sqrt{a^{2}\cdot b}=a\sqrt{b}

Örneğin \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{2^{2}}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

Tersine işlem, kök içine alma: kök dışındaki çarpan, derecesi kadar kuvvet alınarak içeri sokulur:

a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}

Örneğin 5\sqrt{2}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{50}.

4. Kökte Dört İşlem

Çarpma ve bölme aynı dereceli köklerde doğrudan kök kurallarıyla yapılır: kök içleri çarpılır/bölünür.

Toplama ve çıkarma ise yalnızca benzer köklü terimler (kök derecesi ve kök içi aynı olanlar) arasında yapılır. Benzer terimlerde kök dışı katsayılar toplanır, kök kısmı aynen kalır:

2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2+5)\sqrt{3}=7\sqrt{3}

Kök içleri farklı görünen terimleri toplamadan önce her kökü mutlaka sadeleştirip benzer hâle getirmeyi dene.

\sqrt{a}+\sqrt{b} ifadesi tek bir köke birleşmez. Toplama kuralı diye bir şey yoktur; sadeleştirmeden sonra benzer terimler varsa toplanır.

Örnek
Soru

\sqrt{12} ve \sqrt{50} ifadelerini en sade biçimde yazınız.

  1. Kök içlerini tam kare çarpanlarına ayır: 12=4\cdot 3 ve 50=25\cdot 2.

  2. Tam kareleri kök dışına çıkar: \sqrt{12}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

  3. Aynı şekilde: \sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}.

Sonuç: \sqrt{12}=2\sqrt{3} ve \sqrt{50}=5\sqrt{2}.
Örnek
Soru

\sqrt{8}\cdot\sqrt{2} ve \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} işlemlerinin sonucunu bulunuz.

Aynı dereceli köklerde çarpma/bölme için kök içlerini birleştir: \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} ve \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}.

  1. Çarpımda kök içlerini birleştir: \sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{8\cdot 2}=\sqrt{16}=4.

  2. Bölümde kök içlerini birleştir: \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{18}{2}}=\sqrt{9}=3.

Sonuç: \sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=4 ve \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=3.
Örnek
Soru

\sqrt{12}+\sqrt{27} toplamını hesaplayınız.

Köklü terimleri doğrudan toplayamazsın. Önce her kökü sadeleştir, ardından benzer (kök içi aynı) terimleri topla.

  1. Her kökü sadeleştir: \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.

  2. Diğer kökü sadeleştir: \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}.

  3. Artık ikisi de \sqrt{3} köklü, yani benzer terim. Katsayıları topla: 2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}.

Sonuç: \sqrt{12}+\sqrt{27}=5\sqrt{3}.
Örnek
Soru

\sqrt[3]{16} ifadesini en sade biçimde yazınız.

Küp kökte kök içini tam küp çarpanına ayır: 8=2^{3} bir tam küptür.

  1. Kök içini tam küp çarpanına ayır: 16=8\cdot 2.

  2. Tam küpü kök dışına çıkar: \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.

Sonuç: \sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}.
Örnek
Soru

a\ge 0 olmak üzere \sqrt[4]{a^{2}} ifadesini sadeleştirin ve \left(\sqrt{5}\right)^{2} değerini bulun.

  1. Üs–kök ilişkisini kullan: \sqrt[4]{a^{2}}=a^{2/4}.

  2. Üssü sadeleştir: a^{2/4}=a^{1/2}=\sqrt{a}.

  3. Kökün karesi kök içini verir: \left(\sqrt{5}\right)^{2}=5.

Sonuç: \sqrt[4]{a^{2}}=\sqrt{a} ve \left(\sqrt{5}\right)^{2}=5.
Örnek
Soru

\sqrt{(-4)^{2}} ifadesinin değerini bulunuz ve sonucu \sqrt{a^{2}}=\lvert a\rvert kuralıyla açıklayınız.

  1. Önce kök içindeki kareyi hesapla: (-4)^{2}=16.

  2. Karekökü al: \sqrt{16}=4.

  3. Kuralla doğrula: \sqrt{(-4)^{2}}=\lvert -4\rvert=4. Burada \sqrt{(-4)^{2}}=-4 demek yanlış olurdu, çünkü karekök negatif olamaz.

Sonuç: \sqrt{(-4)^{2}}=4=\lvert -4\rvert.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\sqrt{75}-\sqrt{48}+\sqrt{12} işleminin sonucu kaçtır?

  1. Her kökü sadeleştir: \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}.

  2. İkincisi: \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}.

  3. Üçüncüsü: \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.

  4. Hepsi \sqrt{3} köklü, katsayıları işlemle birleştir: 5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(5-4+2)\sqrt{3}=3\sqrt{3}.

Sonuç: 3\sqrt{3}
Örnek
Soru

\dfrac{6}{\sqrt{3}} ifadesinin paydasını rasyonel yaparak en sade biçimini bulunuz.

  1. Paydadaki kökü yok etmek için pay ve paydayı \sqrt{3} ile çarp: \dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}.

  2. Paydadaki kök kareye dönüştü: \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.

  3. Katsayıyı sadeleştir: \dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.

Sonuç: 2\sqrt{3}
Örnek
Soru

\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2} çarpımını tek bir kök altında yazınız.

  1. Kökleri kesirli üs ile yaz: \sqrt{2}=2^{1/2} ve \sqrt[3]{2}=2^{1/3}.

  2. Aynı tabanlı üsleri topla: 2^{1/2}\cdot 2^{1/3}=2^{\,1/2+1/3}.

  3. Üssü hesapla: \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3+2}{6}=\dfrac{5}{6}, yani 2^{5/6}.

  4. Üs–kök ilişkisiyle yaz: 2^{5/6}=\sqrt[6]{2^{5}}=\sqrt[6]{32}.

Sonuç: \sqrt[6]{32}
Örnek
Soru

\sqrt{3\sqrt{3}} ifadesini 3'ün bir kuvveti olarak yazınız.

  1. İç kısmı üs cinsinden yaz: 3\sqrt{3}=3^{1}\cdot 3^{1/2}=3^{3/2}.

  2. Dış karekökü uygula: \sqrt{3^{3/2}}=\left(3^{3/2}\right)^{1/2}=3^{3/4}.

  3. İstenirse kök yazımı: 3^{3/4}=\sqrt[4]{3^{3}}=\sqrt[4]{27}.

Sonuç: 3^{3/4} (yani \sqrt[4]{27})
Örnek
Soru

a=2\sqrt{3} ve b=3\sqrt{2} olduğuna göre, a ile b sayılarından hangisi daha büyüktür?

  1. Karşılaştırmak için her iki sayıyı kök içine al (ikisi de pozitif): a=2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\cdot 3}=\sqrt{12}.

  2. Diğeri: b=3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}\cdot 2}=\sqrt{18}.

  3. Artık aynı türde kök; kök içlerini karşılaştır: 12 < 18 olduğundan \sqrt{12} < \sqrt{18}.

  4. Demek ki a < b, yani b daha büyüktür.

Sonuç: b=3\sqrt{2} daha büyüktür.
Örnek
Soru

\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

  1. Paydanın eşleniği \sqrt{5}+\sqrt{3}'tür; pay ve paydayı bununla çarp: \dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}.

  2. Paydada (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} özdeşliği: \left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}=5-3=2.

  3. Sonucu yaz: \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}.

Sonuç: \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}
Örnek
Soru

x=\sqrt{7}+\sqrt{5} olduğuna göre, x^{2} ifadesinin değeri kaçtır?

  1. Kare alma özdeşliğini uygula: (\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}=(\sqrt{7})^{2}+2\sqrt{7}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}.

  2. Karekökün karelerini al: (\sqrt{7})^{2}=7 ve (\sqrt{5})^{2}=5.

  3. Orta terimi birleştir: 2\sqrt{7}\sqrt{5}=2\sqrt{35}.

  4. Topla: 7+5+2\sqrt{35}=12+2\sqrt{35}.

Sonuç: 12+2\sqrt{35}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Kenar uzunlukları sırasıyla 4\sqrt{2} cm ve 5\sqrt{3} cm olan iki karenin alanları A ve B olduğuna göre B-A kaç cm²'dir?

A) 37 · B) 41 · C) 43 · D) 45 · E) 47

  1. Karenin alanı kenarın karesidir: A=\left(4\sqrt{2}\right)^{2}=16\cdot 2=32.

  2. B=\left(5\sqrt{3}\right)^{2}=25\cdot 3=75.

  3. Fark: B-A=75-32=43.

Sonuç: C) 43
Örnek
Soru

\dfrac{\sqrt{48}-\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}} ifadesinin değeri kaçtır?

A) 3 · B) 4 · C) 5 · D) 6 · E) 7

  1. Kökleri sadeleştir: \sqrt{48}=4\sqrt{3}, \sqrt{12}=2\sqrt{3}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}.

  2. Payı topla: 4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}.

  3. Paydaya böl: \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=5.

Sonuç: C) 5
Örnek
Soru

a=2\sqrt{5} ve b=3\sqrt{2} olduğuna göre a\cdot b ifadesinin değeri kaçtır?

A) 5\sqrt{10} · B) 6\sqrt{10} · C) 10\sqrt{6} · D) 12\sqrt{5} · E) 15\sqrt{2}

  1. Çarpım kuralı: \sqrt{m}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{mn}.

  2. Katsayıları ve kökleri çarp: a\cdot b=2\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{10}.

Sonuç: B) 6\sqrt{10}
Örnek
Soru

Bir dik üçgenin dik kenarları \sqrt{18} cm ve \sqrt{32} cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 6 · B) 12 · C) 18 · D) 24 · E) 36

Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır. Kök içlerini çarpmak için \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab} kullan.

  1. Dik kenarları çarp: \sqrt{18}\cdot\sqrt{32}=\sqrt{18\cdot 32}=\sqrt{576}=24.

  2. Alan, çarpımın yarısıdır: \dfrac{24}{2}=12 cm².

  3. Çeldirici D (24): yarıya bölmeyi unutmak bu yanlışa götürür.

Sonuç: B) 12
Örnek
Soru

Bir kare şeklindeki seranın alanı 48 m²'dir. Bu seranın bir kenar uzunluğu, en sade köklü biçimde kaç metredir?

A) 4\sqrt{2} · B) 2\sqrt{12} · C) 4\sqrt{3} · D) 6\sqrt{2} · E) 3\sqrt{6}

Karenin kenarı, alanın kareköküdür. \sqrt{48}'i en büyük tam kare çarpanına ayırarak sadeleştir.

  1. Kenar, alanın kareköküdür: \sqrt{48}.

  2. En büyük tam kare çarpanını ayır: 48=16\cdot 3, yani \sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}.

  3. Çeldirici B (2\sqrt{12}): 48=4\cdot 12 ile durup tam sadeleştirmemek bu yanlıştır; 2\sqrt{12}=4\sqrt{3} olsa da en sade biçim değildir.

Sonuç: C) 4\sqrt{3}
Örnek
Soru

\sqrt{2}\approx 1{,}41 ve \sqrt{5}\approx 2{,}24 olarak veriliyor. Buna göre \sqrt{2}\cdot\sqrt{10} ifadesinin yaklaşık değeri aşağıdakilerden hangisine en yakındır?

A) 3{,}2 · B) 4{,}5 · C) 5{,}0 · D) 6{,}3 · E) 7{,}1

Önce kök içlerini çarparak ifadeyi \sqrt{2} ve \sqrt{5} türünden köklere ayır: \sqrt{20}=2\sqrt{5}.

  1. Kök içlerini çarp: \sqrt{2}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{20}.

  2. Sadeleştir: \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.

  3. Yaklaşık değeri yerine koy: 2\cdot 2{,}24=4{,}48\approx 4{,}5.

  4. Çeldirici D (6{,}3): \sqrt{20} yerine \sqrt{2}\cdot\sqrt{10}'u 1{,}41\cdot\sqrt{10} gibi yanlış birleştirmekten doğar.

Sonuç: B) 4{,}5

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular