TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Köklü İfadeler

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Köklü ifadeler, üslü sayıların kesirli üs olarak yazılmış hâlidir. Bu konuda kökü üs cinsinden tanımlar, kök kurallarını çıkarır, kök dışına çıkarma ve benzer köklü terimlerle dört işlem tekniklerini işleriz. TYT'de bu konu hem doğrudan sadeleştirme sorularında hem de üslü sayılarla birlikte sık çıkar.

1. Kök Tanımı ve Üs–Kök İlişkisi

Bir sayının $n$ . dereceden kökü, kesirli üs ile tanımlanır:

$n a = a^{1/ n}, n a^{m} = a^{m / n}$

Özel olarak karekök $n = 2$ durumudur ve gösterilirken indis yazılmaz:

$a = 2 a = a^{1/2}$

Tanım kümesi uyarısı: Karekökte (ve çift dereceli tüm köklerde) kök içi negatif olamaz. Yani $a$ ifadesinin reel sayı olması için $a \geq 0$ olmalıdır. Tek dereceli köklerde ( $3 a$ gibi) bu kısıt yoktur; $3 - 8 = - 2$ tanımlıdır.

2. Kök Kuralları

Aşağıdaki kurallarda, çift dereceli kökler için $a \geq 0, b \geq 0$ kabul edilir:

Kural	Formül
Çarpım	$n a \cdot n b = n ab$
Bölüm	$\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}$
Kökün kökü	$m n a = mn a$
Kökün kuvveti	$(a)^{2} = a$
Üs–kök	$n a^{m} = a^{m / n}$

Bu kuralların tümü üs özelliklerinden gelir; örneğin çarpım kuralı $a^{1/ n} \cdot b^{1/ n} = (ab)^{1/ n}$ eşitliğinin kök yazımıdır.

Mutlak Değer Kuralı

Çok dikkat edilmesi gereken bir özel durum: bir ifadenin karesinin karekökü, o ifadenin mutlak değeridir.

$a^{2} = ∣ a ∣$

Çünkü karekök sonucu her zaman pozitif ya da sıfırdır. Örneğin $(- 4)^{2} = 16 = 4 = ∣ - 4 ∣$ , ama $a$ negatifken $a^{2} = a$ yazmak yanlış olur.

3. Kök Dışına Çıkarma

Kök içindeki sayıyı tam kare (genel olarak tam $n$ . kuvvet) çarpanlarına ayırıp, bu çarpanı kök dışına alırız. $a \geq 0$ için:

$a^{2} \cdot b = a b$

Örneğin $12 = 4 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3 = 23$ .

Tersine işlem, kök içine alma: kök dışındaki çarpan, derecesi kadar kuvvet alınarak içeri sokulur:

$a b = a^{2} b$

Örneğin $52 = 25 \cdot 2 = 50$ .

4. Kökte Dört İşlem

Çarpma ve bölme aynı dereceli köklerde doğrudan kök kurallarıyla yapılır: kök içleri çarpılır/bölünür.

Toplama ve çıkarma ise yalnızca benzer köklü terimler (kök derecesi ve kök içi aynı olanlar) arasında yapılır. Benzer terimlerde kök dışı katsayılar toplanır, kök kısmı aynen kalır:

$23 + 53 = (2 + 5) 3 = 73$

Kök içleri farklı görünen terimleri toplamadan önce her kökü mutlaka sadeleştirip benzer hâle getirmeyi dene.

$a + b$ ifadesi tek bir köke birleşmez. Toplama kuralı diye bir şey yoktur; sadeleştirmeden sonra benzer terimler varsa toplanır.

Örnek

Soru

$12$ ve $50$ ifadelerini en sade biçimde yazınız.

Kök içlerini tam kare çarpanlarına ayır: $12 = 4 \cdot 3$ ve $50 = 25 \cdot 2$ .
Tam kareleri kök dışına çıkar: $12 = 4 \cdot 3 = 23$ .
Aynı şekilde: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ .

Sonuç:

12 = 23

50 = 52

Örnek

Soru

$8 \cdot 2$ ve $\frac{18}{2}$ işlemlerinin sonucunu bulunuz.

Aynı dereceli köklerde çarpma/bölme için kök içlerini birleştir: $a \cdot b = ab$ ve $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ .

Çarpımda kök içlerini birleştir: $8 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16 = 4$ .
Bölümde kök içlerini birleştir: $\frac{18}{2} = \frac{18}{2} = 9 = 3$ .

Sonuç:

8 \cdot 2 = 4

\frac{18}{2} = 3

Örnek

Soru

$12 + 27$ toplamını hesaplayınız.

Köklü terimleri doğrudan toplayamazsın. Önce her kökü sadeleştir, ardından benzer (kök içi aynı) terimleri topla.

Her kökü sadeleştir: $12 = 4 \cdot 3 = 23$ .
Diğer kökü sadeleştir: $27 = 9 \cdot 3 = 33$ .
Artık ikisi de $3$ köklü, yani benzer terim. Katsayıları topla: $23 + 33 = 53$ .

Sonuç:

12 + 27 = 53

Örnek

Soru

$316$ ifadesini en sade biçimde yazınız.

Küp kökte kök içini tam küp çarpanına ayır: $8 = 2^{3}$ bir tam küptür.

Kök içini tam küp çarpanına ayır: $16 = 8 \cdot 2$ .
Tam küpü kök dışına çıkar: $316 = 38 \cdot 32 = 232$ .

Sonuç:

316 = 232

Örnek

Soru

$a \geq 0$ olmak üzere $4 a^{2}$ ifadesini sadeleştirin ve $(5)^{2}$ değerini bulun.

Üs–kök ilişkisini kullan: $4 a^{2} = a^{2/4}$ .
Üssü sadeleştir: $a^{2/4} = a^{1/2} = a$ .
Kökün karesi kök içini verir: $(5)^{2} = 5$ .

Sonuç:

4 a^{2} = a

(5)^{2} = 5

Örnek

Soru

$(- 4)^{2}$ ifadesinin değerini bulunuz ve sonucu $a^{2} = ∣ a ∣$ kuralıyla açıklayınız.

Önce kök içindeki kareyi hesapla: $(- 4)^{2} = 16$ .
Karekökü al: $16 = 4$ .
Kuralla doğrula: $(- 4)^{2} = ∣ - 4 ∣ = 4$ . Burada $(- 4)^{2} = - 4$ demek yanlış olurdu, çünkü karekök negatif olamaz.

Sonuç:

(- 4)^{2} = 4 = ∣ - 4 ∣

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$75 - 48 + 12$ işleminin sonucu kaçtır?

Her kökü sadeleştir: $75 = 25 \cdot 3 = 53$ .
İkincisi: $48 = 16 \cdot 3 = 43$ .
Üçüncüsü: $12 = 4 \cdot 3 = 23$ .
Hepsi $3$ köklü, katsayıları işlemle birleştir: $53 - 43 + 23 = (5 - 4 + 2) 3 = 33$ .

Sonuç:

33

Örnek

Soru

$\frac{6}{3}$ ifadesinin paydasını rasyonel yaparak en sade biçimini bulunuz.

Paydadaki kökü yok etmek için pay ve paydayı $3$ ile çarp: $\frac{6}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{6 3}{3}$ .
Paydadaki kök kareye dönüştü: $3 \cdot 3 = 3$ .
Katsayıyı sadeleştir: $\frac{6 3}{3} = 23$ .

Sonuç:

23

Örnek

Soru

$2 \cdot 32$ çarpımını tek bir kök altında yazınız.

Kökleri kesirli üs ile yaz: $2 = 2^{1/2}$ ve $32 = 2^{1/3}$ .
Aynı tabanlı üsleri topla: $2^{1/2} \cdot 2^{1/3} = 2^{1/2 + 1/3}$ .
Üssü hesapla: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$ , yani $2^{5/6}$ .
Üs–kök ilişkisiyle yaz: $2^{5/6} = 6 2^{5} = 632$ .

Sonuç:

632

Örnek

Soru

$33$ ifadesini $3$ 'ün bir kuvveti olarak yazınız.

İç kısmı üs cinsinden yaz: $33 = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}$ .
Dış karekökü uygula: $3^{3/2} = (3^{3/2})^{1/2} = 3^{3/4}$ .
İstenirse kök yazımı: $3^{3/4} = 4 3^{3} = 427$ .

Sonuç:

3^{3/4}

(yani

427

)

Örnek

Soru

$a = 23$ ve $b = 32$ olduğuna göre, $a$ ile $b$ sayılarından hangisi daha büyüktür?

Karşılaştırmak için her iki sayıyı kök içine al (ikisi de pozitif): $a = 23 = 2^{2} \cdot 3 = 12$ .
Diğeri: $b = 32 = 3^{2} \cdot 2 = 18$ .
Artık aynı türde kök; kök içlerini karşılaştır: $12 < 18$ olduğundan $12 < 18$ .
Demek ki $a < b$ , yani $b$ daha büyüktür.

Sonuç:

b = 32

daha büyüktür.

Örnek

Soru

$\frac{1}{5 - 3}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Paydanın eşleniği $5 + 3$ 'tür; pay ve paydayı bununla çarp: $\frac{1}{5 - 3} \cdot \frac{5 + 3}{5 + 3}$ .
Paydada $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ özdeşliği: $(5)^{2} - (3)^{2} = 5 - 3 = 2$ .
Sonucu yaz: $\frac{5 + 3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{5 + 3}{2}

Örnek

Soru

$x = 7 + 5$ olduğuna göre, $x^{2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

Kare alma özdeşliğini uygula: $(7 + 5)^{2} = (7)^{2} + 275 + (5)^{2}$ .
Karekökün karelerini al: $(7)^{2} = 7$ ve $(5)^{2} = 5$ .
Orta terimi birleştir: $275 = 235$ .
Topla: $7 + 5 + 235 = 12 + 235$ .

Sonuç:

12 + 235

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Kök dışına çıkarma (kısmi kök: √(a²b) = a√b): En büyük tam kareyi bulamayıp yarım sadeleştirmek (√72 = 2√18 bırakmak) 2√18 — sade olmayan, şıklarla eşleşmeyen biçim
Köklü toplama-çıkarma (benzer kökleri birleştirme): Kök içlerini doğrudan toplamak (√48 + √27 − √75 = √0 = 0 sanmak) 0
Kök içine alma ve köklü büyüklük karşılaştırma (a√b = √(a²b)): Katsayıyı karesini almadan içeri sokmak (3√5 = √15 yazmak) √15 ile √10 karşılaştırması — ters sıralama
Köklü çarpma-bölme (√a⋅√b = √(ab) birleştirme): Kök içlerini toplamak (√6⋅√8 = √14 yazmak) √(14/3) — şıklarda olmayan ifade
Kökün ardışık tam sayılar arasına yerleştirilmesi (√50 tipi): Kök içini 2'ye bölerek tahmin etmek (√90 ≈ 45 sanmak) 45 civarı — tamamen yanlış aralık
√(x²) = |x| tuzağı (işaretli harfli ifadeler): √(9x²) = 3x yazmak (mutlak değeri atlamak) 3x − 2x = x

Soru 1Orta

Kenar uzunlukları sırasıyla

42

cm ve

53

cm olan iki karenin alanları

A

B

olduğuna göre

B - A

kaç cm²'dir?

Karenin alanı kenarın karesidir: $A = (42)^{2} = 16 \cdot 2 = 32$ .
$B = (53)^{2} = 25 \cdot 3 = 75$ .
Fark: $B - A = 75 - 32 = 43$ .

Sonuç:

43

Soru 2Orta

\frac{48 - 12 + 27}{3}

ifadesinin değeri kaçtır?

Kökleri sadeleştir: $48 = 43$ , $12 = 23$ , $27 = 33$ .
Payı topla: $43 - 23 + 33 = 53$ .
Paydaya böl: $\frac{5 3}{3} = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 3Kolay

a = 25

b = 32

olduğuna göre

a \cdot b

ifadesinin değeri kaçtır?

Çarpım kuralı: $m \cdot n = mn$ .
Katsayıları ve kökleri çarp: $a \cdot b = 25 \cdot 32 = 610$ .

Sonuç:

610

Soru 4Orta

Bir dik üçgenin dik kenarları

18

cm ve

32

cm'dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Dik kenarları çarp: $18 \cdot 32 = 18 \cdot 32 = 576 = 24$ .
Alan, çarpımın yarısıdır: $\frac{24}{2} = 12$ cm².
Çeldirici D ( $24$ ): yarıya bölmeyi unutmak bu yanlışa götürür.

Sonuç:

12

Soru 5Orta

Bir kare şeklindeki seranın alanı

48

m²'dir. Bu seranın bir kenar uzunluğu, en sade köklü biçimde kaç metredir?

Kenar, alanın kareköküdür: $48$ .
En büyük tam kare çarpanını ayır: $48 = 16 \cdot 3$ , yani $48 = 16 \cdot 3 = 43$ .
Çeldirici B ( $212$ ): $48 = 4 \cdot 12$ ile durup tam sadeleştirmemek bu yanlıştır; $212 = 43$ olsa da en sade biçim değildir.

Sonuç:

43

Soru 6Zor

2 \approx 1, 41

5 \approx 2, 24

olarak veriliyor. Buna göre

2 \cdot 10

ifadesinin yaklaşık değeri aşağıdakilerden hangisine en yakındır?

Kök içlerini çarp: $2 \cdot 10 = 20$ .
Sadeleştir: $20 = 4 \cdot 5 = 25$ .
Yaklaşık değeri yerine koy: $2 \cdot 2, 24 = 4, 48 \approx 4, 5$ .
Çeldirici D ( $6, 3$ ): $20$ yerine $2 \cdot 10$ 'u $1, 41 \cdot 10$ gibi yanlış birleştirmekten doğar.

Sonuç:

4, 5

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$a + b = a + b$ sanmak. Yanlış. Örnek: $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ , oysa $9 + 16 = 25 = 5$ . İkisi eşit değil.
$a^{2} = a$ yazmak. Doğrusu $a^{2} = ∣ a ∣$ 'dir; $a$ negatif olabileceğinden mutlak değer şarttır.
Benzer olmayan kökleri toplamak. $23 + 52$ tek bir köke birleşmez; kök içleri farklı olduğu için bu toplam sadeleşmeden kalır.
Sadeleştirmeden toplamaya kalkmak. $12 + 27$ terimleri sadeleştirilince benzer olur; sadeleştirmeden "benzemiyor" deyip bırakmak hatadır.

Sınav İpucu

Kökü sadeleştirirken kök içini en büyük tam kare çarpanına ayır: $72 = 36 \cdot 2 = 62$ . Küçük çarpanla başlarsan (ör. $4 \cdot 18$ ) birkaç adım daha uğraşırsın.
Köklü toplam/çıkarma sorularında önce her kökü ayrı ayrı sadeleştir, sonra benzer terimleri grupla. Çoğu TYT sorusu sadeleştirme sonrası tek terime iner.
$a^{2}$ tipi ifadelerde, $a$ 'nın işareti belirsizse cevabı mutlak değerle ver; bu, ÖSYM'nin sık kontrol ettiği bir ayrıntıdır.
Payda kök varsa (ör. $\frac{1}{2}$ ) ifadeyi paydayı rasyonel yaparak sadeleştirme ayrı bir teknik gerektirir; o konu ilgili derste ayrıntılı işlenir.

1. Kök Tanımı ve Üs–Kök İlişkisi

2. Kök Kuralları

Mutlak Değer Kuralı

3. Kök Dışına Çıkarma

4. Kökte Dört İşlem

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular