TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Paydayı Rasyonel Yapma

~7 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Paydada kök bulunan kesirler, hem sadeleştirme hem de karşılaştırma için elverişsizdir. Paydayı rasyonel yapma, kesrin değerini değiştirmeden paydadaki kökü kaldırma işlemidir. TYT'de köklü ifadelerin sadeleştirilmesinde ve cevap şıklarının standart biçime getirilmesinde sürekli karşına çıkar. Bu konuda tek terimli ve iki terimli (eşlenikli) paydaların ikisini de refleks hâline getireceğiz.

1. Temel Fikir

Bir kesrin pay ve paydası aynı (sıfırdan farklı) ifadeyle çarpılırsa kesrin değeri değişmez:

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}\qquad (k\neq 0)$

Amacımız $k$ 'yı öyle seçmektir ki payda köksüz (rasyonel) hâle gelsin. Burada işimize yarayan iki temel özdeşlik şudur:

$\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=b\qquad\text{ve}\qquad (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$

2. Tek Terimli Payda

Payda yalnızca $\sqrt{b}$ biçimindeyse, pay ve paydayı $\sqrt{b}$ ile çarparız. Çünkü $\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=b$ olur ve payda köksüz kalır:

$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$

Püf nokta: Paydayı kökten kurtarmak için onu kendisiyle çarpman yeterli. Payı da aynı kökle çarpmayı asla unutma; yoksa kesrin değeri değişir.

3. İki Terimli Payda (Eşlenik)

Payda $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ya da $\sqrt{a}+c$ gibi iki terimliyse, ifadeyi kendisiyle çarpmak kökü kaldırmaz; aksine yeni kökler doğurur. Bunun yerine eşlenik ile çarparız.

Eşlenik, ifadenin iki terimi arasındaki işareti değiştirerek elde edilir:

İfade	Eşleniği
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$	$\sqrt{a}-\sqrt{b}$
$\sqrt{a}-\sqrt{b}$	$\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{a}+c$	$\sqrt{a}-c$

İki kareler farkı özdeşliği sayesinde sonuç köksüz olur:

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b\qquad (\sqrt{a}-c)(\sqrt{a}+c)=a-c^{2}$

Yani paydayı eşleniğiyle çarptığında payda daima $a-b$ gibi rasyonel bir sayıya iner.

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Payda tek terimli ( $\sqrt{2}$ ) olduğundan pay ve paydayı $\sqrt{2}$ ile çarp.
Çarpımı yaz: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$ .
Paydayı sadeleştir: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ .

Sonuç:

\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

Örnek

Soru

$\dfrac{6}{\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp sonucu sadeleştiriniz.

Pay ve paydayı $\sqrt{3}$ ile çarp: $\dfrac{6}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ .
Pay ve paydadaki $3$ 'leri sadeleştir: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp en sade biçimde yazınız.

Tek terimli paydadır; $\sqrt{6}$ ile çarp. Sonra pay'daki kökü $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ olarak çarpanlarına ayır.

Pay ve paydayı $\sqrt{6}$ ile çarp: $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{12}}{6}$ .
Pay'daki kökü sadeleştir: $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ , yani $\dfrac{2\sqrt{3}}{6}$ .
Pay ve paydayı $2$ ile sadeleştir: $\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Payda iki terimli; eşleniği $\sqrt{3}+1$ ile çarp. Payda $(\sqrt{3})^{2}-1^{2}$ olacak.

Paydanın eşleniği $\sqrt{3}+1$ 'dir. Pay ve paydayı bununla çarp.
Çarpımı kur: $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$ .
Paydayı kareler farkıyla hesapla: $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$ .

Sonuç:

\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}

Örnek

Soru

$\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp sadeleştiriniz.

Paydanın eşleniği $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ 'tür. Pay ve paydayı bununla çarp.
Çarpımı kur: $\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$ .
Paydayı hesapla: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3=2$ .
Pay ve paydadaki $2$ 'leri sadeleştir: $\dfrac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Eşlenik $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ ile çarp. Bu durumda pay $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}$ olur; tam kare açılımını $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ile aç.

Paydanın eşleniği $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 'dir. Pay ve paydayı bununla çarp.
Pay tam kare olur: $(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}=5+2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}+2=7+2\sqrt{10}$ .
Payda kareler farkı olur: $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=5-2=3$ .

Sonuç:

\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{7+2\sqrt{10}}{3}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp sonucu sadeleştiriniz.

Pay ve paydayı $\sqrt{5}$ ile çarp: $\dfrac{10}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}$ .
Pay ve paydadaki $5$ 'leri sadeleştir: $\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$ .

Sonuç:

\dfrac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp en sade biçimde yazınız.

Pay ve paydayı $\sqrt{15}$ ile çarp: $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{45}}{15}$ .
Pay'daki kökü sadeleştir: $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$ , yani $\dfrac{3\sqrt{5}}{15}$ .
Pay ve paydayı $3$ ile sadeleştir: $\dfrac{3\sqrt{5}}{15}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .

Sonuç:

\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}

Örnek

Soru

$\dfrac{3}{2\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Payda $2\sqrt{2}$ olsa da köklü kısım yalnızca $\sqrt{2}$ 'dir; pay ve paydayı $\sqrt{2}$ ile çarpman yeterli.

Pay ve paydayı $\sqrt{2}$ ile çarp: $\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2\cdot 2}$ .
Paydayı hesapla: $2\cdot 2=4$ , yani $\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ .

Sonuç:

\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

Örnek

Soru

$\dfrac{4}{3-\sqrt{5}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp sadeleştiriniz.

Payda iki terimli; eşleniği $3+\sqrt{5}$ ile çarp. Payda $3^{2}-(\sqrt{5})^{2}$ olacak.

Paydanın eşleniği $3+\sqrt{5}$ 'tir. Pay ve paydayı bununla çarp: $\dfrac{4}{3-\sqrt{5}}\cdot\dfrac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\dfrac{4(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$ .
Paydayı kareler farkıyla hesapla: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$ .
Pay ve paydadaki $4$ 'leri sadeleştir: $\dfrac{4(3+\sqrt{5})}{4}=3+\sqrt{5}$ .

Sonuç:

\dfrac{4}{3-\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Paydanın eşleniği $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ 'dir. Pay ve paydayı bununla çarp: $\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})}$ .
Payı dağıt: $\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}-\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}=7-\sqrt{14}$ .
Paydayı kareler farkıyla hesapla: $(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})=7-2=5$ .

Sonuç:

\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\dfrac{7-\sqrt{14}}{5}

Örnek

Soru

$\dfrac{6}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapıp sadeleştiriniz.

Paydanın eşleniği $\sqrt{6}+\sqrt{3}$ 'tür. Pay ve paydayı bununla çarp: $\dfrac{6}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\dfrac{6(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})}$ .
Paydayı hesapla: $(\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})=6-3=3$ .
Pay ve paydayı $3$ ile sadeleştir: $\dfrac{6(\sqrt{6}+\sqrt{3})}{3}=2(\sqrt{6}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}+2\sqrt{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{6}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}=2\sqrt{6}+2\sqrt{3}

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ toplamının değerini bulunuz.

Her iki kesrin de paydasını ayrı ayrı eşleniğiyle rasyonel yap. İkisinin de paydası $3-2=1$ olacak.

Birinci kesri eşlenikle rasyonel yap: $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ .
İkinci kesri eşlenikle rasyonel yap: $\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ .
İki sonucu topla: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$ .

Sonuç:

\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=2\sqrt{3}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Paydası rasyonel yapıldığında $\dfrac{4}{\sqrt{2}-1}$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) $2\sqrt{2}-2$ · B) $4\sqrt{2}-4$ · C) $4\sqrt{2}+4$ · D) $2\sqrt{2}+2$ · E) $8$

Pay ve paydayı eşleniği $\sqrt{2}+1$ ile çarp: $\dfrac{4}{\sqrt{2}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{4(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}$ .
Payda: $2-1=1$ .
Sonuç: $4(\sqrt{2}+1)=4\sqrt{2}+4$ .

Sonuç: C)

4\sqrt{2}+4

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) $\sqrt{2}$ · B) $2$ · C) $2\sqrt{2}$ · D) $3$ · E) $4$

Birinci kesri eşleniğiyle rasyonel yap: $\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$ .
İkinci kesri eşleniğiyle rasyonel yap: $\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ .
Topla: $(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$ .

Sonuç: C)

2\sqrt{2}

Örnek

Soru

Kenar uzunluğu $\sqrt{18}$ cm olan bir karenin köşegen uzunluğu, paydası rasyonel yapılmış biçimde kaç cm'dir?

A) $2\sqrt{2}$ · B) $3\sqrt{2}$ · C) $6$ · D) $3\sqrt{3}$ · E) $6\sqrt{2}$

Önce kenarı sadeleştir: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ . Karenin köşegeni kenar $\times\sqrt{2}$ formülüyle bulunur.

Kenarı sadeleştir: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$ cm.
Köşegen: $3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot 2=6$ cm.
Sonuç zaten rasyonel; ek işlem gerekmez.

Sonuç: C)

6

Örnek

Soru

Bir koşucu, uzunluğu $\sqrt{8}$ km olan bir parkuru her gün koşuyor. Koştuğu mesafe paydası rasyonel biçimde $\dfrac{16}{\sqrt{8}}$ km olarak da yazılabiliyor. Buna göre bu iki ifade arasındaki ilişki için $\dfrac{16}{\sqrt{8}}$ ifadesinin sadeleştirilmiş değeri kaçtır?

A) $2\sqrt{2}$ · B) $4\sqrt{2}$ · C) $4$ · D) $8$ · E) $2$

Pay ve paydayı $\sqrt{8}$ ile çarp; sonra $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ sadeleştirmesini kullan.

Pay ve paydayı $\sqrt{8}$ ile çarp: $\dfrac{16}{\sqrt{8}}\cdot\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{16\sqrt{8}}{8}=2\sqrt{8}$ .
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ olduğundan: $2\sqrt{8}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ .
Çeldirici A ( $2\sqrt{2}$ ): $\sqrt{8}$ sadeleştirmesi unutulup $2\sqrt{8}$ 'de durulursa katsayı hatası oluşur.

Sonuç: B)

4\sqrt{2}

Örnek

Soru

$\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ ifadesi paydası rasyonel yapıldığında $a+b\sqrt{3}$ biçiminde yazılıyor. Buna göre $a+b$ toplamı kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

Eşlenik $\sqrt{3}+1$ ile çarp; pay tam kare olur. Sonucu $a+b\sqrt{3}$ biçimine getirip katsayıları belirle.

Pay ve paydayı eşleniği $\sqrt{3}+1$ ile çarp: $\dfrac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$ .
Payı aç: $(\sqrt{3}+1)^{2}=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3}$ .
Paydayı hesapla: $(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3-1=2$ .
Sadeleştir: $\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$ , yani $a=2$ , $b=1$ .
Toplam: $a+b=3$ .

Sonuç: C)

3

Örnek

Soru

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\sqrt{3}-1$ · B) $\sqrt{3}+1$ · C) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ · D) $1$ · E) $\sqrt{2}$

Her kesri kendi eşleniğiyle rasyonel yap; her iki paydanın da $-1$ 'e ineceğine dikkat et. Sonra terimleri toplarken sadeleşenleri gör.

Birinci kesri eşleniği $\sqrt{2}-1$ ile çarp; payda $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$ olur: $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1$ .
İkinci kesir: $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ .
Topla: $(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=\sqrt{3}-1$ . Ortadaki $\sqrt{2}$ terimleri birbirini götürür.
Çeldirici C ( $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ): yalnızca ikinci kesir hesaplanıp birinci unutulursa oluşur.

Sonuç: A)

\sqrt{3}-1

Sık Yapılan Hatalar

Yalnız payı veya yalnız paydayı çarpmak: Eşlenikle (ya da $\sqrt{b}$ ile) çarparken hem pay hem payda aynı ifadeyle çarpılmalıdır. Yalnızca birini çarparsan kesrin değeri değişir.
Eşleniği yanlış seçmek: Eşlenikte işaret değişir. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ifadesinin eşleniği $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ 'tür; aynı işaretle ( $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ile) çarpmak payda kökünü kaldırmaz.
Paydadaki özdeşliği yanlış hesaplamak: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ 'dir, $\sqrt{a-b}$ değil. Sonuç kök içine alınmaz.
Sonucu sadeleştirmeyi unutmak: $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ gibi ifadelerde pay ve payda ortak çarpanını sadeleştirip $2\sqrt{3}$ yazmak gerekir.

Sınav İpucu

Tek terimli payda ( $\sqrt{b}$ ) görürsen, pay ve paydayı doğrudan $\sqrt{b}$ ile çarp.
İki terimli payda ( $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$ veya $\sqrt{a}\pm c$ ) görürsen eşlenikle ( $\sqrt{a}\mp\sqrt{b}$ ) çarp.
Eşlenikten sonra payda daima $a-b$ gibi köksüz bir sayıdır; bunu refleksle yaz ve ardından pay ile sadeleştir.
Cevap şıkları çoğu zaman sadeleştirilmiş biçimde verilir; işlemi bitirince sonucu mutlaka en sade hâle indir.

1. Temel Fikir

2. Tek Terimli Payda

3. İki Terimli Payda (Eşlenik)

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular