çözümebak

TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Üslü Denklemler

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Üslü denklemler, bilinmeyenin üs (kuvvet) olarak bulunduğu denklemlerdir. TYT'de bu tür soruların tamamı tek bir fikre dayanır: tabanları aynı yap, sonra üsleri eşitle. Toplama içeren denklemlerde ise araya bir adım daha girer: ortak çarpan paranteze alma. Bu derste her iki tekniği örneklerle, her çözümü yerine koyarak doğrulayarak işliyoruz.

1. Temel İlke: Tabanlar Eşitse Üsler de Eşittir

a > 0 ve a \ne 1 olmak üzere temel kural şudur:

a^{x}=a^{y}\;\Rightarrow\; x=y

Yani iki tarafın tabanı aynıysa, üsleri de birbirine eşit olmak zorundadır. Bütün çözüm yöntemi bu kuralı kullanabilecek hâle gelmektir.

Taban niçin a \ne 1? Çünkü 1^{x}=1 her x için doğrudur; taban 1 olursa üsler hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. Aynı şekilde tabanın pozitif olması gerekir.

2. Yöntem: Aynı Tabanda Yazma

Denklemin bir tarafında sayı varsa, o sayıyı diğer tarafın tabanına göre kuvvet olarak yazarız. Sık kullanılan kuvvetler:

TabanKuvvetleri
24=2^{2},\ 8=2^{3},\ 16=2^{4},\ 32=2^{5}
39=3^{2},\ 27=3^{3},\ 81=3^{4}
525=5^{2},\ 125=5^{3}

İki taban da aynı olunca (örneğin 4^{x} yerine 2^{2x} yazarak) üsleri eşitleriz.

3. Ortak Çarpan Paranteze Alma

a^{x} içeren toplamlarda doğrudan taban eşitleme işe yaramaz. Bu durumda en küçük üslü terimi ortak çarpan olarak dışarı alırız. Temel ipucu:

a^{x+k}=a^{x}\cdot a^{k}

Örneğin 2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2}=4\cdot 2^{x}. Böylece tüm terimlerde ortak olan a^{x} paranteze alınır, denklem tek bir üslü ifadeye iner.

Örnek
Soru

2^{x}=32 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 2 tabanında yaz: 32=2^{5}, yani 2^{x}=2^{5}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: x=5.

Doğrulama: 2^{5}=32. Doğru.

Sonuç: x=5.
Örnek
Soru

3^{x+1}=81 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 3 tabanında yaz: 81=3^{4}, yani 3^{x+1}=3^{4}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: x+1=4.

  3. x'i çek: x=3.

Doğrulama: 3^{3+1}=3^{4}=81. Doğru.

Sonuç: x=3.
Örnek
Soru

4^{x}=8 denkleminin çözümünü bulunuz.

4 ve 8 ortak bir tabana sahip: ikisi de 2'nin kuvvetidir. Her iki tarafı 2 tabanında yaz.

  1. Her iki tarafı 2 tabanına indir: 4=2^{2}, 8=2^{3}, yani \left(2^{2}\right)^{x}=2^{3}\Rightarrow 2^{2x}=2^{3}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: 2x=3.

  3. x'i çek: x=\dfrac{3}{2}.

Doğrulama: 4^{3/2}=\left(\sqrt{4}\right)^{3}=2^{3}=8. Doğru.

Sonuç: x=\dfrac{3}{2}.
Örnek
Soru

2^{x+2}+2^{x}=20 denkleminin çözümünü bulunuz.

Toplam var; doğrudan üs eşitleme yapamazsın. En küçük üslü terim 2^{x}'i ortak çarpan olarak dışarı al.

  1. 2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2} olduğunu kullan: 2^{x}\cdot 2^{2}+2^{x}=20.

  2. En küçük üslü terim 2^{x}'i paranteze al: 2^{x}\left(2^{2}+1\right)=20.

  3. Parantezi hesapla: 2^{x}\cdot 5=20 \Rightarrow 2^{x}=4.

  4. 4=2^{2} yaz ve üsleri eşitle: 2^{x}=2^{2}\Rightarrow x=2.

Doğrulama: 2^{4}+2^{2}=16+4=20. Doğru.

Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

5^{x+1}+5^{x}=150 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. 5^{x+1}=5^{x}\cdot 5 olduğunu kullan: 5^{x}\cdot 5+5^{x}=150.

  2. En küçük üslü terim 5^{x}'i paranteze al: 5^{x}\left(5+1\right)=150.

  3. Parantezi hesapla: 6\cdot 5^{x}=150 \Rightarrow 5^{x}=25.

  4. 25=5^{2} yaz ve üsleri eşitle: 5^{x}=5^{2}\Rightarrow x=2.

Doğrulama: 5^{3}+5^{2}=125+25=150. Doğru.

Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

9^{x}=27 denkleminin çözümünü bulunuz.

9 ve 27 ortak tabanı 3 olan sayılardır: 9=3^{2}, 27=3^{3}.

  1. Her iki tarafı 3 tabanına indir: \left(3^{2}\right)^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{2x}=3^{3}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: 2x=3.

  3. x'i çek: x=\dfrac{3}{2}.

Doğrulama: 9^{3/2}=\left(\sqrt{9}\right)^{3}=3^{3}=27. Doğru.

Sonuç: x=\dfrac{3}{2}.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

2^{x}=64 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 2 tabanında yaz: 64=2^{6}, yani 2^{x}=2^{6}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: x=6.

Doğrulama: 2^{6}=64. Doğru.

Sonuç: x=6.
Örnek
Soru

5^{x-1}=125 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Sağ tarafı 5 tabanında yaz: 125=5^{3}, yani 5^{x-1}=5^{3}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: x-1=3.

  3. x'i çek: x=4.

Doğrulama: 5^{4-1}=5^{3}=125. Doğru.

Sonuç: x=4.
Örnek
Soru

8^{x}=16 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. Her iki tarafı 2 tabanına indir: 8=2^{3}, 16=2^{4}, yani \left(2^{3}\right)^{x}=2^{4}\Rightarrow 2^{3x}=2^{4}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: 3x=4.

  3. x'i çek: x=\dfrac{4}{3}.

Doğrulama: 8^{4/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{4}=2^{4}=16. Doğru.

Sonuç: x=\dfrac{4}{3}.
Örnek
Soru

3^{x+2}+3^{x}=90 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2} olduğunu kullan: 3^{x}\cdot 9+3^{x}=90.

  2. En küçük üslü terim 3^{x}'i paranteze al: 3^{x}\left(9+1\right)=90.

  3. Parantezi hesapla: 10\cdot 3^{x}=90 \Rightarrow 3^{x}=9.

  4. 9=3^{2} yaz ve üsleri eşitle: 3^{x}=3^{2}\Rightarrow x=2.

Doğrulama: 3^{4}+3^{2}=81+9=90. Doğru.

Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

2^{x+3}-2^{x}=56 denkleminin çözümünü bulunuz.

  1. 2^{x+3}=2^{x}\cdot 2^{3} olduğunu kullan: 2^{x}\cdot 8-2^{x}=56.

  2. En küçük üslü terim 2^{x}'i paranteze al: 2^{x}\left(8-1\right)=56.

  3. Parantezi hesapla: 7\cdot 2^{x}=56 \Rightarrow 2^{x}=8.

  4. 8=2^{3} yaz ve üsleri eşitle: 2^{x}=2^{3}\Rightarrow x=3.

Doğrulama: 2^{6}-2^{3}=64-8=56. Doğru.

Sonuç: x=3.
Örnek
Soru

4^{x+1}=8^{x} denkleminin çözümünü bulunuz.

4 ve 8 ortak tabanı 2 olan sayılardır: 4=2^{2}, 8=2^{3}. Her iki tarafı 2 tabanında yaz.

  1. Her iki tarafı 2 tabanına indir: \left(2^{2}\right)^{x+1}=\left(2^{3}\right)^{x}\Rightarrow 2^{2x+2}=2^{3x}.

  2. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: 2x+2=3x.

  3. x'i çek: x=2.

Doğrulama: 4^{2+1}=4^{3}=64 ve 8^{2}=64. Doğru.

Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

3\cdot 2^{x+1}+2^{x+2}=80 denkleminin çözümünü bulunuz.

Her iki terimi 2^{x} cinsinden yaz: 2^{x+1}=2\cdot 2^{x} ve 2^{x+2}=4\cdot 2^{x}. Sonra ortak çarpanı dışarı al.

  1. Terimleri 2^{x} cinsinden yaz: 3\cdot 2\cdot 2^{x}+4\cdot 2^{x}=80.

  2. Katsayıları topla, 2^{x}'i paranteze al: 2^{x}\left(6+4\right)=80.

  3. Parantezi hesapla: 10\cdot 2^{x}=80 \Rightarrow 2^{x}=8.

  4. 8=2^{3} yaz ve üsleri eşitle: 2^{x}=2^{3}\Rightarrow x=3.

Doğrulama: 3\cdot 2^{4}+2^{5}=48+32=80. Doğru.

Sonuç: x=3.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir bakteri kültürü her saat başı sayısı iki katına çıkmaktadır. Saat 10.00'da kültürde 64 bakteri varken, aynı gün saat 14.00'te bakteri sayısı 2^{x} biçiminde yazılabiliyorsa x kaçtır?

A) 8 · B) 9 · C) 10 · D) 11 · E) 12

  1. Saat 10.00'daki 64=2^{6} bakteriden 14.00'e kadar 4 saat geçer; her saat iki katına çıktığından çarpan 2^{4}'tür.

  2. Saat 14.00'teki sayı: 2^{6}\cdot 2^{4}=2^{10}.

  3. Soruda bu sayı 2^{x} olarak verildiğinden x=10.

Sonuç: C) 10
Örnek
Soru

\dfrac{4^{x+1}}{2^{x-1}}=32 denkleminde x kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. Her iki tarafı 2 tabanında yaz: \dfrac{\left(2^{2}\right)^{x+1}}{2^{x-1}}=\dfrac{2^{2x+2}}{2^{x-1}}=2^{(2x+2)-(x-1)}=2^{x+3}.

  2. Sağ taraf: 32=2^{5}.

  3. Üsleri eşitle: x+3=5\Rightarrow x=2.

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

2^{x+2}+3\cdot 2^{x}=56 denkleminde x kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Her terimi 2^{x} cinsinden yaz: 2^{x+2}=4\cdot 2^{x}. Sonra ortak çarpanı paranteze al.

  1. Terimleri 2^{x} cinsinden yaz: 4\cdot 2^{x}+3\cdot 2^{x}=56.

  2. Ortak çarpanı al: 2^{x}(4+3)=56\Rightarrow 7\cdot 2^{x}=56.

  3. 2^{x}=8=2^{3} olduğundan x=3.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

Bir bilgisayar virüsü, bulaştığı bilgisayar sayısını her gün 3 katına çıkarmaktadır. İlk gün 3^{2} bilgisayara bulaşmışken, kaçıncı günün sonunda bulaştığı bilgisayar sayısı 3^{6} olur?

A) 3. gün · B) 4. gün · C) 5. gün · D) 6. gün · E) 7. gün

n. günde sayı 3^{2}\cdot 3^{\,n-1} olur. Bunu 3^{6}'ya eşitleyip üsleri eşitle.

  1. İlk gün 3^{2}, her gün 3 ile çarpılır; n. günde sayı 3^{2}\cdot 3^{\,n-1}=3^{\,n+1} olur.

  2. 3^{6}'ya eşitle: 3^{\,n+1}=3^{6}\Rightarrow n+1=6.

  3. n=5; yani 5. günün sonunda.

  4. Çeldirici D (6. gün): n+1=6 yerine doğrudan n=6 alınırsa oluşur.

Sonuç: C) 5. gün
Örnek
Soru

2^{x}=a olduğuna göre, 4^{x+1}-2^{x+3} ifadesinin a cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4a^{2}-8a · B) 2a^{2}-6a · C) a^{2}-8a · D) 4a-8 · E) 4a^{2}-6a

4^{x+1}=4\cdot(2^{x})^{2} ve 2^{x+3}=8\cdot 2^{x} olduğunu kullan; sonra 2^{x} yerine a koy.

  1. 4^{x+1}=4^{x}\cdot 4=(2^{x})^{2}\cdot 4=4a^{2}.

  2. 2^{x+3}=2^{x}\cdot 2^{3}=8\cdot 2^{x}=8a.

  3. İfadeyi yaz: 4a^{2}-8a.

  4. Çeldirici E (4a^{2}-6a): 2^{3}=8 yerine yanlışlıkla 6 kullanılırsa oluşur.

Sonuç: A) 4a^{2}-8a
Örnek
Soru

Bir tasarruf hesabındaki para her yıl belli bir oranda artıyor ve t yıl sonraki para miktarı P=1000\cdot 2^{\,t/3} TL formülüyle veriliyor. Bu hesaptaki para ilk kez 8000 TL'yi geçtiğinde en az kaç tam yıl geçmiş olur?

A) 6 · B) 7 · C) 8 · D) 9 · E) 10

8000=1000\cdot 8 olduğundan 2^{\,t/3}=8=2^{3} olur. Üsleri eşitleyip t'yi çek.

  1. P=8000 yaz: 1000\cdot 2^{\,t/3}=8000\Rightarrow 2^{\,t/3}=8.

  2. 8=2^{3} olduğundan üsleri eşitle: \dfrac{t}{3}=3\Rightarrow t=9.

  3. Tam 9. yılda para 8000 olur; "ilk kez geçtiğinde" en az 9 tam yıl gerekir.

  4. Çeldirici A (6): 2^{\,t/3}=8 yerine 2^{\,t/3}=4 çözülürse oluşur.

Sonuç: D) 9

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular