TYT Matematik · Üslü ve Köklü İfadeler

Üslü Denklemler

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Üslü denklemler, bilinmeyenin üs (kuvvet) olarak bulunduğu denklemlerdir. TYT'de bu tür soruların tamamı tek bir fikre dayanır: tabanları aynı yap, sonra üsleri eşitle. Toplama içeren denklemlerde ise araya bir adım daha girer: ortak çarpan paranteze alma. Bu derste her iki tekniği örneklerle, her çözümü yerine koyarak doğrulayarak işliyoruz.

1. Temel İlke: Tabanlar Eşitse Üsler de Eşittir

$a > 0$ ve $a \neq = 1$ olmak üzere temel kural şudur:

$a^{x} = a^{y} \Rightarrow x = y$

Yani iki tarafın tabanı aynıysa, üsleri de birbirine eşit olmak zorundadır. Bütün çözüm yöntemi bu kuralı kullanabilecek hâle gelmektir.

Taban niçin $a \neq = 1$ ? Çünkü $1^{x} = 1$ her $x$ için doğrudur; taban $1$ olursa üsler hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz. Aynı şekilde tabanın pozitif olması gerekir.

2. Yöntem: Aynı Tabanda Yazma

Denklemin bir tarafında sayı varsa, o sayıyı diğer tarafın tabanına göre kuvvet olarak yazarız. Sık kullanılan kuvvetler:

Taban	Kuvvetleri
$2$	$4 = 2^{2}, 8 = 2^{3}, 16 = 2^{4}, 32 = 2^{5}$
$3$	$9 = 3^{2}, 27 = 3^{3}, 81 = 3^{4}$
$5$	$25 = 5^{2}, 125 = 5^{3}$

İki taban da aynı olunca (örneğin $4^{x}$ yerine $2^{2 x}$ yazarak) üsleri eşitleriz.

3. Ortak Çarpan Paranteze Alma

$a^{x}$ içeren toplamlarda doğrudan taban eşitleme işe yaramaz. Bu durumda en küçük üslü terimi ortak çarpan olarak dışarı alırız. Temel ipucu:

$a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$

Örneğin $2^{x + 2} = 2^{x} \cdot 2^{2} = 4 \cdot 2^{x}$ . Böylece tüm terimlerde ortak olan $a^{x}$ paranteze alınır, denklem tek bir üslü ifadeye iner.

Örnek

Soru

$2^{x} = 32$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $32 = 2^{5}$ , yani $2^{x} = 2^{5}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $x = 5$ .

Doğrulama: $2^{5} = 32$ . Doğru.

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

$3^{x + 1} = 81$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $3$ tabanında yaz: $81 = 3^{4}$ , yani $3^{x + 1} = 3^{4}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $x + 1 = 4$ .
$x$ 'i çek: $x = 3$ .

Doğrulama: $3^{3 + 1} = 3^{4} = 81$ . Doğru.

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$4^{x} = 8$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$4$ ve $8$ ortak bir tabana sahip: ikisi de $2$ 'nin kuvvetidir. Her iki tarafı $2$ tabanında yaz.

Her iki tarafı $2$ tabanına indir: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , yani $(2^{2})^{x} = 2^{3} \Rightarrow 2^{2 x} = 2^{3}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $2 x = 3$ .
$x$ 'i çek: $x = \frac{3}{2}$ .

Doğrulama: $4^{3/2} = (4)^{3} = 2^{3} = 8$ . Doğru.

Sonuç:

x = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$2^{x + 2} + 2^{x} = 20$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Toplam var; doğrudan üs eşitleme yapamazsın. En küçük üslü terim $2^{x}$ 'i ortak çarpan olarak dışarı al.

$2^{x + 2} = 2^{x} \cdot 2^{2}$ olduğunu kullan: $2^{x} \cdot 2^{2} + 2^{x} = 20$ .
En küçük üslü terim $2^{x}$ 'i paranteze al: $2^{x} (2^{2} + 1) = 20$ .
Parantezi hesapla: $2^{x} \cdot 5 = 20 \Rightarrow 2^{x} = 4$ .
$4 = 2^{2}$ yaz ve üsleri eşitle: $2^{x} = 2^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Doğrulama: $2^{4} + 2^{2} = 16 + 4 = 20$ . Doğru.

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$5^{x + 1} + 5^{x} = 150$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$5^{x + 1} = 5^{x} \cdot 5$ olduğunu kullan: $5^{x} \cdot 5 + 5^{x} = 150$ .
En küçük üslü terim $5^{x}$ 'i paranteze al: $5^{x} (5 + 1) = 150$ .
Parantezi hesapla: $6 \cdot 5^{x} = 150 \Rightarrow 5^{x} = 25$ .
$25 = 5^{2}$ yaz ve üsleri eşitle: $5^{x} = 5^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Doğrulama: $5^{3} + 5^{2} = 125 + 25 = 150$ . Doğru.

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$9^{x} = 27$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$9$ ve $27$ ortak tabanı $3$ olan sayılardır: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .

Her iki tarafı $3$ tabanına indir: $(3^{2})^{x} = 3^{3} \Rightarrow 3^{2 x} = 3^{3}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $2 x = 3$ .
$x$ 'i çek: $x = \frac{3}{2}$ .

Doğrulama: $9^{3/2} = (9)^{3} = 3^{3} = 27$ . Doğru.

Sonuç:

x = \frac{3}{2}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$2^{x} = 64$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $64 = 2^{6}$ , yani $2^{x} = 2^{6}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $x = 6$ .

Doğrulama: $2^{6} = 64$ . Doğru.

Sonuç:

x = 6

Örnek

Soru

$5^{x - 1} = 125$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $5$ tabanında yaz: $125 = 5^{3}$ , yani $5^{x - 1} = 5^{3}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $x - 1 = 3$ .
$x$ 'i çek: $x = 4$ .

Doğrulama: $5^{4 - 1} = 5^{3} = 125$ . Doğru.

Sonuç:

x = 4

Örnek

Soru

$8^{x} = 16$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Her iki tarafı $2$ tabanına indir: $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , yani $(2^{3})^{x} = 2^{4} \Rightarrow 2^{3 x} = 2^{4}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $3 x = 4$ .
$x$ 'i çek: $x = \frac{4}{3}$ .

Doğrulama: $8^{4/3} = (38)^{4} = 2^{4} = 16$ . Doğru.

Sonuç:

x = \frac{4}{3}

Örnek

Soru

$3^{x + 2} + 3^{x} = 90$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2}$ olduğunu kullan: $3^{x} \cdot 9 + 3^{x} = 90$ .
En küçük üslü terim $3^{x}$ 'i paranteze al: $3^{x} (9 + 1) = 90$ .
Parantezi hesapla: $10 \cdot 3^{x} = 90 \Rightarrow 3^{x} = 9$ .
$9 = 3^{2}$ yaz ve üsleri eşitle: $3^{x} = 3^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Doğrulama: $3^{4} + 3^{2} = 81 + 9 = 90$ . Doğru.

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$2^{x + 3} - 2^{x} = 56$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3}$ olduğunu kullan: $2^{x} \cdot 8 - 2^{x} = 56$ .
En küçük üslü terim $2^{x}$ 'i paranteze al: $2^{x} (8 - 1) = 56$ .
Parantezi hesapla: $7 \cdot 2^{x} = 56 \Rightarrow 2^{x} = 8$ .
$8 = 2^{3}$ yaz ve üsleri eşitle: $2^{x} = 2^{3} \Rightarrow x = 3$ .

Doğrulama: $2^{6} - 2^{3} = 64 - 8 = 56$ . Doğru.

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$4^{x + 1} = 8^{x}$ denkleminin çözümünü bulunuz.

$4$ ve $8$ ortak tabanı $2$ olan sayılardır: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ . Her iki tarafı $2$ tabanında yaz.

Her iki tarafı $2$ tabanına indir: $(2^{2})^{x + 1} = (2^{3})^{x} \Rightarrow 2^{2 x + 2} = 2^{3 x}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $2 x + 2 = 3 x$ .
$x$ 'i çek: $x = 2$ .

Doğrulama: $4^{2 + 1} = 4^{3} = 64$ ve $8^{2} = 64$ . Doğru.

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$3 \cdot 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 80$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Her iki terimi $2^{x}$ cinsinden yaz: $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ ve $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ . Sonra ortak çarpanı dışarı al.

Terimleri $2^{x}$ cinsinden yaz: $3 \cdot 2 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{x} = 80$ .
Katsayıları topla, $2^{x}$ 'i paranteze al: $2^{x} (6 + 4) = 80$ .
Parantezi hesapla: $10 \cdot 2^{x} = 80 \Rightarrow 2^{x} = 8$ .
$8 = 2^{3}$ yaz ve üsleri eşitle: $2^{x} = 2^{3} \Rightarrow x = 3$ .

Doğrulama: $3 \cdot 2^{4} + 2^{5} = 48 + 32 = 80$ . Doğru.

Sonuç:

x = 3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Taban eşitleme (2ˣ⁺¹ = 8 tipi): Üs eşitlemeden sayıyı doğrudan üsse yazmak (2x−1 = 27 çözmek) x = 14
İki tarafı ortak tabana indirme (9ˣ⁻¹ = 27ˣ⁻² tipi): Üssü dağıtırken sabiti çarpmamak (2(x−1) = 2x−1 yazmak) 2x−1 = 3x−6 ⇒ x = 5
Toplamlı denklemde ortak çarpan paranteze alma: Toplamda üsleri birleştirmeye çalışmak (3ˣ⁺¹⁻⁽ˣ⁻¹⁾ = 24 gibi) 3² = 24 çelişkisi, rastgele şık
Değişken değiştirme (2ˣ = t ile ikinci dereceye inen denklem): t köklerini doğrudan x sanmak (cevabı t değerlerinden okumak) kökler toplamı 1 + 2 = 3
Farklı taban, ortak üs (aˣ = bˣ ⇒ x = 0): Tabanlar farklıyken üsleri birbirine eşitlemeye çalışmak (2x−6 = 2x−6, 'her x sağlar' demek) sonsuz çözüm — yanlış
Tabanı bilinmeyenli üslü eşitlik (üç durum analizi: 1, −1, 0): Yalnız taban = 1 durumunu görmek tek kök x = 3, toplam 3

Soru 1Kolay

Bir bakteri kültürü her saat başı sayısı iki katına çıkmaktadır. Saat

10.00

'da kültürde

64

bakteri varken, aynı gün saat

14.00

'te bakteri sayısı

2^{x}

biçiminde yazılabiliyorsa

x

kaçtır?

Saat $10.00$ 'daki $64 = 2^{6}$ bakteriden $14.00$ 'e kadar $4$ saat geçer; her saat iki katına çıktığından çarpan $2^{4}$ 'tür.
Saat $14.00$ 'teki sayı: $2^{6} \cdot 2^{4} = 2^{10}$ .
Soruda bu sayı $2^{x}$ olarak verildiğinden $x = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 2Orta

\frac{4 ^{x + 1}}{2 ^{x - 1}} = 32

denkleminde

x

kaçtır?

Her iki tarafı $2$ tabanında yaz: $\frac{( 2 ^{2} ) ^{x + 1}}{2 ^{x - 1}} = \frac{2 ^{2 x + 2}}{2 ^{x - 1}} = 2^{(2 x + 2) - (x - 1)} = 2^{x + 3}$ .
Sağ taraf: $32 = 2^{5}$ .
Üsleri eşitle: $x + 3 = 5 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 3Orta

2^{x + 2} + 3 \cdot 2^{x} = 56

denkleminde

x

kaçtır?

Terimleri $2^{x}$ cinsinden yaz: $4 \cdot 2^{x} + 3 \cdot 2^{x} = 56$ .
Ortak çarpanı al: $2^{x} (4 + 3) = 56 \Rightarrow 7 \cdot 2^{x} = 56$ .
$2^{x} = 8 = 2^{3}$ olduğundan $x = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 4Orta

Bir bilgisayar virüsü, bulaştığı bilgisayar sayısını her gün

3

katına çıkarmaktadır. İlk gün

3^{2}

bilgisayara bulaşmışken, kaçıncı günün sonunda bulaştığı bilgisayar sayısı

3^{6}

olur?

İlk gün $3^{2}$ , her gün $3$ ile çarpılır; $n .$ günde sayı $3^{2} \cdot 3^{n - 1} = 3^{n + 1}$ olur.
$3^{6}$ 'ya eşitle: $3^{n + 1} = 3^{6} \Rightarrow n + 1 = 6$ .
$n = 5$ ; yani $5.$ günün sonunda.
Çeldirici D ( $6.$ gün): $n + 1 = 6$ yerine doğrudan $n = 6$ alınırsa oluşur.

Sonuç:

5.

gün

Soru 5Zor

2^{x} = a

olduğuna göre,

4^{x + 1} - 2^{x + 3}

ifadesinin

a

cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$4^{x + 1} = 4^{x} \cdot 4 = (2^{x})^{2} \cdot 4 = 4 a^{2}$ .
$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3} = 8 \cdot 2^{x} = 8 a$ .
İfadeyi yaz: $4 a^{2} - 8 a$ .
Çeldirici E ( $4 a^{2} - 6 a$ ): $2^{3} = 8$ yerine yanlışlıkla $6$ kullanılırsa oluşur.

Sonuç:

4 a^{2} - 8 a

Soru 6Zor

Bir tasarruf hesabındaki para her yıl belli bir oranda artıyor ve

t

yıl sonraki para miktarı

P = 1000 \cdot 2^{t /3}

TL formülüyle veriliyor. Bu hesaptaki para ilk kez

8000

TL'yi geçtiğinde en az kaç tam yıl geçmiş olur?

$P = 8000$ yaz: $1000 \cdot 2^{t /3} = 8000 \Rightarrow 2^{t /3} = 8$ .
$8 = 2^{3}$ olduğundan üsleri eşitle: $\frac{t}{3} = 3 \Rightarrow t = 9$ .
Tam $9.$ yılda para $8000$ olur; "ilk kez geçtiğinde" en az $9$ tam yıl gerekir.
Çeldirici A ( $6$ ): $2^{t /3} = 8$ yerine $2^{t /3} = 4$ çözülürse oluşur.

Sonuç:

9

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek. $a^{x} = a^{y} \Rightarrow x = y$ kuralı yalnızca tabanlar aynıyken geçerlidir. Önce mutlaka ortak tabana indir.
$4^{x} = 8$ 'i $x = 2$ sanmak. $4^{2} = 16 \neq = 8$ olduğuna dikkat. Doğrusu tabanı $2$ 'ye indirmektir: $2^{2 x} = 2^{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ .
Ortak çarpanı yanlış seçmek. Paranteze her zaman en küçük üslü terim alınır. $2^{x + 2} + 2^{x}$ ifadesinde ortak çarpan $2^{x + 2}$ değil, $2^{x}$ 'tir.
Ara basamağı atlamak. $2^{x} = 4$ bulununca $4 = 2^{2}$ yazıp $x = 2$ demek gerekir; rastgele bir değer yazmak yanlıştır.

Sınav İpucu

Bir tarafta çıplak sayı varsa, onu diğer tarafın tabanına göre kuvvet olarak yaz: $8 = 2^{3}$ , $27 = 3^{3}$ , $32 = 2^{5}$ , $81 = 3^{4}$ . Bu, $2$ , $3$ ve $5$ tabanlarının kuvvetlerini ezberlemekle hızlanır.
Toplam içeren üslü denklemlerde ilk hamle her zaman ortak çarpan paranteze almaktır. $a^{x + k} = a^{x} \cdot a^{k}$ açılımıyla en küçük üslü terimi dışarı al; geriye kalan parantez bir sayıya iner ve denklem tek üslü ifadeye dönüşür.

1. Temel İlke: Tabanlar Eşitse Üsler de Eşittir

2. Yöntem: Aynı Tabanda Yazma

3. Ortak Çarpan Paranteze Alma

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üslü ve Köklü İfadeler — diğer konular