Parabol — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Tepe noktası hesabı (r=−b/2a, k=f(r))

   KolaySık çıkar

   Denklemi verilen parabolün tepe noktası, simetri ekseni ya da en küçük/en büyük değeri istenir. Konunun ısınma sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Tepe apsisi: r = −b/(2a); simetri ekseni x=r doğrusudur.
   2. Tepe ordinatı: k = f(r) — apsisi fonksiyonda yerine koy.
   3. y=a(x−r)²+k biçiminde verilmişse tepe T(r, k) doğrudan okunur.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • r=−b/(2a) yerine r=b/(2a) almak→apsisi işaretçe ters tepe noktası
   • Tepe biçiminden okurken (x−r)'deki işareti ters çevirmemek→y=(x+2)²'de tepeyi x=2 sanmak

   Örnek

   y=x²−6x+5 parabolünün tepe noktası nedir?

   r=−(−6)/(2⋅1)=3, k=f(3)=9−18+5=−4 ⇒ T(3, −4)

2. 02

   Eksenleri kestiği noktalar

   KolaySık çıkar

   y eksenini kestiği nokta (0, c); x eksenini kestiği noktalar ax²+bx+c=0 denkleminin kökleri. Kesişimlerle ilgili toplam/uzaklık istenir.

   Nasıl çözülür

   1. y ekseni kesişimi için x=0 koy: nokta (0, c).
   2. x ekseni kesişimleri için y=0 çöz; kökler apsisleri verir.
   3. Kök toplamı −b/a, kök çarpımı c/a ile hesabı kısalt.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • y eksenini kestiği noktayı kök sanmak (c'yi apsis almak)→(−8, 0) gibi eksen karışıklığı
   • Kök toplamını b/a almak (işaret hatası)→toplamı işaretçe ters değer

   Örnek

   y=x²−2x−8 parabolü x eksenini apsisleri x₁, x₂ olan noktalarda, y eksenini ordinatı k olan noktada kesiyor. x₁+x₂+k kaçtır?

   x₁+x₂=−(−2)/1=2, k=c=−8 ⇒ 2+(−8)=−6

3. 03

   Grafikten a, b, c işaret analizi (Δ dahil)

   OrtaSık çıkar

   Grafiği çizilmiş parabolün katsayılarının işaretleri istenir. Kollar a'yı, y kesişimi c'yi, tepe apsisinin işareti (a ile birlikte) b'yi verir; x eksenini kesme sayısı Δ'yı söyler.

   Nasıl çözülür

   1. Kollar yukarı ⇒ a>0, aşağı ⇒ a<0.
   2. y eksenini kestiği nokta (0, c): üstte ise c>0, altta ise c<0.
   3. Tepe apsisi r=−b/(2a): r'nin işareti ile a'nın işaretinden b çözülür (r>0 ve a<0 ⇒ b>0 gibi).
   4. x eksenini iki noktada keserse Δ>0, teğetse Δ=0, kesmezse Δ<0.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • b'nin işaretini tepe apsisiyle aynı sanmak (a'yı hesaba katmamak)→b'nin işaretçe tersi (ör. b<0)
   • Kollar aşağıyken Δ<0 sanmak (yön ile kök sayısını karıştırmak)→yanlış δ işareti

   Örnek

   Kolları aşağı yönlü, y eksenini pozitif tarafta kesen ve tepe apsisi pozitif olan parabol için a, b, c işaretleri nedir?

   Kollar aşağı ⇒ a<0; r=−b/(2a)>0 ve a<0 ⇒ b>0; (0,c) üstte ⇒ c>0

4. 04

   Tepe koşulundan parametre bulma

   OrtaSık çıkar

   Tepe noktası (ya da 'tepe x ekseni üzerinde', 'en küçük değeri k') koşulu verilir, denklemdeki bilinmeyen istenir. Tepe x ekseni üzerinde ⇔ Δ=0 eşdeğerliği kritik.

   Nasıl çözülür

   1. Tepe apsisini r=−b/(2a) ile bul (parametre içermiyorsa sayı çıkar).
   2. Koşulu kur: tepe x ekseninde ise f(r)=0 (eşdeğeri Δ=0); en küçük/en büyük değer k ise f(r)=k.
   3. Oluşan denklemi parametre için çöz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Koşulu f(r) yerine f(0)'da kurmak→c üzerinden gelen ilgisiz değer (ör. m=0)
   • 'Tepe x ekseninde' iken Δ>0 yazmak→tek değer yerine aralık

   Örnek

   y=x²−4x+m parabolünün tepe noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre m kaçtır?

   r=2, f(2)=4−8+m=m−4=0 ⇒ m=4 (kontrol: Δ=16−4m=0 ⇒ m=4)

   Sık birleştiği konular: ikinci-derece-denklemler-ayt

5. 05

   Grafiği verilen parabolün denklemini yazma

   OrtaSık çıkar

   Kökler + bir nokta ya da tepe + bir nokta verilir; denklem (veya denklemden bir değer) istenir. Doğru biçimi seçmek işi bitirir: kökler ⇒ y=a(x−x₁)(x−x₂), tepe ⇒ y=a(x−r)²+k.

   Nasıl çözülür

   1. Kökler verildiyse y=a(x−x₁)(x−x₂), tepe verildiyse y=a(x−r)²+k yaz.
   2. Verilen üçüncü noktayı yerine koyup a'yı bul.
   3. İstenen büyüklüğü (katsayı, tepe ordinatı, f(değer)) bu denklemden hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a'yı bulmadan a=1 varsaymak→a katı kadar ölçek hatalı değer (ör. tepe ordinatı −1)
   • Çarpan biçiminde kök işaretini ters yazmak: (x+1)(x+3)→kökleri −1, −3 olan yanlış parabol

   Örnek

   x eksenini x=1 ve x=3 noktalarında kesen ve (0, 6) noktasından geçen parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

   y=a(x−1)(x−3); 6=a(−1)(−3)=3a ⇒ a=2; r=2, y_T=2(2−1)(2−3)=−2

6. 06

   Parabol–doğru kesişimi (teğetlik, Δ analizi)

   ZorSık çıkar

   Parabol ile doğru eşitlenir; kesişim sayısını ortak denklemin Δ'sı belirler: Δ>0 iki nokta, Δ=0 teğet, Δ<0 kesişmez. ÖSYM en çok teğetlik koşulunu sorar.

   Nasıl çözülür

   1. İki denklemi eşitle, her şeyi bir tarafa topla: ikinci derece denklem elde et.
   2. Teğet ⇒ Δ=0, kesişmez ⇒ Δ<0, iki noktada keser ⇒ Δ>0 koşulunu kur.
   3. Parametreyi çöz; teğet noktası istenirse çift kökü x=−b/(2a) ile bul.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Δ'yı parabolün kendi denkleminde hesaplamak (doğruyu hiç katmamak)→parametreden bağımsız, ilgisiz sonuç
   • Eşitlerken doğrunun terimlerini yanlış işaretle taşımak→kaymış katsayılı denklemden yanlış k

   Örnek

   y=x²+3x+7 parabolü ile y=x+k doğrusu teğet olduğuna göre k kaçtır?

   x²+3x+7=x+k ⇒ x²+2x+(7−k)=0; Δ=4−4(7−k)=0 ⇒ 4k=24 ⇒ k=6

   Sık birleştiği konular: Doğrunun Analitik İncelenmesi, ikinci-derece-denklemler-ayt

7. 07

   Maksimum–minimum sözel problemi (top atışı, kâr, alan)

   ZorSık çıkar

   Yükseklik–zaman, kâr–adet gibi ikinci derece modellenen sözel durum. En büyük değer ve o değere ulaşılan an tepe noktasından okunur.

   Nasıl çözülür

   1. Modeli tanı: a<0 ise tepe maksimumu, a>0 ise minimumu verir.
   2. Tepe apsisi r=−b/(2a): en büyük/küçük değerin GERÇEKLEŞTİĞİ an/adet budur.
   3. Tepe ordinatı f(r): en büyük/küçük DEĞERİN kendisi budur. Soru hangisini istiyor, dikkatle oku.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • En büyük değeri soran soruya tepe apsisini (anı) vermek→80 yerine 4 gibi zaman değeri
   • r=−b/(2a) hesabında a'nın negatif işaretini düşürmek→işaretçe/ölçekçe yanlış an (ör. t=−4)

   Örnek

   Yerden atılan bir topun yüksekliği h(t)=−5t²+40t (metre) ile modelleniyor. Topun ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?

   r=−40/(2⋅(−5))=4, h(4)=−5⋅16+40⋅4=−80+160=80 metre

   Sık birleştiği konular: fonksiyonlar-ayt