çözümebak

TYT Matematik · Sayılar ve Bölünebilme · Soru Tipleri

Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiTYT'de ~2.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Asal çarpanlara ayırma (üsleri okuma)

    KolaySık çıkar

    Sayı asal çarpanlarına ayrılır; üslerin toplamı, farklı asal çarpan sayısı veya 2^a⋅3^b⋅5^c eşleştirmesinden a+b+c istenir. Konunun ısınma sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. En küçük asaldan (2'den) başlayarak bölünebildiği sürece böl; sonra 3, 5, 7'ye geç.
    2. 1 kalana dek sürdür; her asalı üs biçiminde topla.
    3. Üssü 1 olan asalı da yaz — en çok atlanan çarpan budur.
    4. Doğrula: üslü çarpımı geri çarp, sayıyı vermeli.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Üssü 1 olan asalı (ör. 5¹) atlamaküsler toplamı 1 eksik; bölen sayısı hesabında yarıya düşmüş değer
    • 45 gibi bileşik kalanı asal sanıp durmakeksik ayrışım, yanlış üsler
    • Farklı asal sayısı ile üsler toplamını karıştırmakistenmeyen büyüklüğü cevaplamak (3 yerine 6 gibi)

    Örnek

    540 = 2ᵃ⋅3ᵇ⋅5ᶜ olduğuna göre a + b + c kaçtır?

    540 = 2²⋅3³⋅5 (kontrol: 4⋅27⋅5 = 540) ⇒ a+b+c = 2+3+1 = 6

  2. Pozitif bölen sayısı (üslere +1 ekleyip çarpma)

    KolaySık çıkar

    N = pᵃ⋅qᵇ⋅rᶜ ise pozitif bölen sayısı (a+1)(b+1)(c+1). Formül 1'i ve sayının kendisini zaten sayar. TYT'nin bu konudaki bir numaralı sorusu.

    Nasıl çözülür

    1. Sayıyı asal çarpanlarına ayır.
    2. Her üse 1 ekle, çıkanları çarp.
    3. 1 ve sayının kendisi formüle dahildir; ayrıca +2 EKLEME.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Üsleri +1 eklemeden doğrudan çarpmak2⁴⋅3⋅5 için 4⋅1⋅1 = 4 (doğrusu 20)
    • Sonuca ayrıca +2 eklemek (1 ve kendisi için)doğru cevaptan 2 fazla değer
    • Üssü 1 olan asalın (1+1) çarpanını unutmakdoğru cevabın yarısı

    Örnek

    240 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

    240 = 2⁴⋅3⋅5 ⇒ (4+1)(1+1)(1+1) = 5⋅2⋅2 = 20

  3. Bölen sayısından üs bulma (ters problem)

    OrtaSık çıkar

    N = 2ᵃ⋅3ᵇ biçimindeki sayının bölen sayısı verilir, bilinmeyen üs istenir. Formül ters yönde kurdurulur; denklem tek adımda çözülür.

    Nasıl çözülür

    1. Bölen sayısı formülünü bilinmeyenli yaz: (a+1)(b+1)… = verilen sayı.
    2. Bilinen üslerin (üs+1) çarpanlarını hesapla, denklemi sadeleştir.
    3. a+1'i bul, 1 çıkararak a'ya geç — bu son çıkarma en çok unutulan adım.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • a+1'i bulup 1 çıkarmayı unutmakdoğru cevaptan 1 fazla (a yerine a+1)
    • Bilinen üsü +1'siz kullanmak (3² için 2 çarpanı almak)yanlış denklem, tam sayı çıkmayan ya da kaymış üs
    • Bölen sayısını üsler çarpımı sanmaka⋅b = verilen kurgusundan ilgisiz değer

    Örnek

    N = 2ᵃ⋅3² sayısının 12 tane pozitif böleni olduğuna göre a kaçtır?

    (a+1)(2+1) = 12 ⇒ (a+1)⋅3 = 12 ⇒ a+1 = 4 ⇒ a = 3

  4. Tek bölen – çift bölen – asal olmayan bölen sayısı

    OrtaSık çıkar

    Toplam bölen sayısından türetilen alt sayımlar: tek bölenler (2'nin üssü 0), çift bölenler (toplam − tek), asal olmayan bölenler (toplam − asal bölen sayısı). ÖSYM'nin formül ezberini test ettiği ayrım.

    Nasıl çözülür

    1. Sayıyı asal çarpanlarına ayır; toplam bölen sayısını hesapla.
    2. TEK bölenler: 2'yi tamamen at, kalan kısmın (tek kısmın) bölen sayısını al.
    3. ÇİFT bölenler: toplam − tek. (Ya da 2'nin üssü a ise a⋅(diğer üsler+1 çarpımı).)
    4. Asal OLMAYAN bölenler: toplam − farklı asal çarpan sayısı (1 asal değildir ama bölendir; onu asal diye düşme).

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Çift bölen için 2'li kısmı atmak (tek bölen hesabı yapmak)tek bölen sayısını çift diye vermek
    • Asal olmayan bölen sayısında 1'i de çıkarmakdoğru cevaptan 1 eksik (1 asal değildir, çıkarılmaz)
    • Tek bölen sayısını (toplam ÷ 2) sanmak2'nin üssü 1 değilken yanlış değer

    Örnek

    120 sayısının kaç tane pozitif çift böleni vardır?

    120 = 2³⋅3⋅5; toplam bölen (3+1)(1+1)(1+1) = 16, tek bölenler 3⋅5 kısmından (1+1)(1+1) = 4 ⇒ çift bölen 16 − 4 = 12

  5. Tam kare koşulu (a^x⋅b^y yapısında çarpan tamamlama)

    OrtaSık çıkar

    N⋅k tam kare (veya tam küp) olacak şekilde en küçük k istenir; ya da pᵃ⋅qᵇ yapısının tam kare olması için üs koşulu sorulur. Kural: tam karede TÜM üsler çift olmalı.

    Nasıl çözülür

    1. Sayıyı asal çarpanlarına ayır.
    2. Tam kare için her üs çift olmalı; tek kalan her üssü bir üst çift sayıya tamamla.
    3. En küçük k = tamamlayıcı çarpanların çarpımı (tek üslü asalların birer tanesi).
    4. Tam küp istenirse üsler 3'ün katına tamamlanır.
    5. Bonus kontrol: tam karelerin pozitif bölen sayısı tektir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Tek üslü asalı tamamlamak yerine atmaya çalışmak (bölme yokken)k'yi yanlış asallardan kurmak
    • En küçük k yerine sayının kendisiyle çarpmak (N⋅N her zaman kare diye)48 için k = 48 gibi gereksiz büyük, 'en küçük' koşulunu bozan değer
    • Tam kare ile tam küp koşulunu karıştırmaküsleri 3'ün katına tamamlayan gereksiz büyük k

    Örnek

    48⋅k bir tam kare olduğuna göre k'nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

    48 = 2⁴⋅3; 2'nin üssü çift, 3'ün üssü tek ⇒ k = 3 (48⋅3 = 144 = 12²)

    Sık birleştiği konular: Bölme ve Bölünebilme Kuralları

  6. Bölenlerin toplamı ve çarpımı (temel kalıp)

    Orta

    Küçük-orta boy bir sayının pozitif bölenlerinin toplamı (her asal için üs parantezlerinin çarpımı) veya çarpımı (N^(bölen sayısı ⁄ 2)) istenir. TYT'de daha çok toplam sorulur.

    Nasıl çözülür

    1. Bölenler toplamı: her asal için (1 + p + p² + … + pᵃ) parantezini yaz, parantezleri çarp.
    2. N = 2³⋅3 için (1+2+4+8)(1+3) = 15⋅4 = 60 gibi.
    3. Bölenler çarpımı: N^(d(N)⁄2), d(N) = bölen sayısı.
    4. Küçük sayıda şüphen varsa bölenleri listeleyip doğrula.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Toplam parantezlerinde 1'i unutmak ((p + p² + …) almak)her parantez 1 eksik — eksik toplam
    • Bölenler toplamını bölen sayısıyla karıştırmak(a+1)(b+1) değerini toplam diye vermek
    • Çarpımda üssü d(N) almak (d(N)⁄2 yerine)doğru cevabın karesi

    Örnek

    36 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

    36 = 2²⋅3² ⇒ (1+2+4)(1+3+9) = 7⋅13 = 91 (liste kontrolü: 1+2+3+4+6+9+12+18+36 = 91)

  7. Faktöriyelde asal çarpan üssü (Legendre'in basit hali)

    Zor

    n! sayısının asal çarpanlarına ayrılışında bir asalın üssü: n'yi asalın kuvvetlerine bölüp tam kısımları toplama. 'n! sayısı 3^k ile tam bölünüyorsa k en çok kaçtır' kalıbıyla da gelir; sondaki sıfır sayısı (10 = 2⋅5, 5'in üssü belirler) bu tipin en ünlü uygulamasıdır.

    Nasıl çözülür

    1. Üssü istenen asal p için ⌊n⁄p⌋ + ⌊n⁄p²⌋ + ⌊n⁄p³⌋ + … topla (bölümler 0 olana dek).
    2. Her terimde yalnız TAM kısım alınır.
    3. Sondaki sıfır sayısı istenirse yalnız 5'in üssünü hesapla (2'nin üssü her zaman daha büyüktür).
    4. Bileşik çarpan (ör. 6 = 2⋅3) istenirse her asalın üssünü ayrı bul, küçüğünü al.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Yalnız ⌊n⁄p⌋ alıp p², p³ katmanlarını unutmakeksik üs (20! için 3'ün üssünü 6 bulmak; doğrusu 8)
    • Bölümleri toplarken tam kısım yerine yuvarlamak1 fazla üs
    • Sondaki sıfır için 2'nin üssünü hesaplamakgereksiz uzun işlem, çoğu kez yanlış (büyük) değer

    Örnek

    20! sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçiminde 3'ün üssü kaçtır?

    ⌊20⁄3⌋ + ⌊20⁄9⌋ = 6 + 2 = 8 (27 > 20 olduğundan durulur)

7 soru tipini gördün. Şimdi Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı sorularını çöz →