Aritmetik Dizi — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Genel terim formülüyle terim bulma (aₙ = a₁ + (n−1)d)

   KolaySık çıkar

   İlk terim ve ortak fark verilir, uzak bir terim istenir. Formülün (n−1) çarpanı tek kritik noktadır.

   Nasıl çözülür

   1. Formülü yaz: aₙ = a₁ + (n−1)⋅d.
   2. (n−1)'i hesapla — n değil! a₁₂ için 11 adım atılır.
   3. Değerleri koy, hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • (n−1) yerine n ile çarpmak (a₁ + n⋅d)→a₁₂ için 5+36=41
   • (n−1) yerine (n−2) almak→a₁₂ için 5+30=35

   Örnek

   a₁=5, d=3 olan aritmetik dizide a₁₂ kaçtır?

   a₁₂=5+(12−1)⋅3=5+33=38

2. 02

   İki terimden a₁ ve d çıkarma

   OrtaSık çıkar

   İki uzak terim verilir (a₃=7, a₈=22 tipi); a₁, d veya üçüncü bir terim istenir. Kısa yol: iki terim arasındaki fark, indis farkı kadar d içerir.

   Nasıl çözülür

   1. Terim farkını indis farkına bağla: a₈ − a₃ = (8−3)d = 5d.
   2. d'yi bul: 5d = 22−7 = 15 ⇒ d = 3.
   3. a₁ = a₃ − 2d ile geri sar; istenen terimi genel terimle hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Farkı indis farkı yerine büyük indise bölmek (d=15/8)→kesirli, formüle oturmayan d
   • Geri sararken a₁ = a₃ − 3d almak (2 yerine 3 adım)→a₁=−2, a₁₅=40

   Örnek

   Bir aritmetik dizide a₃=7 ve a₈=22 ise a₁₅ kaçtır?

   5d=15 ⇒ d=3; a₁=7−2⋅3=1; a₁₅=1+14⋅3=43

3. 03

   Ardışık üç terim — aritmetik orta (x'li terimler)

   OrtaSık çıkar

   x'e bağlı üç ifade sırayla aritmetik dizi oluşturur; x veya terimler istenir. Ortanca terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır.

   Nasıl çözülür

   1. Koşulu yaz: 2⋅(ortanca) = (baş) + (son).
   2. x denklemini çöz.
   3. Terimleri x ile hesaplayıp farkların eşitliğini KONTROL et (d aynı çıkmalı).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2 katını unutup ortanca = baş + son yazmak→2x+2=6x−4 ⇒ x=3/2
   • Geometrik orta koşulunu ((ortanca)² = baş⋅son) uygulamak→ikinci dereceden ilgisiz denklem

   Örnek

   x−1, 2x+2, 5x−3 sayıları bu sırayla aritmetik dizi oluşturuyorsa x kaçtır?

   2(2x+2)=(x−1)+(5x−3) ⇒ 4x+4=6x−4 ⇒ x=4 (terimler 3, 10, 17; d=7)

4. 04

   İlk n terim toplamı (Sₙ)

   OrtaSık çıkar

   a₁ ve d (veya a₁ ve aₙ) verilir, ilk n terimin toplamı istenir. Sözel kılıflı hâli (tiyatro koltuğu, kule tuğlası) AYT'nin sevdiği ambalajdır.

   Nasıl çözülür

   1. Son terimi bul: aₙ = a₁ + (n−1)d.
   2. Toplam formülünü uygula: Sₙ = n⋅(a₁ + aₙ)/2.
   3. Alternatif: Sₙ = n⋅(2a₁ + (n−1)d)/2 — son terimi ayrıca bulmak istemezsen.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2'ye bölmeyi unutmak (Sₙ = n(a₁+aₙ))→s₂₀ için 1640
   • Son terimde (n−1) yerine n almak (a₂₀=83)→s₂₀ için 10⋅86=860

   Örnek

   a₁=3, d=4 olan aritmetik dizide ilk 20 terimin toplamı kaçtır?

   a₂₀=3+19⋅4=79; S₂₀=20⋅(3+79)/2=10⋅82=820

5. 05

   Toplam formülünden terim ve d çıkarma (aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁)

   ZorSık çıkar

   Sₙ, n'nin polinomu olarak verilir; bir terim ya da ortak fark istenir. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ bağıntısıyla genel terim çekilir; d, n'nin katsayısıdır.

   Nasıl çözülür

   1. aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ farkını n cinsinden aç (n ≥ 2).
   2. Sadeleştir: Sₙ=3n²+n için aₙ = 6n−2 çıkar.
   3. a₁ = S₁ ile ilk terimi doğrula; d = aₙ'deki n katsayısıdır (burada 6).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İstenen terimi doğrudan Sₙ'de yerine koymak→a₇ için s₇=154
   • Sₙ₋₁ yerine Sₙ₊₁ ile fark almak (bir sonraki terimi bulmak)→a₈=46

   Örnek

   Bir aritmetik dizide Sₙ=3n²+n olduğuna göre a₇ kaçtır?

   aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=6n−2 ⇒ a₇=6⋅7−2=40 (kontrol: S₇−S₆=154−114=40)

   Sık birleştiği konular: Dizi Kavramı

6. 06

   Eşit uzaklık (indis toplamı) simetrisiyle toplam

   ZorSık çıkar

   a₁ ve d tek tek bulunamayacak kadar az bilgi verilir; ama verilen terim çiftinin indis toplamı, istenen toplamın simetrisine denk düşer. AYT'nin zarif kısa-yol sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Kuralı hatırla: indis toplamları eşitse terim toplamları eşittir (aₚ+a_q = aᵣ+aₛ, p+q=r+s).
   2. İstenen Sₙ'yi uç çift üzerinden yaz: Sₙ = n⋅(a₁+aₙ)/2.
   3. a₁+aₙ'yi verilen çifte eşitle (4+12 = 1+15 = 16) ve hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2'ye bölmeyi unutmak (S₁₅=15⋅30)→450
   • Terim sayısını indis toplamından bir fazla alıp S₁₆ hesaplamak→16⋅30/2=240

   Örnek

   Bir aritmetik dizide a₄+a₁₂=30 olduğuna göre ilk 15 terimin toplamı S₁₅ kaçtır?

   4+12=1+15 olduğundan a₁+a₁₅=30; S₁₅=15⋅30/2=225

7. 07

   İki sayı arasına aritmetik ortalar yerleştirme

   Orta

   a ile b arasına k tane sayı yerleştirilip aritmetik dizi oluşturulur; d veya ortalardan biri istenir. Toplam terim sayısı k+2'dir — kritik sayma budur.

   Nasıl çözülür

   1. Toplam terim sayısını kur: araya k sayı girince dizi k+2 terimli olur.
   2. Son terimi bağla: b = a + (k+1)⋅d, d'yi çöz.
   3. İstenen ortayı a'dan adım adım ilerleyerek yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Farkı araya konan sayı adedine bölmek (d=24/5)→d=4,8 gibi kesirli değer
   • Terim sayısını k+2 yerine k+2+1 sayıp d=24/7 almak→d≈3,43 gibi kesirli değer

   Örnek

   5 ile 29 arasına aritmetik dizi oluşturacak biçimde 5 sayı yerleştiriliyor. Ortak fark d kaçtır?

   Dizi 7 terimli: 29=5+6d ⇒ d=4 (ortalar 9, 13, 17, 21, 25)