9. Sınıf · Sayılar

Üslü İfadeler ve Özellikleri

~7 dk okumaZorluk: Kolay6 çözümlü soru

Aynı sayıyı tekrar tekrar çarpmak yerine üslü ifade yazarız: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}$ . Bu derste üs kavramını, üslü ifadelerin özelliklerini (çarpma, bölme, kuvvetin kuvveti), negatif ve sıfır üssü ile negatif tabanlı ifadelerin işaretini öğreneceğiz. Üslü ifadeler, Sayılar temasının geri kalanında (köklü ifadeler, bilimsel gösterim) ve ileride üstel fonksiyonlarda sürekli karşına çıkar. Her kuralı bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Üs Kavramı

$a$ bir gerçek sayı, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $a^{n}$ , $a$ sayısının kendisiyle $n$ kez çarpımıdır:

$a^{n} = n tane a \cdot a \dots a$

Burada $a$ ya taban, $n$ ise üs (kuvvet) denir. Özel olarak:

$a^{1} = a$
$a^{0} = 1$ (yalnız $a \neq = 0$ için; $0^{0}$ tanımsızdır)

Örnek

Soru

$3^{4}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Tabanı $4$ kez çarp: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ .
Adım adım: $3 \cdot 3 = 9$ , $9 \cdot 3 = 27$ , $27 \cdot 3 = 81$ .

Sonuç:

3^{4} = 81

Şekil 1 —

2

'nin kuvvetleri:

2^{0}, 2^{1}, \dots, 2^{5} = 1, 2, 4, 8, 16, 32

. Üs

1

arttığında değer iki katına çıkar. Üslü ifadelerin bu hızlı (üstel) büyümesi, ileride üstel fonksiyonların temelidir.

2. Çarpma ve Bölme Kuralı

Tabanlar aynıysa, çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a \neq = 0)$

Örnek

Soru

$2^{5} \cdot 2^{3}$ ve $\frac{7 ^{6}}{7 ^{2}}$ ifadelerini tek bir üslü ifade olarak yazınız.

Çarpmada üsleri topla: $2^{5} \cdot 2^{3} = 2^{5 + 3} = 2^{8}$ .
Bölmede üsleri çıkar: $\frac{7 ^{6}}{7 ^{2}} = 7^{6 - 2} = 7^{4}$ .

Sonuç:

2^{8}

7^{4}

3. Kuvvetin Kuvveti ve Çarpımın Kuvveti

$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n} (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$

Dikkat: $(a^{m})^{n}$ ile $a^{m^{n}}$ farklıdır. İlkinde üsler çarpılır, ikincisi üst üste üstür.

Örnek

Soru

$(x^{3})^{4}$ ve $(2 y)^{3}$ ifadelerini sadeleştiriniz.

Kuvvetin kuvvetinde üsleri çarp: $(x^{3})^{4} = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ .
Çarpımın kuvvetinde her çarpanı üs al: $(2 y)^{3} = 2^{3} \cdot y^{3} = 8 y^{3}$ .

Sonuç:

x^{12}

8 y^{3}

4. Negatif Üs

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini (resiprokunu) gösterir:

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0) (\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$

Örnek

Soru

$2^{- 3}$ ve $(\frac{3}{5})^{- 2}$ ifadelerini hesaplayınız.

Negatif üs gördüğünde önce ifadeyi ters çevir, üssü pozitife döndür; sonra hesapla.

$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ .
Kesirde tabanı ters çevir, üssü pozitif yap: $(\frac{3}{5})^{- 2} = (\frac{5}{3})^{2} = \frac{25}{9}$ .

Sonuç:

\frac{1}{8}

\frac{25}{9}

5. Negatif Tabanın İşareti

Taban negatifse, sonucun işaretini üssün tek/çift olması belirler:

Üs çift ise sonuç pozitif: $(- 2)^{4} = 16$ .
Üs tek ise sonuç negatif: $(- 2)^{3} = - 8$ .

Ayrıca $(- a)^{n}$ ile $- a^{n}$ farklıdır: $- 2^{4} = - (2^{4}) = - 16$ ama $(- 2)^{4} = 16$ . Parantez, tabanın eksiyi de kapsayıp kapsamadığını belirler.

Örnek

Soru

$(- 3)^{2}$ , $- 3^{2}$ ve $(- 1)^{99}$ ifadelerini hesaplayınız.

$(- 3)^{2}$ : taban $- 3$ , üs çift → pozitif: $9$ .
$- 3^{2}$ : yalnız $3$ üslü, sonuç eksilenir: $- (3^{2}) = - 9$ .
$(- 1)^{99}$ : üs tek → negatif: $- 1$ .

Sonuç:

9, - 9, - 1

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\frac{3 ^{4} \cdot 3 ^{2}}{3 ^{5}}$ ifadesini sadeleştiriniz.

Paydaki çarpımda üsleri topla: $3^{4} \cdot 3^{2} = 3^{6}$ .
Bölmede üsleri çıkar: $\frac{3 ^{6}}{3 ^{5}} = 3^{6 - 5} = 3^{1} = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$2^{- 2} + 3^{0} + (\frac{1}{2})^{- 1}$ işleminin sonucunu bulunuz.

$2^{- 2} = \frac{1}{4}$ .
$3^{0} = 1$ .
$(\frac{1}{2})^{- 1} = \frac{2}{1} = 2$ .
Topla: $\frac{1}{4} + 1 + 2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}$ .

Sonuç:

\frac{13}{4}

Örnek

Soru

$\frac{2 ^{10}}{4 ^{3}}$ ifadesini $2$ tabanında tek üslü ifade olarak yazınız.

Paydadaki $4$ 'ü $2$ tabanına çevir: $4 = 2^{2}$ . Böylece taban birleşir.

$4^{3} = (2^{2})^{3} = 2^{6}$ .
İfade: $\frac{2 ^{10}}{2 ^{6}} = 2^{10 - 6} = 2^{4}$ .

Sonuç:

2^{4} (= 16)

Örnek

Soru

$a^{3} = 5$ ise $a^{9}$ kaçtır?

$a^{9} = (a^{3})^{3}$ olarak yaz.
Yerine koy: $(a^{3})^{3} = 5^{3} = 125$ .

Sonuç:

a^{9} = 125

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$5^{3} \cdot 5^{- 1}$ ifadesini sadeleştir.

Üsleri topla: $5^{3 + (- 1)} = 5^{2} = 25$ .

Sonuç:

25

Örnek

Soru

$(- 2)^{5}$ ve $(- 2)^{6}$ değerlerini bul.

$(- 2)^{5}$ : üs tek → negatif: $- 32$ .
$(- 2)^{6}$ : üs çift → pozitif: $64$ .

Sonuç:

- 32

64

Örnek

Soru

$(\frac{2}{3})^{- 3}$ ifadesini hesapla.

Tabanı ters çevir, üssü pozitif yap: $(\frac{3}{2})^{3}$ .
$= \frac{27}{8}$ .

Sonuç:

\frac{27}{8}

Örnek

Soru

$\frac{9 ^{2} \cdot 3}{27}$ ifadesini $3$ tabanında tek üslü ifade olarak yaz.

Her şeyi $3$ tabanına çevir: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .
Pay: $9^{2} \cdot 3 = (3^{2})^{2} \cdot 3^{1} = 3^{4} \cdot 3^{1} = 3^{5}$ .
Bölme: $\frac{3 ^{5}}{3 ^{3}} = 3^{2}$ .

Sonuç:

3^{2} (= 9)

Örnek

Soru

$2^{x} = 8$ ise $x$ kaçtır?

$8$ 'i $2$ tabanında yaz: $8 = 2^{3}$ .
Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir: $x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$(2^{- 1} + 4^{- 1})^{- 1}$ ifadesinin değerini bul.

Önce paranteziçini ortak paydada topla; en dıştaki $- 1$ üssü, çıkan kesri ters çevirir.

İç toplam: $2^{- 1} + 4^{- 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Dıştaki $- 1$ üssü ters çevirir: $(\frac{3}{4})^{- 1} = \frac{4}{3}$ .

Sonuç:

\frac{4}{3}

Örnek

Soru

$\frac{4 ^{x + 1}}{2 ^{x}} = 2^{5}$ ise $x$ kaçtır?

Her tabanı $2$ 'ye çevir: $4^{x + 1} = (2^{2})^{x + 1} = 2^{2 x + 2}$ . Sonra üsleri eşitle.

Payı $2$ tabanına çevir: $4^{x + 1} = 2^{2 (x + 1)} = 2^{2 x + 2}$ .
Böl: $\frac{2 ^{2 x + 2}}{2 ^{x}} = 2^{(2 x + 2) - x} = 2^{x + 2}$ .
Üsleri eşitle: $x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$2^{x} = 3$ ise $4^{x + 1}$ ifadesinin değerini bul.

$4^{x + 1} = (2^{2})^{x + 1} = 2^{2 x + 2} = 2^{2 x} \cdot 2^{2}$ . Ayrıca $2^{2 x} = (2^{x})^{2}$ .

$4^{x + 1} = 2^{2 x + 2} = (2^{x})^{2} \cdot 2^{2}$ .
$2^{x} = 3$ yerine koy: $3^{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ .

Sonuç:

4^{x + 1} = 36

Örnek

Soru

$\frac{2 ^{12} + 2 ^{10}}{2 ^{10}}$ ifadesinin değerini bul.

Paydaki ortak çarpan $2^{10}$ 'u paranteze al; sonra sadeleş.

Ortak çarpan: $2^{12} + 2^{10} = 2^{10} (2^{2} + 1) = 2^{10} \cdot 5$ .
Sadeleştir: $\frac{2 ^{10} \cdot 5}{2 ^{10}} = 5$ .

Sonuç:

5

Sık Yapılan Hatalar

$a^{m} \cdot a^{n}$ 'i $a^{m \cdot n}$ sanmak. Tabanlar aynıyken çarpmada üsler toplanır, çarpılmaz: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
$- a^{n}$ ile $(- a)^{n}$ 'i karıştırmak. Parantez yoksa eksi üsse dâhil değildir: $- 2^{4} = - 16$ , ama $(- 2)^{4} = 16$ .
$a^{0} = 0$ demek. Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti $1$ 'dir: $a^{0} = 1$ .
Negatif üssü "sonuç negatif" sanmak. Negatif üs işareti değiştirmez, ifadeyi tersine çevirir: $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ .
Üslü ifadeleri toplarken üs kuralı aramak. $2^{12} + 2^{10}$ , $2^{22}$ değildir; toplamda kural yoktur. Yapılacak şey ortak çarpanı paranteze almaktır: $2^{12} + 2^{10} = 2^{10} (2^{2} + 1) = 2^{10} \cdot 5$ .

Not: Farklı tabanlı bir ifadeyi sadeleştirmeden önce her şeyi ortak tabana çevir ( $4 = 2^{2}$ , $9 = 3^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $27 = 3^{3}$ ). Taban birleşince üs kuralları doğrudan uygulanır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

2^{6} \cdot 2^{- 4} \cdot 2^{0}

işleminin sonucu kaçtır?

Aynı tabanda çarpmada üsler toplanır: $2^{6} \cdot 2^{- 4} \cdot 2^{0} = 2^{6 + (- 4) + 0}$ .
Üsleri topla: $6 - 4 + 0 = 2$ , yani $2^{2}$ .
$2^{2} = 4$ .

Sonuç:

4

Soru 2Kolay

(- 2)^{4} - 2^{3}

işleminin sonucu kaçtır?

$(- 2)^{4}$ : taban $- 2$ , üs çift olduğundan sonuç pozitiftir: $(- 2)^{4} = 16$ .
$2^{3} = 8$ .
Çıkar: $16 - 8 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 3Orta

(\frac{2}{5})^{- 2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Negatif üste tabanı ters çevir, üssü pozitif yap: $(\frac{2}{5})^{- 2} = (\frac{5}{2})^{2}$ .
Pay ve paydayı ayrı ayrı üs al: $\frac{5 ^{2}}{2 ^{2}} = \frac{25}{4}$ .

Sonuç:

\frac{25}{4}

Soru 4Orta

\frac{3 ^{7} \cdot 3 ^{2}}{3 ^{5}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Paydaki çarpımda üsleri topla: $3^{7} \cdot 3^{2} = 3^{9}$ .
Bölmede üsleri çıkar: $\frac{3 ^{9}}{3 ^{5}} = 3^{9 - 5} = 3^{4}$ .
$3^{4} = 81$ .

Sonuç:

81

Soru 5Zor

9^{x} = 27

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

Her iki tarafı $3$ tabanına çevir: $9 = 3^{2}$ ve $27 = 3^{3}$ .
$9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ olduğundan denklem $3^{2 x} = 3^{3}$ olur.
Tabanlar eşit olduğundan üsler eşittir: $2 x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Soru 6Orta

2^{- 2} + (\frac{1}{3})^{- 1} + 5^{0}

işleminin sonucu kaçtır?

$2^{- 2} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ .
$(\frac{1}{3})^{- 1} = \frac{3}{1} = 3$ .
$5^{0} = 1$ .
Topla: $\frac{1}{4} + 3 + 1 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$ .

Sonuç:

\frac{17}{4}

0/6 soru cevaplandı

1. Üs Kavramı

2. Çarpma ve Bölme Kuralı

3. Kuvvetin Kuvveti ve Çarpımın Kuvveti

4. Negatif Üs

5. Negatif Tabanın İşareti

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular