9. Sınıf · Sayılar

Köklü İfadeler ve Özellikleri

~7 dk okumaZorluk: Orta5 çözümlü soru

Köklü ifade, üs almanın ters işlemidir: $5^{2} = 25$ olduğundan $25 = 5$ . Bu derste kök kavramını, köklü ifadelerde çarpma-bölmeyi, kök içine/dışına sayı taşımayı, benzer köklü ifadeleri toplama-çıkarmayı ve paydayı rasyonel yapmayı öğreneceğiz. Köklü ifadeler üslü ifadelerin doğal devamıdır ( $a = a^{1/2}$ ) ve Pisagor, analitik geometri gibi pek çok konuda karşına çıkar. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Kök Kavramı

Negatif olmayan bir $a$ sayısı için $a$ , karesi $a$ olan negatif olmayan sayıdır:

$a = b ⟺ b^{2} = a (a \geq 0, b \geq 0)$

Buna karekök denir. Genel olarak $n a$ , $n .$ kuvveti $a$ olan sayıdır ( $n$ . dereceden kök). Köklü ifade üslü biçimde de yazılır: $a = a^{\frac{1}{2}}$ , $n a = a^{\frac{1}{n}}$ .

Önemli: $a^{2} = ∣ a ∣$ 'dır. Örneğin $(- 5)^{2} = 25 = 5 = ∣ - 5∣$ .

$2$ gibi tam kare olmayan kökler tam sayı değildir ama yine de sayı doğrusu üzerinde gerçek bir noktaya karşılık gelir. Dik kenarları $1$ ve $1$ olan bir dik üçgenin hipotenüsü, Pisagor'dan $1^{2} + 1^{2} = 2$ uzunluğundadır; bu uzunluğu eksene yatırınca $2 \approx 1, 41$ noktasını işaretleriz.

Şekil 1 —

2

'nin sayı doğrusu üzerinde inşası. Dik kenarları

1

olan dik üçgenin hipotenüsü

2

'dir; bu uzunluk eksene yatırılınca

2 \approx 1, 41

noktası bulunur. Demek ki köklü sayılar da birer gerçek sayıdır.

Örnek

Soru

$49$ , $38$ ve $(- 7)^{2}$ değerlerini bulunuz.

$49 = 7$ çünkü $7^{2} = 49$ .
$38 = 2$ çünkü $2^{3} = 8$ .
$(- 7)^{2} = 49 = 7$ (sonuç negatif olamaz; $∣ - 7∣ = 7$ ).

Sonuç:

7, 2, 7

2. Çarpma ve Bölme

Aynı dereceden kökler tek bir kök altında çarpılıp bölünebilir:

$a \cdot b = a \cdot b \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0)$

Örnek

Soru

$3 \cdot 12$ ve $\frac{50}{2}$ ifadelerini hesaplayınız.

Çarpımı tek kök altında topla: $3 \cdot 12 = 36 = 6$ .
Bölümü tek kök altında yaz: $\frac{50}{2} = \frac{50}{2} = 25 = 5$ .

Sonuç:

6

5

3. Kök İçine ve Dışına Sayı Taşıma

Kök içindeki bir çarpanın tam kare kısmı dışarı çıkarılabilir:

$a^{2} \cdot b = a b (a \geq 0)$

Tersine, dışarıdaki bir sayı kareyle çarpılarak içeri alınır: $a b = a^{2} b$ .

Örnek

Soru

$72$ ifadesini en sade köklü biçimde yazınız.

$72$ 'yi bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı olarak ayır: $72 = 36 \cdot 2$ .

Tam kare çarpan bul: $72 = 36 \cdot 2$ .
Kareyi dışarı çıkar: $72 = 36 \cdot 2 = 62$ .

Sonuç:

62

4. Toplama ve Çıkarma

Köklü ifadeler ancak kök içleri aynıysa (benzer köklüyse) toplanıp çıkarılır; katsayılar toplanır, kök aynı kalır:

$m c \pm n c = (m \pm n) c$

Kök içleri farklıysa önce sadeleştirip benzer hale getirmeyi dene.

Örnek

Soru

$8 + 32$ işlemini yapınız.

Önce $8$ 'i sadeleştir: $8 = 4 \cdot 2 = 22$ .
Artık kök içleri aynı: $22 + 32 = (2 + 3) 2 = 52$ .

Sonuç:

52

5. Paydayı Rasyonel Yapma

Paydadaki kökten kurtulmak için pay ve paydayı uygun bir ifadeyle çarparız:

$\frac{1}{a} = \frac{a}{a} \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}$

İkinci durumda paydanın eşleniği ( $a - b$ ) ile çarpılır.

Örnek

Soru

$\frac{6}{3}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Pay ve paydayı $3$ ile çarp: $\frac{6}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{6 3}{3}$ .
Sadeleştir: $\frac{6 3}{3} = 23$ .

Sonuç:

23

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$45 - 20$ işlemini yapınız.

Her köklüyü sadeleştir: $45 = 9 \cdot 5 = 35$ , $20 = 4 \cdot 5 = 25$ .
Benzer köklüleri çıkar: $35 - 25 = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$2 \cdot 6 \cdot 3$ ifadesini hesaplayınız.

Tek kök altında çarp: $2 \cdot 6 \cdot 3 = 36$ .
$36 = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$\frac{1}{5 - 2}$ ifadesinin paydasını rasyonel yapınız.

Paydanın eşleniği $5 + 2$ 'dir. Pay ve paydayı bununla çarp; payda $(5)^{2} - 2^{2}$ olur.

Eşlenikle çarp: $\frac{1}{5 - 2} \cdot \frac{5 + 2}{5 + 2} = \frac{5 + 2}{( 5 ) ^{2} - 2 ^{2}}$ .
Paydayı hesapla: $(5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$ .
Sonuç: $\frac{5 + 2}{1} = 5 + 2$ .

Sonuç:

5 + 2

Örnek

Soru

$3 = a$ ise $27$ ifadesini $a$ cinsinden yazınız.

$27$ 'yi sadeleştir: $27 = 9 \cdot 3 = 33$ .
$3 = a$ yerine koy: $33 = 3 a$ .

Sonuç:

3 a

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$200$ ifadesini en sade köklü biçimde yaz.

Tam kare çarpan: $200 = 100 \cdot 2$ .
$200 = 102$ .

Sonuç:

102

Örnek

Soru

$23 + 12 - 27$ işlemini yap.

Sadeleştir: $12 = 23$ , $27 = 33$ .
Topla-çıkar: $23 + 23 - 33 = (2 + 2 - 3) 3 = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$\frac{18}{2}$ ifadesini hesapla.

Tek kök altında yaz: $\frac{18}{2} = 9 = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$\frac{10}{5}$ ifadesinin paydasını rasyonel yap.

$5$ ile çarp: $\frac{10 5}{5}$ .
Sadeleştir: $25$ .

Sonuç:

25

Örnek

Soru

$(- 9)^{2} + 16$ işleminin sonucunu bul.

$(- 9)^{2} = ∣ - 9∣ = 9$ .
$16 = 4$ .
Topla: $9 + 4 = 13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

$50 + 18 - 8$ işlemini yap.

Üç köklüyü de $a 2$ biçimine getir; kök içleri eşitlenince katsayıları topla-çıkar.

Sadeleştir: $50 = 52$ , $18 = 32$ , $8 = 22$ .
Katsayıları işle: $(5 + 3 - 2) 2 = 62$ .

Sonuç:

62

Örnek

Soru

$(23)^{2} + 48$ işleminin sonucunu bul.

Bir çarpımın karesinde her çarpanın karesini al: $(23)^{2} = 2^{2} \cdot (3)^{2}$ .

Kare: $(23)^{2} = 2^{2} \cdot (3)^{2} = 4 \cdot 3 = 12$ .
Sadeleştir: $48 = 16 \cdot 3 = 43$ .
Topla: $12 + 43$ (köklü ve tam sayı terim ayrı kalır).

Sonuç:

12 + 43

Örnek

Soru

$\frac{6}{5 + 2}$ ifadesinin paydasını rasyonel yap.

Paydanın eşleniği $5 - 2$ 'dir; pay ve paydayı bununla çarp. Payda $(5)^{2} - (2)^{2}$ olur.

Eşlenikle çarp: $\frac{6}{5 + 2} \cdot \frac{5 - 2}{5 - 2} = \frac{6 ( 5 - 2 )}{( 5 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}}$ .
Payda: $5 - 2 = 3$ .
Sadeleştir: $\frac{6 ( 5 - 2 )}{3} = 2 (5 - 2)$ .

Sonuç:

25 - 22

Örnek

Soru

$6 = a$ ise $24 + 54$ ifadesini $a$ cinsinden yaz.

Her iki kökü de kök içi $6$ olacak şekilde sadeleştir; sonra $6 = a$ yaz.

$24 = 4 \cdot 6 = 26$ , $54 = 9 \cdot 6 = 36$ .
Topla: $26 + 36 = 56$ .
$6 = a$ yerine koy: $5 a$ .

Sonuç:

5 a

Sık Yapılan Hatalar

$a + b = a + b$ sanmak. Bu yanlıştır; kök, toplama üzerine dağılmaz. Örneğin $9 + 16 = 25 = 5$ , ama $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ .
Kök içleri farklı olanı toplamak. $23 + 2$ sadeleşmez; yalnız benzer köklüler toplanır.
$a^{2} = a$ demek. Doğrusu $a^{2} = ∣ a ∣$ 'dır; sonuç negatif olamaz.
Sadeleştirmeden işlem yapmak. Toplama/çıkarmada önce her köklüyü $a b$ biçimine getir; benzerlik çoğu zaman ancak o zaman görünür.

Not: Köklü ifadelerde ilk refleksin sadeleştirme olsun: kök içini tam kare çarpanlarına ayır. Payda köklüyse eşlenikle çarparak rasyonel yap; iki terimli paydalarda eşlenik, ortadaki işaretin tersidir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

6 \cdot 24

işleminin sonucu kaçtır?

Aynı dereceden kökler tek kök altında çarpılır: $6 \cdot 24 = 6 \cdot 24 = 144$ .
$144 = 12$ çünkü $1 2^{2} = 144$ .
Doğru cevap A.

Sonuç:

6 \cdot 24 = 144 = 12

Soru 2Kolay

(- 6)^{2} + 3 - 27

işleminin sonucu kaçtır?

$(- 6)^{2} = 36 = ∣ - 6∣ = 6$ (karekök negatif olamaz).
$3 - 27 = - 3$ çünkü $(- 3)^{3} = - 27$ .
Topla: $6 + (- 3) = 3$ .
Doğru cevap C.

Sonuç:

(- 6)^{2} = 6

3 - 27 = - 3

olduğundan sonuç

6 - 3 = 3

Soru 3Orta

75 + 12 - 48

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Her köklüyü sadeleştir: $75 = 25 \cdot 3 = 53$ .
$12 = 4 \cdot 3 = 23$ ve $48 = 16 \cdot 3 = 43$ .
Benzer köklüleri işle: $(5 + 2 - 4) 3 = 33$ .
Doğru cevap A.

Sonuç:

53 + 23 - 43 = 33

Soru 4Orta

\frac{4}{7 - 3}

ifadesinin paydası rasyonel yapıldığında elde edilen sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

Paydanın eşleniği $7 + 3$ 'tür. Pay ve paydayı bununla çarp: $\frac{4}{7 - 3} \cdot \frac{7 + 3}{7 + 3} = \frac{4 ( 7 + 3 )}{( 7 ) ^{2} - ( 3 ) ^{2}}$ .
Paydayı hesapla: $7 - 3 = 4$ .
Sadeleştir: $\frac{4 ( 7 + 3 )}{4} = 7 + 3$ .
Doğru cevap B.

Sonuç: Eşlenikle çarpılınca payda

4

olur ve sonuç

7 + 3

'tür.

Soru 5Zor

3 \approx 1, 7

alındığına göre,

12 + 75

ifadesinin yaklaşık değeri kaçtır?

Köklüleri sadeleştir: $12 = 4 \cdot 3 = 23$ ve $75 = 25 \cdot 3 = 53$ .
Benzer köklüleri topla: $23 + 53 = 73$ .
$3 \approx 1, 7$ yaz: $7 \cdot 1, 7 = 11, 9$ .
Doğru cevap A.

Sonuç:

12 + 75 = 73 \approx 7 \cdot 1, 7 = 11, 9

0/5 soru cevaplandı

1. Kök Kavramı

2. Çarpma ve Bölme

3. Kök İçine ve Dışına Sayı Taşıma

4. Toplama ve Çıkarma

5. Paydayı Rasyonel Yapma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular