9. Sınıf · Sayılar

Kümeler ve Sayı Kümeleri

~6 dk okumaZorluk: Kolay4 çözümlü soru

Sayılar temasına başlarken ortak dili kuralım: bir küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. Bu derste küme ve eleman kavramını, kümeyi gösterme yollarını ve alt küme fikrini kısaca gördükten sonra asıl hedefimize geçeceğiz — sayı kümeleri $N, Z, Q, R$ ve aralarındaki kapsama ilişkileri. Bu kümeler, temanın geri kalanında (üslü-köklü ifadeler, gerçek sayılarda işlemler ve aralıklar) sürekli kullanacağın zemindir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla beceriyi adım adım pekiştireceğiz.

1. Küme ve Eleman

Bir kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Kümeler büyük harfle ( $A, B$ ), elemanlar küçük harfle gösterilir. $x$ nesnesi $A$ kümesinin elemanıysa $x \in A$ , değilse $x \in / A$ yazılır. Bir küme iyi tanımlı olmalıdır: bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesin belli olmalıdır.

Bir kümede aynı eleman bir kez yazılır ve elemanların sırası önemli değildir: ${1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3} = {3, 1, 2}$ . Eleman sayısı $s (A)$ ile gösterilir; hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir: $\emptyset$ , $s (\emptyset) = 0$ .

Örnek

Soru

$A = {x : x, 1 0^{'} dan k \overset{u}{¨} \overset{c}{¸} \overset{u}{¨} k asal say ı}$ kümesini liste yöntemiyle yazıp eleman sayısını bulunuz.

$10$ 'dan küçük asal sayılar: $2, 3, 5, 7$ .
Eleman sayısı $4$ 'tür.

Sonuç:

A = {2, 3, 5, 7}

s (A) = 4

2. Alt Küme

$A$ kümesinin her elemanı $B$ 'de de bulunuyorsa $A$ , $B$ 'nin alt kümesidir ( $A \subseteq B$ ). Boş küme her kümenin alt kümesidir ( $\emptyset \subseteq A$ ) ve her küme kendisinin alt kümesidir ( $A \subseteq A$ ). $n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^{n}$ 'dir.

Örnek

Soru

$A = {a, b, c}$ kümesinin kaç alt kümesi vardır?

Eleman sayısı $n = 3$ .
Alt küme sayısı $2^{n} = 2^{3} = 8$ .

Sonuç:

8

alt küme.

3. Sayı Kümeleri

Sayılar, iç içe geçmiş kümeler hâlinde sınıflandırılır:

Doğal sayılar $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$
Tam sayılar $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$ — doğal sayılar ve negatifleri.
Rasyonel sayılar $Q = {\frac{a}{b} : a, b \in Z, b \neq = 0}$ — kesir olarak yazılabilen sayılar. Ondalık açılımı sonlu ya da devirli olanlar rasyoneldir.
İrrasyonel sayılar — kesir olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz sayılar: $2, π, e$ gibi.
Gerçek (reel) sayılar $R$ — rasyonel ve irrasyonel sayıların tümü.

Bu kümeler arasında şu kapsama zinciri vardır:

$N \subset Z \subset Q \subset R$

İrrasyonel sayılar kümesi ise $R$ 'nin içinde, $Q$ ile ayrık olan kısımdır: bir gerçek sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir.

Şekil 1 — Sayı kümeleri iç içedir:

N \subset Z \subset Q \subset R

. En içte doğal sayılar, sonra sırayla tam ve rasyonel sayılar gelir. İrrasyonel sayılar (

2, π, e

) ise

R

'nin içinde ama

Q

'nun dışında kalan bölgedir.

Örnek

Soru

$- 3, \frac{2}{5}, 9, 5, 0, 25, π$ sayılarını $Z$ , $Q$ ve irrasyonel olarak sınıflandırınız.

Önce sadeleştir: $9$ ve $0, 25$ göründüğü gibi kalmayabilir. Bir kök tam sayıya eşitse o sayı artık irrasyonel değildir.

$- 3$ bir tam sayıdır: $- 3 \in Z$ (ve dolayısıyla $Q$ , $R$ ).
$\frac{2}{5}$ kesirdir: rasyonel, $\in Q$ .
$9 = 3$ olduğundan tam sayıdır: $\in Z$ .
$5$ tam kare değildir: irrasyonel.
$0, 25 = \frac{1}{4}$ sonlu ondalıktır: rasyonel, $\in Q$ .
$π$ devirsiz sonsuz ondalıktır: irrasyonel.

Sonuç:

Z

- 3, 9

Q

(tam sayı olmayan):

\frac{2}{5}, 0, 25

. İrrasyonel:

5, π

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A = {x : - 2 \leq x < 3, x \in Z}$ kümesini liste yöntemiyle yazınız.

Koşul: $- 2$ dâhil, $3$ hariç tam sayılar.
Bunlar: $- 2, - 1, 0, 1, 2$ .

Sonuç:

A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

Örnek

Soru

$0, 3434 \dots$ (devirli) sayısı rasyonel midir? Gerekçesini yazınız.

Ondalık açılımı devirli ( $34$ tekrar ediyor).
Devirli ondalıklar kesir olarak yazılabilir; gerçekten $0, \overline{34} = \frac{34}{99}$ .
Kesir olarak yazıldığından rasyoneldir.

Sonuç: Evet, rasyoneldir:

\frac{34}{99} \in Q

Örnek

Soru

$N \subset Z \subset Q \subset R$ kapsamasına göre aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirtiniz: $- 5 \in N$ , $\frac{1}{2} \in Z$ , $7 \in Q$ , $2 \in R$ .

$- 5 \in N$ yanlış: doğal sayılar negatif olmaz ( $- 5 \in Z$ doğru olurdu).
$\frac{1}{2} \in Z$ yanlış: tam sayı değildir ( $\in Q$ doğru).
$7 \in Q$ doğru: $7 = \frac{7}{1}$ .
$2 \in R$ doğru: irrasyonel de olsa bir gerçek sayıdır.

Sonuç: Sırasıyla: Y, Y, D, D.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$B = {x : 1 < x \leq 6, x \in N}$ kümesini liste yöntemiyle yaz ve eleman sayısını bul.

$1$ hariç, $6$ dâhil doğal sayılar: $2, 3, 4, 5, 6$ .
Eleman sayısı $5$ .

Sonuç:

B = {2, 3, 4, 5, 6}

s (B) = 5

Örnek

Soru

$4$ elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

$2^{n} = 2^{4} = 16$ .

Sonuç:

16

alt küme.

Örnek

Soru

$16, 7, \frac{3}{4}, - 2, 1, 5$ sayılarından hangileri irrasyoneldir?

$16 = 4$ → tam sayı, rasyonel.
$7$ → tam kare değil, irrasyonel.
$\frac{3}{4}$ , $- 2$ , $1, 5 = \frac{3}{2}$ → hepsi rasyonel.

Sonuç: Yalnız

7

irrasyoneldir.

Örnek

Soru

Bir gerçek sayı hem rasyonel hem irrasyonel olabilir mi? Açıkla.

$Q$ ve irrasyonel sayılar kümesi ayrıktır (ortak elemanları yoktur).
Her gerçek sayı bu iki gruptan tam olarak birine girer.

Sonuç: Hayır; bir sayı ya rasyoneldir ya irrasyonel, ikisi birden olamaz.

Örnek

Soru

$C = {x : x^{2} < 10, x \in N}$ kümesini liste yöntemiyle yaz ve eleman sayısını bul.

Koşul: karesi $10$ 'dan küçük olan doğal sayılar.
$0^{2} = 0, 1^{2} = 1, 2^{2} = 4, 3^{2} = 9$ hepsi $< 10$ ; $4^{2} = 16$ değil.
Bunlar: $0, 1, 2, 3$ .

Sonuç:

C = {0, 1, 2, 3}

s (C) = 4

Örnek

Soru

$A = {1, 2}$ kümesinin tüm alt kümelerini yazıp sayısını alt küme formülüyle doğrula.

Alt kümeler: $\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}$ .
Formülle: $n = 2$ olduğundan $2^{2} = 4$ . Listeyle aynı.

Sonuç:

\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}

— toplam

4

alt küme.

Örnek

Soru

$0, \overline{6}$ (yani $0, 666 \dots$ ) sayısının hangi kesre eşit olduğunu, $x = 0, \overline{6}$ kurup bularak göster; rasyonel olduğunu doğrula.

$x = 0, \overline{6}$ de. Devir tek basamak olduğundan $10 x$ ile $x$ 'i taraf tarafa çıkar; ondalık kuyruk silinir.

$x = 0, 666 \dots$ olsun. O hâlde $10 x = 6, 666 \dots$
Çıkar: $10 x - x = 6, 666 \dots - 0, 666 \dots$ , yani $9 x = 6$ .
$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . Kesir olarak yazıldığından rasyoneldir.

Sonuç:

0, \overline{6} = \frac{2}{3} \in Q

Örnek

Soru

$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $32$ ise $n$ kaçtır? Bu kümenin kaç tane öz alt kümesi (kendisi hariç alt kümesi) vardır?

Alt küme sayısı $2^{n}$ . Öz alt küme, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerdir; sayısı $2^{n} - 1$ 'dir.

$2^{n} = 32 = 2^{5}$ olduğundan $n = 5$ .
Öz alt küme sayısı: kümenin kendisini çıkar → $2^{5} - 1 = 31$ .

Sonuç:

n = 5

; öz alt küme sayısı

31

Örnek

Soru

$a = \frac{12}{3}$ ve $b = 2 \cdot 8$ sayıları veriliyor. $a$ ve $b$ 'nin hangi sayı kümelerine ait olduğunu (en dar küme) belirle.

Kökleri tek kök altında topla ( $p \cdot q = pq$ , $\frac{p}{q} = \frac{p}{q}$ ); sonuç tam kareyse sayı bir tam sayıdır.

$a = \frac{12}{3} = 4 = 2$ → doğal sayı: $a \in N$ .
$b = 2 \cdot 8 = 16 = 4$ → doğal sayı: $b \in N$ .
İkisi de tam kareye indiğinden irrasyonel değildir.

Sonuç:

a = 2 \in N

b = 4 \in N

(her ikisi de rasyonel).

Sık Yapılan Hatalar

$\in$ ile $\subseteq$ 'i karıştırmak. $\in$ "eleman olma"yı, $\subseteq$ "alt küme olma"yı belirtir.
$a$ 'yı sadeleştirmeden irrasyonel demek. $9 = 3$ ya da $16 = 4$ gibi tam kareler rasyoneldir; önce kökü sadeleştir.
Devirli ondalığı irrasyonel sanmak. Devirli ondalıklar ( $0, \overline{3} = \frac{1}{3}$ gibi) rasyoneldir; irrasyonel olanlar devirsiz ve sonsuzdur.
$N$ 'yi negatifleri de kapsıyor sanmak. Doğal sayılar negatif değildir; negatifler ancak $Z$ 'de görünür.

Not: Tema boyunca $N \subset Z \subset Q \subset R$ zincirini aklında tut — üslü/köklü ifadeler ve aralıklarla işlemlerde hangi sayı kümesinde çalıştığın sonucu doğrudan etkiler.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A = {x : - 3 \leq x < 2, x \in Z}

kümesi liste yöntemiyle yazıldığında eleman sayısı

s (A)

kaçtır?

Koşul: $- 3$ dâhil, $2$ hariç tam sayılar.
Elemanlar: $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ .
Sayarız: $5$ eleman vardır, yani $s (A) = 5$ .

Sonuç:

s (A) = 5

(A seçeneği:

{- 3, - 2, - 1, 0, 1}

Soru 2Orta

Bir kümenin alt küme sayısı

64

olduğuna göre bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^{n}$ 'dir.
$2^{n} = 64 = 2^{6}$ olduğundan $n = 6$ .
Eleman sayısı $6$ 'dır.

Sonuç:

n = 6

Soru 3Orta

5

elemanlı bir kümenin kaç tane öz alt kümesi (kendisi hariç alt kümesi) vardır?

Alt küme sayısı $2^{n} = 2^{5} = 32$ .
Öz alt küme, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerdir; sayısı $2^{n} - 1$ .
$2^{5} - 1 = 32 - 1 = 31$ .

Sonuç:

31

öz alt küme.

Soru 4Zor

6

elemanlı bir

A

kümesinin, belirli bir

k

elemanını mutlaka içeren kaç tane alt kümesi vardır?

$k$ elemanı her alt kümede zorunlu olarak yer alacak.
Geriye kalan $6 - 1 = 5$ elemanın her biri için 'var/yok' iki seçenek vardır.
Bu alt kümelerin sayısı $2^{5} = 32$ 'dir.
(Kontrol: $k$ içerenler ile içermeyenler eşit paylaşır; $\frac{2 ^{6}}{2} = 32$ .)

Sonuç:

32

alt küme.

0/4 soru cevaplandı

1. Küme ve Eleman

2. Alt Küme

3. Sayı Kümeleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sayılar — diğer konular