9. Sınıf · Sayılar

Kümeler ve Sayı Kümeleri

~6 dk okumaZorluk: Kolay15 çözümlü soru

Sayılar temasına başlarken ortak dili kuralım: bir küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. Bu derste küme ve eleman kavramını, kümeyi gösterme yollarını ve alt küme fikrini kısaca gördükten sonra asıl hedefimize geçeceğiz — sayı kümeleri $\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$ ve aralarındaki kapsama ilişkileri. Bu kümeler, temanın geri kalanında (üslü-köklü ifadeler, gerçek sayılarda işlemler ve aralıklar) sürekli kullanacağın zemindir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla beceriyi adım adım pekiştireceğiz.

1. Küme ve Eleman

Bir kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Kümeler büyük harfle ( $A,\ B$ ), elemanlar küçük harfle gösterilir. $x$ nesnesi $A$ kümesinin elemanıysa $x\in A$ , değilse $x\notin A$ yazılır. Bir küme iyi tanımlı olmalıdır: bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesin belli olmalıdır.

Bir kümede aynı eleman bir kez yazılır ve elemanların sırası önemli değildir: $\{1,\ 2,\ 2,\ 3\}=\{1,\ 2,\ 3\}=\{3,\ 1,\ 2\}$ . Eleman sayısı $s(A)$ ile gösterilir; hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir: $\varnothing$ , $s(\varnothing)=0$ .

Örnek

Soru

$A=\{x\,:\,x,\ 10'\text{dan küçük asal sayı}\}$ kümesini liste yöntemiyle yazıp eleman sayısını bulunuz.

$10$ 'dan küçük asal sayılar: $2,\ 3,\ 5,\ 7$ .
Eleman sayısı $4$ 'tür.

Sonuç:

A=\{2,\ 3,\ 5,\ 7\}

s(A)=4

2. Alt Küme

$A$ kümesinin her elemanı $B$ 'de de bulunuyorsa $A$ , $B$ 'nin alt kümesidir ( $A\subseteq B$ ). Boş küme her kümenin alt kümesidir ( $\varnothing\subseteq A$ ) ve her küme kendisinin alt kümesidir ( $A\subseteq A$ ). $n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^n$ 'dir.

Örnek

Soru

$A=\{a,\ b,\ c\}$ kümesinin kaç alt kümesi vardır?

Eleman sayısı $n=3$ .
Alt küme sayısı $2^n=2^3=8$ .

Sonuç:

8

alt küme.

3. Sayı Kümeleri

Sayılar, iç içe geçmiş kümeler hâlinde sınıflandırılır:

Doğal sayılar $\mathbb{N}=\{0,\ 1,\ 2,\ 3,\dots\}$
Tam sayılar $\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\dots\}$ — doğal sayılar ve negatifleri.
Rasyonel sayılar $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b}\,:\,a,b\in\mathbb{Z},\ b\neq 0\right\}$ — kesir olarak yazılabilen sayılar. Ondalık açılımı sonlu ya da devirli olanlar rasyoneldir.
İrrasyonel sayılar — kesir olarak yazılamayan, ondalık açılımı sonsuz ve devirsiz sayılar: $\sqrt{2},\ \pi,\ e$ gibi.
Gerçek (reel) sayılar $\mathbb{R}$ — rasyonel ve irrasyonel sayıların tümü.

Bu kümeler arasında şu kapsama zinciri vardır:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

İrrasyonel sayılar kümesi ise $\mathbb{R}$ 'nin içinde, $\mathbb{Q}$ ile ayrık olan kısımdır: bir gerçek sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir.

Şekil 1 — Sayı kümeleri iç içedir:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

. En içte doğal sayılar, sonra sırayla tam ve rasyonel sayılar gelir. İrrasyonel sayılar (

\sqrt{2},\ \pi,\ e

) ise

\mathbb{R}

'nin içinde ama

\mathbb{Q}

'nun dışında kalan bölgedir.

Örnek

Soru

$-3,\quad \dfrac{2}{5},\quad \sqrt{9},\quad \sqrt{5},\quad 0{,}25,\quad \pi$ sayılarını $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ ve irrasyonel olarak sınıflandırınız.

Önce sadeleştir: $\sqrt{9}$ ve $0{,}25$ göründüğü gibi kalmayabilir. Bir kök tam sayıya eşitse o sayı artık irrasyonel değildir.

$-3$ bir tam sayıdır: $-3\in\mathbb{Z}$ (ve dolayısıyla $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ ).
$\dfrac{2}{5}$ kesirdir: rasyonel, $\in\mathbb{Q}$ .
$\sqrt{9}=3$ olduğundan tam sayıdır: $\in\mathbb{Z}$ .
$\sqrt{5}$ tam kare değildir: irrasyonel.
$0{,}25=\dfrac{1}{4}$ sonlu ondalıktır: rasyonel, $\in\mathbb{Q}$ .
$\pi$ devirsiz sonsuz ondalıktır: irrasyonel.

Sonuç:

\mathbb{Z}

-3,\ \sqrt{9}

\mathbb{Q}

(tam sayı olmayan):

\dfrac{2}{5},\ 0{,}25

. İrrasyonel:

\sqrt{5},\ \pi

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A=\{x\,:\,-2\le x<3,\ x\in\mathbb{Z}\}$ kümesini liste yöntemiyle yazınız.

Koşul: $-2$ dâhil, $3$ hariç tam sayılar.
Bunlar: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ .

Sonuç:

A=\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2\}

Örnek

Soru

$0{,}3434\ldots$ (devirli) sayısı rasyonel midir? Gerekçesini yazınız.

Ondalık açılımı devirli ( $34$ tekrar ediyor).
Devirli ondalıklar kesir olarak yazılabilir; gerçekten $0{,}\overline{34}=\dfrac{34}{99}$ .
Kesir olarak yazıldığından rasyoneldir.

Sonuç: Evet, rasyoneldir:

\dfrac{34}{99}\in\mathbb{Q}

Örnek

Soru

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ kapsamasına göre aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu belirtiniz: $-5\in\mathbb{N}$ , $\;\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Z}$ , $\;7\in\mathbb{Q}$ , $\;\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ .

$-5\in\mathbb{N}$ yanlış: doğal sayılar negatif olmaz ( $-5\in\mathbb{Z}$ doğru olurdu).
$\dfrac{1}{2}\in\mathbb{Z}$ yanlış: tam sayı değildir ( $\in\mathbb{Q}$ doğru).
$7\in\mathbb{Q}$ doğru: $7=\dfrac{7}{1}$ .
$\sqrt{2}\in\mathbb{R}$ doğru: irrasyonel de olsa bir gerçek sayıdır.

Sonuç: Sırasıyla: Y, Y, D, D.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$B=\{x\,:\,1<x\le 6,\ x\in\mathbb{N}\}$ kümesini liste yöntemiyle yaz ve eleman sayısını bul.

$1$ hariç, $6$ dâhil doğal sayılar: $2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ .
Eleman sayısı $5$ .

Sonuç:

B=\{2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}

s(B)=5

Örnek

Soru

$4$ elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

$2^n=2^4=16$ .

Sonuç:

16

alt küme.

Örnek

Soru

$\sqrt{16},\quad \sqrt{7},\quad \dfrac{3}{4},\quad -2,\quad 1{,}5$ sayılarından hangileri irrasyoneldir?

$\sqrt{16}=4$ → tam sayı, rasyonel.
$\sqrt{7}$ → tam kare değil, irrasyonel.
$\dfrac{3}{4}$ , $-2$ , $1{,}5=\dfrac{3}{2}$ → hepsi rasyonel.

Sonuç: Yalnız

\sqrt{7}

irrasyoneldir.

Örnek

Soru

Bir gerçek sayı hem rasyonel hem irrasyonel olabilir mi? Açıkla.

$\mathbb{Q}$ ve irrasyonel sayılar kümesi ayrıktır (ortak elemanları yoktur).
Her gerçek sayı bu iki gruptan tam olarak birine girer.

Sonuç: Hayır; bir sayı ya rasyoneldir ya irrasyonel, ikisi birden olamaz.

Örnek

Soru

$C=\{x\,:\,x^2<10,\ x\in\mathbb{N}\}$ kümesini liste yöntemiyle yaz ve eleman sayısını bul.

Koşul: karesi $10$ 'dan küçük olan doğal sayılar.
$0^2=0,\ 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9$ hepsi $<10$ ; $4^2=16$ değil.
Bunlar: $0,\ 1,\ 2,\ 3$ .

Sonuç:

C=\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}

s(C)=4

Örnek

Soru

$A=\{1,\ 2\}$ kümesinin tüm alt kümelerini yazıp sayısını alt küme formülüyle doğrula.

Alt kümeler: $\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}$ .
Formülle: $n=2$ olduğundan $2^2=4$ . Listeyle aynı.

Sonuç:

\varnothing,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}

— toplam

4

alt küme.

Örnek

Soru

$0{,}\overline{6}$ (yani $0{,}666\ldots$ ) sayısının hangi kesre eşit olduğunu, $x=0{,}\overline{6}$ kurup bularak göster; rasyonel olduğunu doğrula.

$x=0{,}\overline{6}$ de. Devir tek basamak olduğundan $10x$ ile $x$ 'i taraf tarafa çıkar; ondalık kuyruk silinir.

$x=0{,}666\ldots$ olsun. O hâlde $10x=6{,}666\ldots$
Çıkar: $10x-x=6{,}666\ldots-0{,}666\ldots$ , yani $9x=6$ .
$x=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ . Kesir olarak yazıldığından rasyoneldir.

Sonuç:

0{,}\overline{6}=\dfrac{2}{3}\in\mathbb{Q}

Örnek

Soru

$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $32$ ise $n$ kaçtır? Bu kümenin kaç tane öz alt kümesi (kendisi hariç alt kümesi) vardır?

Alt küme sayısı $2^n$ . Öz alt küme, kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerdir; sayısı $2^n-1$ 'dir.

$2^n=32=2^5$ olduğundan $n=5$ .
Öz alt küme sayısı: kümenin kendisini çıkar → $2^5-1=31$ .

Sonuç:

n=5

; öz alt küme sayısı

31

Örnek

Soru

$a=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ ve $b=\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$ sayıları veriliyor. $a$ ve $b$ 'nin hangi sayı kümelerine ait olduğunu (en dar küme) belirle.

Kökleri tek kök altında topla ( $\sqrt{p}\cdot\sqrt{q}=\sqrt{pq}$ , $\frac{\sqrt p}{\sqrt q}=\sqrt{\frac pq}$ ); sonuç tam kareyse sayı bir tam sayıdır.

$a=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$ → doğal sayı: $a\in\mathbb{N}$ .
$b=\sqrt{2\cdot 8}=\sqrt{16}=4$ → doğal sayı: $b\in\mathbb{N}$ .
İkisi de tam kareye indiğinden irrasyonel değildir.

Sonuç:

a=2\in\mathbb{N}

\;b=4\in\mathbb{N}

(her ikisi de rasyonel).

Sık Yapılan Hatalar

$\in$ ile $\subseteq$ 'i karıştırmak. $\in$ "eleman olma"yı, $\subseteq$ "alt küme olma"yı belirtir.
$\sqrt{a}$ 'yı sadeleştirmeden irrasyonel demek. $\sqrt{9}=3$ ya da $\sqrt{16}=4$ gibi tam kareler rasyoneldir; önce kökü sadeleştir.
Devirli ondalığı irrasyonel sanmak. Devirli ondalıklar ( $0{,}\overline{3}=\tfrac{1}{3}$ gibi) rasyoneldir; irrasyonel olanlar devirsiz ve sonsuzdur.
$\mathbb{N}$ 'yi negatifleri de kapsıyor sanmak. Doğal sayılar negatif değildir; negatifler ancak $\mathbb{Z}$ 'de görünür.

Not: Tema boyunca $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ zincirini aklında tut — üslü/köklü ifadeler ve aralıklarla işlemlerde hangi sayı kümesinde çalıştığın sonucu doğrudan etkiler.

1. Küme ve Eleman

2. Alt Küme

3. Sayı Kümeleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sayılar — diğer konular