9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik

Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

İki üçgen ya birebir aynıdır (eş) ya da biri diğerinin büyütülmüş/küçültülmüş hâlidir (benzer). Bu derste eşlik ve benzerliğin koşullarını (K.A.K, A.K.A, A.A gibi), benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların orantılı olduğunu ve benzerlik oranını öğreneceğiz. Benzerlik, doğrudan ölçülemeyen uzunlukları (gölge boyu, harita ölçeği) bulmanın anahtarıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Eşlik

İki üçgen, karşılıklı kenarları ve açıları birebir eşitse eştir ( $≅$ ). Eşliği kanıtlamak için tüm altı ölçüye gerek yoktur; şu koşullardan biri yeter:

K.K.K — üç kenar karşılıklı eşit.
K.A.K — iki kenar ve aralarındaki açı eşit.
A.K.A — iki açı ve aralarındaki kenar eşit.

Eş üçgenlerin benzerlik oranı $1$ 'dir (aynı boyut).

Örnek

Soru

$A B C$ ve $D E F$ üçgenlerinde $∣ A B ∣ = ∣ D E ∣$ , $A = D$ ve $∣ A C ∣ = ∣ D F ∣$ veriliyor. Bu üçgenler eş midir? Hangi kurala göre?

İki kenar ( $A B = D E$ , $A C = D F$ ) ve aralarındaki açı ( $A = D$ ) eşit.
Bu, K.A.K eşlik kuralıdır.

Sonuç: Evet, K.A.K kuralına göre eştir.

2. Benzerlik

İki üçgen, karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise benzerdir ( $\sim$ ). Benzerliği göstermek için en pratik koşul:

A.A — iki açısı karşılıklı eşit olan üçgenler benzerdir (üçüncü açı zaten eşit olur).

Şekil 1 — Karşılıklı açıları eşit iki benzer üçgen. Karşılıklı kenarlar aynı oranda büyür; bu ortak orana benzerlik oranı (

k

) denir.

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı sabittir:

$\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} = k$

Örnek

Soru

$A B C \sim D E F$ ve benzerlik oranı $k = \frac{∣ A B ∣}{∣ D E ∣} = \frac{3}{1}$ 'dir. $∣ D E ∣ = 5$ ise $∣ A B ∣$ kaçtır?

Oran: $\frac{∣ A B ∣}{∣ D E ∣} = 3$ .
$∣ A B ∣ = 3 \cdot ∣ D E ∣ = 3 \cdot 5 = 15$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 15

3. Benzerlik Oranı ve Kenarlar

Benzer üçgenlerde bir kenar verildiğinde, karşılığı orantıyla bulunur. Karşılıklı kenarları doğru eşlemek için eşit açıların karşısındaki kenarları eşle.

Örnek

Soru

İki benzer üçgende küçük üçgenin kenarları $3, 4, 5$ ; büyük üçgenin en kısa kenarı $9$ 'dur. Büyük üçgenin diğer kenarlarını bulunuz.

Önce benzerlik oranını bul: en kısa kenarları oranla. Sonra her kenarı bu oranla çarp.

Benzerlik oranı: $k = \frac{9}{3} = 3$ .
Diğer kenarlar: $4 \cdot 3 = 12$ ve $5 \cdot 3 = 15$ .

Sonuç:

12

15

4. Gerçek Hayatta Benzerlik

Aynı anda, aynı yerde duran cisimler güneşle aynı açıyı oluşturduğundan cisim–gölge üçgenleri benzerdir. Bu, doğrudan ölçemeyeceğin yükseklikleri bulmaya yarar.

Örnek

Soru

Boyu $1, 5$ m olan bir kişinin gölgesi $2$ m iken, aynı anda bir ağacın gölgesi $10$ m'dir. Ağacın boyu kaç metredir?

Kişi ve ağaç için "boy / gölge" oranları eşittir: $\frac{1 , 5}{2} = \frac{h}{10}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $2 h = 15 \Rightarrow h = 7, 5$ .

Sonuç: Ağacın boyu

7, 5

m'dir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A B C \sim K L M$ , benzerlik oranı $k = 2$ 'dir. $∣ K L ∣ = 6$ ise $∣ A B ∣$ kaçtır?

$\frac{∣ A B ∣}{∣ K L ∣} = k = 2$ .
$∣ A B ∣ = 2 \cdot 6 = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

İki üçgende $A = D = 50°$ ve $B = E = 60°$ veriliyor. Bu üçgenler benzer midir?

İki çift karşılıklı açı eşit (A.A).
A.A koşulu sağlandığından üçgenler benzerdir.

Sonuç: Evet, A.A kuralına göre benzerdir.

Örnek

Soru

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı $\frac{2}{3}$ 'tür. Küçük üçgenin bir kenarı $8$ ise büyük üçgendeki karşılığı kaçtır?

Oran $\frac{k u ¨ c ¸ u ¨ k}{b u ¨ y u ¨ k} = \frac{2}{3}$ : $\frac{8}{x} = \frac{2}{3}$ .
İçler-dışlar: $2 x = 24 \Rightarrow x = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

Bir cetvel $30$ cm boyunda olup $12$ cm gölge bırakıyor. Aynı anda bir direğin gölgesi $4$ m ise direğin boyu kaç metredir?

Oran eşit: $\frac{0 , 30}{0 , 12} = \frac{h}{4}$ (metre).
$\frac{30}{12} = 2, 5$ , yani $h = 2, 5 \cdot 4 = 10$ .

Sonuç:

10

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A B C \sim D E F$ , $k = 4$ . $∣ D E ∣ = 3$ ise $∣ A B ∣$ kaçtır?

$∣ A B ∣ = 4 \cdot 3 = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

İki üçgende $A = D$ ve $C = F$ ise üçgenler benzer midir?

İki açı karşılıklı eşit (A.A) → benzer.

Sonuç: Evet, A.A'dan benzerdir.

Örnek

Soru

Küçük üçgenin kenarları $6, 8, 10$ ; büyük üçgenin benzerlik oranı $k = 2, 5$ 'tir. Büyük üçgenin en uzun kenarını bul.

En uzun kenar $10$ ; $10 \cdot 2, 5 = 25$ .

Sonuç:

25

Örnek

Soru

Boyu $1, 8$ m olan biri $1, 2$ m gölge bırakırken bir binanın gölgesi $20$ m'dir. Binanın boyu kaç metredir?

$\frac{1 , 8}{1 , 2} = \frac{h}{20}$ ; $\frac{1 , 8}{1 , 2} = 1, 5$ .
$h = 1, 5 \cdot 20 = 30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

İki eş üçgenin benzerlik oranı kaçtır?

Eş üçgenler aynı boyuttadır; karşılıklı kenar oranı $1$ 'dir.

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$A B C$ ve $D E F$ üçgenlerinde $∣ A B ∣ = ∣ D E ∣ = 7$ , $∣ B C ∣ = ∣ E F ∣ = 5$ ve $∣ A C ∣ = ∣ D F ∣ = 9$ veriliyor. Bu üçgenler eş midir? Hangi kurala göre?

Üç kenar da karşılıklı eşit: $A B = D E$ , $B C = E F$ , $A C = D F$ .
Bu, K.K.K eşlik kuralıdır.

Sonuç: Evet, K.K.K kuralına göre eştir.

Örnek

Soru

$A B C \sim D E F$ ve benzerlik oranı $k = 3$ 'tür. Küçük üçgen $D E F$ 'in çevresi $12$ cm ise büyük üçgen $A B C$ 'nin çevresi kaç cm'dir?

Benzer üçgenlerde çevreler oranı da kenar oranı $k$ 'ye eşittir.

Her kenar $k = 3$ ile çarpıldığından çevre de $3$ katına çıkar.
Çevre $= 3 \cdot 12 = 36$ cm.

Sonuç:

36

cm.

Örnek

Soru

$A B C \sim D E F$ , benzerlik oranı $k = \frac{5}{2}$ 'dir. $∣ A B ∣ = 15$ ve $∣ E F ∣ = 4$ ise $∣ D E ∣$ ve $∣ B C ∣$ uzunluklarını bulunuz.

$k = \frac{b u ¨ y u ¨ k}{k u ¨ c ¸ u ¨ k}$ . $A B$ büyük üçgende, $E F$ küçük üçgendedir; her birini ayrı orantıyla çöz.

$\frac{∣ A B ∣}{∣ D E ∣} = k$ : $\frac{15}{∣ D E ∣} = \frac{5}{2} \Rightarrow 5 \cdot ∣ D E ∣ = 30 \Rightarrow ∣ D E ∣ = 6$ .
$\frac{∣ B C ∣}{∣ E F ∣} = k$ : $\frac{∣ B C ∣}{4} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2 \cdot ∣ B C ∣ = 20 \Rightarrow ∣ B C ∣ = 10$ .

Sonuç:

∣ D E ∣ = 6

∣ B C ∣ = 10

Sık Yapılan Hatalar

Eşlik ile benzerliği karıştırmak. Eşlik birebir aynıdır ( $k = 1$ ); benzerlik aynı şekil ama farklı boyuttur ( $k \neq = 1$ olabilir).
Karşılıklı kenarları yanlış eşlemek. Orantıda eşit açıların karşısındaki kenarları eşle; sırayı karıştırma.
Benzerlik oranını ters kurmak. $\frac{b u ¨ y u ¨ k}{k u ¨ c ¸ u ¨ k}$ ile $\frac{k u ¨ c ¸ u ¨ k}{b u ¨ y u ¨ k}$ farklıdır; hangi üçgeni paya yazdığına dikkat et.
Gölge probleminde birimleri karıştırmak. Oran kurarken tüm uzunlukları aynı birime çevir (hepsi cm ya da hepsi m).
Çevre ve alan oranını kenar oranıyla eşit sanmak. Benzer üçgenlerde çevreler oranı $k$ 'dir, ama alanlar oranı $k^{2}$ 'dir. Örneğin $k = 3$ ise alan $9$ katına çıkar.

Not: Üçgenlerin benzer olduğunu göstermenin en hızlı yolu A.A'dır: iki açı karşılıklı eşitse üçgenler benzerdir. Sonra kenarları orantıyla çöz.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A B C

D E F

üçgenlerinde

A = D = 4 0^{\circ}

B = E = 7 0^{\circ}

veriliyor. Bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$A = D$ ve $B = E$ olduğundan iki çift karşılıklı açı eşittir.
Üçgenlerin iç açıları toplamı $18 0^{\circ}$ olduğundan üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur ( $C = F = 7 0^{\circ}$ ).
İki açının karşılıklı eşit olması benzerlik için yeterlidir; bu A.A kuralıdır.
Benzerlik için tüm kenar uzunluklarının bilinmesi gerekmez; sadece açı eşitliği yeterlidir.

Sonuç: İki açıları karşılıklı eşit olduğundan A.A kuralına göre benzerdir (A).

Soru 2Kolay

A B C \sim K L M

olup benzerlik oranı

k = \frac{∣ A B ∣}{∣ K L ∣} = 4

tür.

∣ K L ∣ = 7

ise

∣ A B ∣

kaçtır?

Benzerlik oranı tanımı: $\frac{∣ A B ∣}{∣ K L ∣} = 4$ .
Buradan $∣ A B ∣ = 4 \cdot ∣ K L ∣$ .
$∣ A B ∣ = 4 \cdot 7 = 28$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 28

(D).

Soru 3Orta

Benzer iki üçgenden küçüğünün kenar uzunlukları

5, 12, 13

tür. Büyük üçgenin en uzun kenarı

39

olduğuna göre, büyük üçgenin en kısa kenarı kaçtır?

Karşılıklı kenarlar orantılıdır; en uzun kenarlar birbirine karşılık gelir: $\frac{39}{13} = 3$ , yani $k = 3$ .
En kısa kenarlar da birbirine karşılık gelir; küçük üçgenin en kısa kenarı $5$ tir.
Büyük üçgenin en kısa kenarı $= 5 \cdot k = 5 \cdot 3 = 15$ .

Sonuç:

15

(B).

Soru 4Orta

Benzer iki üçgenin benzerlik oranı

\frac{b u ¨ y u ¨ k}{k u ¨ c ¸ u ¨ k} = \frac{7}{4}

tür. Küçük üçgenin bir kenarı

12

olduğuna göre, büyük üçgendeki karşılığı kaçtır?

Karşılıklı kenar oranı benzerlik oranına eşittir: $\frac{x}{12} = \frac{7}{4}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $4 x = 7 \cdot 12 = 84$ .
$x = \frac{84}{4} = 21$ .

Sonuç:

21

(C).

Soru 5Orta

Boyu

1, 6

m olan bir kişi

1

m gölge bırakırken, aynı anda ve aynı yerde bir aydınlatma direğinin gölgesi

15

m ölçülmüştür. Buna göre direğin boyu kaç metredir?

Aynı anda oluşan cisim–gölge üçgenleri benzerdir; boy/gölge oranları eşittir.
$\frac{1 , 6}{1} = \frac{h}{15}$ orantısını kur.
$\frac{1 , 6}{1} = 1, 6$ olduğundan $h = 1, 6 \cdot 15 = 24$ .

Sonuç: Direğin boyu

24

m (E).

Soru 6Zor

A B C \sim D E F

olup benzerlik oranı

\frac{k u ¨ c ¸ u ¨ k D E F}{b u ¨ y u ¨ k A B C} = \frac{2}{5}

tir. Büyük üçgen

A B C

nin çevresi

45

cm olduğuna göre, küçük üçgen

D E F

nin çevresi kaç cm dir?

Benzer üçgenlerde çevreler oranı da kenar oranına, yani $k$ ye eşittir.
$\frac{C ¸ evre ( D E F )}{C ¸ evre ( A B C )} = \frac{2}{5}$ .
$\frac{C ¸ evre ( D E F )}{45} = \frac{2}{5} \Rightarrow \overset{C}{¸} evre (D E F) = \frac{2}{5} \cdot 45 = 18$ cm.
(Dikkat: burada istenen çevredir; alan oranı $k^{2}$ olurdu, çevre oranı $k$ dır.)

Sonuç: Küçük üçgenin çevresi

18

cm (B).

0/6 soru cevaplandı

1. Eşlik

2. Benzerlik

3. Benzerlik Oranı ve Kenarlar

4. Gerçek Hayatta Benzerlik

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Eşlik ve Benzerlik — diğer konular