9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik
Geometrik Dönüşümler
Eşlik ve Benzerlik temasına, şekilleri kurallı biçimde hareket ettiren dönüşümlerle başlıyoruz. Bu derste koordinat düzleminde öteleme (kaydırma), yansıma (simetri) ve dönme dönüşümlerini; bir noktanın bu dönüşümler altında nereye gittiğini öğreneceğiz. Öteleme ve yansıma şeklin boyutunu değiştirmez — bu yüzden dönüşüm sonucu şekil orijinaliyle eştir. Bu fikir, sonraki derslerdeki eşlik ve benzerliğin temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Öteleme (Kaydırma)
Öteleme, bir şekli yön ve büyüklüğü belli biçimde kaydırır; şekil döndürülmez, boyutu değişmez. Bir (x,y) noktası, yatayda a ve dikeyde b birim ötelendiğinde:
(x,\ y)\ \longrightarrow\ (x+a,\ y+b)
A(2,\ 3) noktası sağa 4, yukarı 2 birim ötelenirse görüntüsü ne olur?
- Sağa
4:x'e+4; yukarı2:y'ye+2. (2+4,\ 3+2)=(6,\ 5).
A'(6,\ 5).2. Yansıma (Simetri)
Yansıma, bir şeklin bir doğruya göre ayna görüntüsünü alır. Koordinat düzleminde en sık kullanılan eksenler:
xeksenine göre:(x,\ y)\to(x,\ -y)(işarety'de değişir)yeksenine göre:(x,\ y)\to(-x,\ y)(işaretx'te değişir)- Orijine göre:
(x,\ y)\to(-x,\ -y)(ikisi de değişir)
B(-3,\ 5) noktasının x eksenine göre yansımasını bulunuz.
x eksenine göre yansımada x aynı kalır, yalnız y'nin işareti değişir.
- Kural:
(x,\ y)\to(x,\ -y). B(-3,\ 5)\to(-3,\ -5).
B'(-3,\ -5).A(3,\ 2) noktasının x eksenine göre yansıması A'(3,\ -2). Nokta, x ekseninden eşit uzaklıkta karşı tarafa düşer; x değişmez, yalnız y'nin işareti döner.3. Dönme
Dönme, bir şekli bir merkez etrafında belli bir açı kadar çevirir. Orijin etrafındaki sık kullanılan dönmeler:
90°(saat yönünün tersi):(x,\ y)\to(-y,\ x)180°:(x,\ y)\to(-x,\ -y)270°(saat yönünün tersi):(x,\ y)\to(y,\ -x)
180° dönme ile orijine göre yansımanın sonucu aynıdır.
P(4,\ 1) noktasının orijin etrafında 90° (saat yönünün tersine) dönmesi P'(-1,\ 4). Koordinatlar yer değiştirir ve uygun işaret değişir: (x,\ y)\to(-y,\ x). Orijine uzaklık (yarıçap) korunur.C(4,\ 1) noktasını orijin etrafında 180° döndürünüz.
- Kural:
(x,\ y)\to(-x,\ -y). C(4,\ 1)\to(-4,\ -1).
C'(-4,\ -1).4. Dönüşüm ve Eşlik
Öteleme, yansıma ve dönme uzunlukları ve açıları korur; şeklin yalnız konumu/yönü değişir, boyutu değişmez. Bu dönüşümlerle elde edilen şekil, orijinaliyle eştir (birebir aynıdır). Boyutu değiştiren (büyütme/küçültme) dönüşümler ise benzerlik doğurur; onları sonraki derste göreceğiz.
Bir üçgen önce sağa 5 birim ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılıyor. Bu üçgen orijinaliyle eş midir?
- Öteleme uzunlukları korur; yansıma da uzunlukları korur.
- İki dönüşüm de boyutu değiştirmediğinden sonuç şekil orijinaliyle aynı boyuttadır.
Çözümlü Örnekler
P(1,\ -2) noktası sola 3, aşağı 4 birim ötelenirse görüntüsü nedir?
- Sola
3:x-3; aşağı4:y-4. (1-3,\ -2-4)=(-2,\ -6).
P'(-2,\ -6).D(6,\ -2) noktasının y eksenine göre yansımasını bulunuz.
- Kural:
(x,\ y)\to(-x,\ y). D(6,\ -2)\to(-6,\ -2).
D'(-6,\ -2).E(2,\ 5) noktasını orijin etrafında 90° (saat yönünün tersine) döndürünüz.
- Kural:
(x,\ y)\to(-y,\ x). E(2,\ 5)\to(-5,\ 2).
E'(-5,\ 2).A(3,\ 4) noktası önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir? Bu, hangi tek dönüşüme denktir?
xeksenine göre:(3,\ 4)\to(3,\ -4).yeksenine göre:(3,\ -4)\to(-3,\ -4).- Sonuç
(-3,\ -4); bu, orijine göre yansıma (yani180°dönme) ile aynıdır.
(-3,\ -4); orijine göre yansımaya denktir.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
A(0,\ 0) noktası sağa 7, yukarı 3 ötelenirse nereye gider?
(0+7,\ 0+3)=(7,\ 3).
(7,\ 3).B(5,\ -1) noktasının x eksenine göre yansıması nedir?
(x,\ -y):(5,\ 1).
(5,\ 1).C(-2,\ 6) noktasının orijine göre yansıması nedir?
(-x,\ -y):(2,\ -6).
(2,\ -6).D(1,\ 3) noktasını orijin etrafında 90° (saat yönü tersi) döndür.
(x,\ y)\to(-y,\ x):(-3,\ 1).
(-3,\ 1).Bir şekil 180° döndürülüyor. Şeklin boyutu değişir mi, orijinaliyle eş midir?
- Dönme uzunlukları ve açıları korur; boyut değişmez.
E(-4,\ 2) noktasını orijin etrafında 270° (saat yönü tersi) döndür.
- Kural:
(x,\ y)\to(y,\ -x). E(-4,\ 2)\to(2,\ 4).
(2,\ 4).F(2,\ -5) noktası sağa 3 ötelenip sonra y eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir?
Dönüşümleri sırayla uygula: önce öteleme, sonra yansıma.
- Öteleme (sağa
3):(2+3,\ -5)=(5,\ -5). yeksenine göre yansıma(x,\ y)\to(-x,\ y):(5,\ -5)\to(-5,\ -5).
(-5,\ -5).Bir nokta önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtılınca (-2,\ 7) görüntüsü elde ediliyor. Başlangıç noktası neydi?
İki yansıma birlikte (x,\ y)\to(-x,\ -y) verir; bunu geri çevirmek için yine işaretleri ters çevir.
xveyeksenine ardışık yansıma(x,\ y)\to(-x,\ -y)ile aynıdır.- Görüntü
(-2,\ 7)ise:(-x,\ -y)=(-2,\ 7)\Rightarrow x=2,\ y=-7.
(2,\ -7).G(3,\ 5) noktası orijin etrafında 90° (saat yönü tersi) döndürülüyor, ardından x eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir?
Önce 90° dönme kuralını uygula, sonra çıkan noktaya yansıma kuralını uygula.
90°dönme(x,\ y)\to(-y,\ x):G(3,\ 5)\to(-5,\ 3).xeksenine göre yansıma(x,\ y)\to(x,\ -y):(-5,\ 3)\to(-5,\ -3).
(-5,\ -3).Sık Yapılan Hatalar
- Yansımada yanlış değişkenin işaretini değiştirmek.
xeksenine görey'nin,yeksenine görex'in işareti değişir. - Öteleme yönünü ters almak. Sol/aşağı çıkarma, sağ/yukarı toplamadır.
- Dönmeyi yansıma sanmak.
90°dönmede koordinatlar yer değiştirir ((x,y)\to(-y,x)); yansımada yalnız işaret değişir. - Dönüşümün boyutu değiştirdiğini sanmak. Öteleme, yansıma ve dönme boyutu korur; sonuç şekil daima orijinaliyle eştir.
- Bileşik dönüşümde sırayı önemsememek. Genelde önce hangi dönüşümü yaparsan sonuç farklı çıkabilir; soruda verilen sırayı koru ve her adımı çıkan noktaya uygula.
Not: Bu üç dönüşüm de eşlik üretir (boyut korunur). Bir sonraki derste boyutu oranlı biçimde değiştiren benzerliği göreceğiz. Koordinat kurallarını ezberlemek yerine bir-iki noktayla deneyerek doğrula.