9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik

Geometrik Dönüşümler

~7 dk okumaZorluk: Orta5 çözümlü soru

Eşlik ve Benzerlik temasına, şekilleri kurallı biçimde hareket ettiren dönüşümlerle başlıyoruz. Bu derste koordinat düzleminde öteleme (kaydırma), yansıma (simetri) ve dönme dönüşümlerini; bir noktanın bu dönüşümler altında nereye gittiğini öğreneceğiz. Öteleme ve yansıma şeklin boyutunu değiştirmez — bu yüzden dönüşüm sonucu şekil orijinaliyle eştir. Bu fikir, sonraki derslerdeki eşlik ve benzerliğin temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Öteleme (Kaydırma)

Öteleme, bir şekli yön ve büyüklüğü belli biçimde kaydırır; şekil döndürülmez, boyutu değişmez. Bir $(x, y)$ noktası, yatayda $a$ ve dikeyde $b$ birim ötelendiğinde:

$(x, y) ⟶ (x + a, y + b)$

Örnek

Soru

$A (2, 3)$ noktası sağa $4$ , yukarı $2$ birim ötelenirse görüntüsü ne olur?

Sağa $4$ : $x$ 'e $+ 4$ ; yukarı $2$ : $y$ 'ye $+ 2$ .
$(2 + 4, 3 + 2) = (6, 5)$ .

Sonuç:

A^{'} (6, 5)

2. Yansıma (Simetri)

Yansıma, bir şeklin bir doğruya göre ayna görüntüsünü alır. Koordinat düzleminde en sık kullanılan eksenler:

$x$ eksenine göre: $(x, y) \to (x, - y)$ (işaret $y$ 'de değişir)
$y$ eksenine göre: $(x, y) \to (- x, y)$ (işaret $x$ 'te değişir)
Orijine göre: $(x, y) \to (- x, - y)$ (ikisi de değişir)

Örnek

Soru

$B (- 3, 5)$ noktasının $x$ eksenine göre yansımasını bulunuz.

$x$ eksenine göre yansımada $x$ aynı kalır, yalnız $y$ 'nin işareti değişir.

Kural: $(x, y) \to (x, - y)$ .
$B (- 3, 5) \to (- 3, - 5)$ .

Sonuç:

B^{'} (- 3, - 5)

Şekil 1 —

A (3, 2)

noktasının

x

eksenine göre yansıması

A^{'} (3, - 2)

. Nokta,

x

ekseninden eşit uzaklıkta karşı tarafa düşer;

x

değişmez, yalnız

y

'nin işareti döner.

3. Dönme

Dönme, bir şekli bir merkez etrafında belli bir açı kadar çevirir. Orijin etrafındaki sık kullanılan dönmeler:

$90°$ (saat yönünün tersi): $(x, y) \to (- y, x)$
$180°$ : $(x, y) \to (- x, - y)$
$270°$ (saat yönünün tersi): $(x, y) \to (y, - x)$

$180°$ dönme ile orijine göre yansımanın sonucu aynıdır.

Şekil 2 —

P (4, 1)

noktasının orijin etrafında

90°

(saat yönünün tersine) dönmesi

P^{'} (- 1, 4)

. Koordinatlar yer değiştirir ve uygun işaret değişir:

(x, y) \to (- y, x)

. Orijine uzaklık (yarıçap) korunur.

Örnek

Soru

$C (4, 1)$ noktasını orijin etrafında $180°$ döndürünüz.

Kural: $(x, y) \to (- x, - y)$ .
$C (4, 1) \to (- 4, - 1)$ .

Sonuç:

C^{'} (- 4, - 1)

4. Dönüşüm ve Eşlik

Öteleme, yansıma ve dönme uzunlukları ve açıları korur; şeklin yalnız konumu/yönü değişir, boyutu değişmez. Bu dönüşümlerle elde edilen şekil, orijinaliyle eştir (birebir aynıdır). Boyutu değiştiren (büyütme/küçültme) dönüşümler ise benzerlik doğurur; onları sonraki derste göreceğiz.

Örnek

Soru

Bir üçgen önce sağa $5$ birim ötelenip sonra $x$ eksenine göre yansıtılıyor. Bu üçgen orijinaliyle eş midir?

Öteleme uzunlukları korur; yansıma da uzunlukları korur.
İki dönüşüm de boyutu değiştirmediğinden sonuç şekil orijinaliyle aynı boyuttadır.

Sonuç: Evet, eştir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$P (1, - 2)$ noktası sola $3$ , aşağı $4$ birim ötelenirse görüntüsü nedir?

Sola $3$ : $x - 3$ ; aşağı $4$ : $y - 4$ .
$(1 - 3, - 2 - 4) = (- 2, - 6)$ .

Sonuç:

P^{'} (- 2, - 6)

Örnek

Soru

$D (6, - 2)$ noktasının $y$ eksenine göre yansımasını bulunuz.

Kural: $(x, y) \to (- x, y)$ .
$D (6, - 2) \to (- 6, - 2)$ .

Sonuç:

D^{'} (- 6, - 2)

Örnek

Soru

$E (2, 5)$ noktasını orijin etrafında $90°$ (saat yönünün tersine) döndürünüz.

Kural: $(x, y) \to (- y, x)$ .
$E (2, 5) \to (- 5, 2)$ .

Sonuç:

E^{'} (- 5, 2)

Örnek

Soru

$A (3, 4)$ noktası önce $x$ eksenine, sonra $y$ eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir? Bu, hangi tek dönüşüme denktir?

$x$ eksenine göre: $(3, 4) \to (3, - 4)$ .
$y$ eksenine göre: $(3, - 4) \to (- 3, - 4)$ .
Sonuç $(- 3, - 4)$ ; bu, orijine göre yansıma (yani $180°$ dönme) ile aynıdır.

Sonuç:

(- 3, - 4)

; orijine göre yansımaya denktir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A (0, 0)$ noktası sağa $7$ , yukarı $3$ ötelenirse nereye gider?

$(0 + 7, 0 + 3) = (7, 3)$ .

Sonuç:

(7, 3)

Örnek

Soru

$B (5, - 1)$ noktasının $x$ eksenine göre yansıması nedir?

$(x, - y)$ : $(5, 1)$ .

Sonuç:

(5, 1)

Örnek

Soru

$C (- 2, 6)$ noktasının orijine göre yansıması nedir?

$(- x, - y)$ : $(2, - 6)$ .

Sonuç:

(2, - 6)

Örnek

Soru

$D (1, 3)$ noktasını orijin etrafında $90°$ (saat yönü tersi) döndür.

$(x, y) \to (- y, x)$ : $(- 3, 1)$ .

Sonuç:

(- 3, 1)

Örnek

Soru

Bir şekil $180°$ döndürülüyor. Şeklin boyutu değişir mi, orijinaliyle eş midir?

Dönme uzunlukları ve açıları korur; boyut değişmez.

Sonuç: Boyut değişmez; şekil eştir.

Örnek

Soru

$E (- 4, 2)$ noktasını orijin etrafında $270°$ (saat yönü tersi) döndür.

Kural: $(x, y) \to (y, - x)$ .
$E (- 4, 2) \to (2, 4)$ .

Sonuç:

(2, 4)

Örnek

Soru

$F (2, - 5)$ noktası sağa $3$ ötelenip sonra $y$ eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir?

Dönüşümleri sırayla uygula: önce öteleme, sonra yansıma.

Öteleme (sağa $3$ ): $(2 + 3, - 5) = (5, - 5)$ .
$y$ eksenine göre yansıma $(x, y) \to (- x, y)$ : $(5, - 5) \to (- 5, - 5)$ .

Sonuç:

(- 5, - 5)

Örnek

Soru

Bir nokta önce $x$ eksenine, sonra $y$ eksenine göre yansıtılınca $(- 2, 7)$ görüntüsü elde ediliyor. Başlangıç noktası neydi?

İki yansıma birlikte $(x, y) \to (- x, - y)$ verir; bunu geri çevirmek için yine işaretleri ters çevir.

$x$ ve $y$ eksenine ardışık yansıma $(x, y) \to (- x, - y)$ ile aynıdır.
Görüntü $(- 2, 7)$ ise: $(- x, - y) = (- 2, 7) \Rightarrow x = 2, y = - 7$ .

Sonuç:

(2, - 7)

Örnek

Soru

$G (3, 5)$ noktası orijin etrafında $90°$ (saat yönü tersi) döndürülüyor, ardından $x$ eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü nedir?

Önce $90°$ dönme kuralını uygula, sonra çıkan noktaya yansıma kuralını uygula.

$90°$ dönme $(x, y) \to (- y, x)$ : $G (3, 5) \to (- 5, 3)$ .
$x$ eksenine göre yansıma $(x, y) \to (x, - y)$ : $(- 5, 3) \to (- 5, - 3)$ .

Sonuç:

(- 5, - 3)

Sık Yapılan Hatalar

Yansımada yanlış değişkenin işaretini değiştirmek. $x$ eksenine göre $y$ 'nin, $y$ eksenine göre $x$ 'in işareti değişir.
Öteleme yönünü ters almak. Sol/aşağı çıkarma, sağ/yukarı toplamadır.
Dönmeyi yansıma sanmak. $90°$ dönmede koordinatlar yer değiştirir ( $(x, y) \to (- y, x)$ ); yansımada yalnız işaret değişir.
Dönüşümün boyutu değiştirdiğini sanmak. Öteleme, yansıma ve dönme boyutu korur; sonuç şekil daima orijinaliyle eştir.
Bileşik dönüşümde sırayı önemsememek. Genelde önce hangi dönüşümü yaparsan sonuç farklı çıkabilir; soruda verilen sırayı koru ve her adımı çıkan noktaya uygula.

Not: Bu üç dönüşüm de eşlik üretir (boyut korunur). Bir sonraki derste boyutu oranlı biçimde değiştiren benzerliği göreceğiz. Koordinat kurallarını ezberlemek yerine bir-iki noktayla deneyerek doğrula.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

M (- 5, 4)

noktası sağa

6

birim, aşağı

7

birim ötelenirse görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

Öteleme kuralı: $(x, y) \to (x + a, y + b)$ .
Sağa $6$ demek $x$ 'e $+ 6$ ; aşağı $7$ demek $y$ 'ye $- 7$ .
$x$ koordinatı: $- 5 + 6 = 1$ .
$y$ koordinatı: $4 - 7 = - 3$ .
Görüntü: $(1, - 3)$ .

Sonuç:

(1, - 3)

Soru 2Kolay

N (7, - 3)

noktasının

y

eksenine göre yansıması aşağıdakilerden hangisidir?

$y$ eksenine göre yansıma kuralı: $(x, y) \to (- x, y)$ .
Yalnız $x$ 'in işareti değişir, $y$ aynı kalır.
$x$ : $7 \to - 7$ ; $y$ : $- 3$ aynı kalır.
Görüntü: $(- 7, - 3)$ .

Sonuç:

(- 7, - 3)

Soru 3Orta

K (- 2, 6)

noktası orijin etrafında

90°

(saat yönünün tersine) döndürülürse görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

$90°$ (saat yönü tersi) dönme kuralı: $(x, y) \to (- y, x)$ .
$- y = - (6) = - 6$ yeni $x$ koordinatı olur.
$x = - 2$ yeni $y$ koordinatı olur.
Görüntü: $(- 6, - 2)$ .

Sonuç:

(- 6, - 2)

Soru 4Orta

P (4, - 1)

noktası önce orijin etrafında

180°

döndürülüyor, sonra

x

eksenine göre yansıtılıyor. Son görüntü aşağıdakilerden hangisidir?

$180°$ dönme kuralı: $(x, y) \to (- x, - y)$ .
$P (4, - 1) \to (- 4, 1)$ .
$x$ eksenine göre yansıma kuralı: $(x, y) \to (x, - y)$ .
$(- 4, 1) \to (- 4, - 1)$ .
Son görüntü: $(- 4, - 1)$ .

Sonuç:

(- 4, - 1)

Soru 5Orta

Bir robot süpürge koordinat düzleminde

R (2, 5)

noktasındadır. Önce sola

3

birim, aşağı

6

birim hareket ediyor; sonra bulunduğu konum

x

eksenine göre yansıtılıyor. Robotun son görüntüsü aşağıdakilerden hangisidir?

Öteleme: sola $3$ demek $x - 3$ , aşağı $6$ demek $y - 6$ .
$R (2, 5) \to (2 - 3, 5 - 6) = (- 1, - 1)$ .
$x$ eksenine göre yansıma kuralı: $(x, y) \to (x, - y)$ .
$(- 1, - 1) \to (- 1, 1)$ .
Son görüntü: $(- 1, 1)$ .

Sonuç:

(- 1, 1)

0/5 soru cevaplandı

1. Öteleme (Kaydırma)

2. Yansıma (Simetri)

3. Dönme

4. Dönüşüm ve Eşlik

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Eşlik ve Benzerlik — diğer konular