9. Sınıf · Eşlik ve Benzerlik

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Benzerliğin en güçlü üç sonucu Tales, Öklid ve Pisagor teoremleridir. Bu derste paralel doğruların kenarları orantılı böldüğünü (Tales), dik üçgende yüksekliğin kurduğu bağıntıları (Öklid) ve dik kenarlarla hipotenüs arasındaki ünlü ilişkiyi (Pisagor) öğreneceğiz. Bu üç teorem, geometri ve analitik geometride uzunluk hesabının belkemiğidir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Tales Teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara böler. Daha genel olarak, paralel doğru demeti, kestiği doğrularda orantılı parçalar oluşturur:

$\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣}$

Şekil 1 —

A B C

üçgeninde

B C

kenarına paralel

D E

doğrusu. Kenarları orantılı böler:

\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣}

Örnek

Soru

Bir üçgende tabana paralel bir doğru çiziliyor. $∣ A D ∣ = 4$ , $∣ D B ∣ = 6$ ve $∣ A E ∣ = 6$ ise $∣ E C ∣$ kaçtır?

Tales orantısı: $\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣}$ , yani $\frac{4}{6} = \frac{6}{∣ E C ∣}$ .
İçler-dışlar: $4 \cdot ∣ E C ∣ = 36 \Rightarrow ∣ E C ∣ = 9$ .

Sonuç:

∣ E C ∣ = 9

2. Öklid Bağıntıları

Dik üçgende, dik açıdan hipotenüse indirilen yükseklik $h$ üçgeni iki küçük üçgene böler. Hipotenüsün ayrılan parçaları $p$ ve $k$ olmak üzere:

$h^{2} = p \cdot k a^{2} = p \cdot c (bir dik kenar ı n karesi)$

Burada $c$ hipotenüs, $p$ ise o dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür. Bu bağıntılar üçgenin benzerliğinden gelir.

Örnek

Soru

Bir dik üçgende, dik açıdan inen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar $4$ ve $9$ 'dur. Yüksekliğin uzunluğunu bulunuz.

Öklid'in yükseklik bağıntısı: yükseklik $^{2}$ $=$ iki parçanın çarpımı.

$h^{2} = p \cdot k = 4 \cdot 9 = 36$ .
$h = 36 = 6$ .

Sonuç:

h = 6

3. Pisagor Teoremi

Dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Burada $c$ en uzun kenar olan hipotenüs (dik açının karşısı), $a$ ve $b$ ise dik kenarlardır.

Şekil 2 — Dik kenarları

a

b

, hipotenüsü

c

olan dik üçgen.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

'dir.

Sık geçen tam sayı üçlüleri (Pisagor üçlüleri): $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ ve bunların katları.

Örnek

Soru

Dik kenarları $6$ ve $8$ olan dik üçgenin hipotenüsünü bulunuz.

Pisagor: $c^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ .
$c = 100 = 10$ .

Sonuç:

c = 10

(bu bir

3 - 4 - 5

üçlüsünün

2

katıdır).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Tales'e göre $\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{2}{3}$ ve $∣ A E ∣ = 8$ ise $∣ E C ∣$ kaçtır?

$\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣} \Rightarrow \frac{2}{3} = \frac{8}{∣ E C ∣}$ .
$2 \cdot ∣ E C ∣ = 24 \Rightarrow ∣ E C ∣ = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

Bir dik üçgende hipotenüse inen yükseklik $12$ , hipotenüsün bir parçası $9$ 'dur. Diğer parça kaçtır?

Öklid: $h^{2} = p \cdot k \Rightarrow 1 2^{2} = 9 \cdot k$ .
$144 = 9 k \Rightarrow k = 16$ .

Sonuç:

16

Örnek

Soru

Hipotenüsü $13$ , bir dik kenarı $5$ olan dik üçgenin diğer dik kenarını bulunuz.

Pisagor: $5^{2} + b^{2} = 1 3^{2} \Rightarrow 25 + b^{2} = 169$ .
$b^{2} = 144 \Rightarrow b = 12$ .

Sonuç:

b = 12

(

5 - 12 - 13

üçlüsü).

Örnek

Soru

Kenar uzunlukları $9, 12, 15$ olan üçgen dik üçgen midir?

En uzun kenar $15$ ; Pisagor'u dene: $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ .
$1 5^{2} = 225$ ; eşitlik sağlanıyor.

Sonuç: Evet, dik üçgendir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Tales orantısında $\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{3}{5}$ ve $∣ E C ∣ = 20$ ise $∣ A E ∣$ kaçtır?

$\frac{3}{5} = \frac{∣ A E ∣}{20} \Rightarrow 5 \cdot ∣ A E ∣ = 60 \Rightarrow ∣ A E ∣ = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

Hipotenüse inen yüksekliğin ayırdığı parçalar $2$ ve $8$ ise yükseklik kaçtır?

$h^{2} = 2 \cdot 8 = 16 \Rightarrow h = 4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

Dik kenarları $9$ ve $12$ olan dik üçgenin hipotenüsü kaçtır?

$c^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 \Rightarrow c = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

Hipotenüsü $17$ , bir dik kenarı $8$ olan dik üçgenin diğer dik kenarı kaçtır?

$8^{2} + b^{2} = 1 7^{2} \Rightarrow 64 + b^{2} = 289 \Rightarrow b^{2} = 225 \Rightarrow b = 15$ .

Sonuç:

15

(

8 - 15 - 17

üçlüsü).

Örnek

Soru

Bir merdiven duvara dayanıyor; ayağı duvardan $3$ m, üst ucu yerden $4$ m yüksekte. Merdivenin boyu kaç metredir?

Duvar–yer–merdiven bir dik üçgendir: $c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ .
$c = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

Bir üçgende $B C$ kenarına paralel $D E$ doğrusu çiziliyor. $∣ A D ∣ = 6$ , $∣ D B ∣ = 4$ ve $∣ A B ∣$ üzerindeki toplam uzunluk biliniyor. $∣ A C ∣ = 15$ ise $∣ A E ∣$ kaçtır?

Tales'i tüm kenar üzerinden de kurabilirsin: $\frac{∣ A D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ A C ∣}$ . Önce $∣ A B ∣ = ∣ A D ∣ + ∣ D B ∣$ .

$∣ A B ∣ = 6 + 4 = 10$ , yani $\frac{∣ A D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
$\frac{∣ A E ∣}{∣ A C ∣} = \frac{3}{5}$ : $\frac{∣ A E ∣}{15} = \frac{3}{5} \Rightarrow 5 \cdot ∣ A E ∣ = 45 \Rightarrow ∣ A E ∣ = 9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

Bir dik üçgende hipotenüsün parçaları $p = 4$ ve $k = 9$ 'dur. Hipotenüse inen yüksekliği ve bu yüksekliğin küçük parçaya komşu dik kenarını ( $p = 4$ izdüşümlü kenarı) bulunuz.

Yükseklik için $h^{2} = p \cdot k$ ; dik kenar için $a^{2} = p \cdot c$ kullan; burada $c = p + k$ tüm hipotenüstür.

Hipotenüs: $c = p + k = 4 + 9 = 13$ .
Yükseklik: $h^{2} = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow h = 6$ .
İzdüşümü $p = 4$ olan dik kenar: $a^{2} = p \cdot c = 4 \cdot 13 = 52 \Rightarrow a = 52 = 213$ .

Sonuç:

h = 6

a = 213

Örnek

Soru

Bir dik üçgende dik kenarlar $a$ ve $b$ , hipotenüs $c = 10$ 'dur. $a = b$ (ikizkenar dik üçgen) ise $a$ kaçtır?

Pisagor'da $a = b$ yaz: $a^{2} + a^{2} = c^{2}$ . Çıkan kökü sadeleştir.

$a^{2} + a^{2} = 1 0^{2} \Rightarrow 2 a^{2} = 100 \Rightarrow a^{2} = 50$ .
$a = 50 = 52$ .

Sonuç:

a = 52

Sık Yapılan Hatalar

Tales için paralelliği kontrol etmemek. Orantı yalnız kesen doğru bir kenara paralelse geçerlidir.
Pisagor'da hipotenüsü yanlış seçmek. $c$ daima en uzun kenar ve dik açının karşısıdır; dik kenarlardan birini hipotenüs sanma.
Öklid'de yükseklik ile dik kenar bağıntısını karıştırmak. Yükseklik için $h^{2} = p \cdot k$ ; dik kenar için $a^{2} = p \cdot c$ (izdüşüm $\times$ hipotenüs).
Pisagor üçlülerini ezberden yanlış kullanmak. $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17)$ ve katları geçerlidir; örneğin $6, 8, 10$ gibi.

Not: Üç teoremin de kaynağı benzerliktir. Bir dik üçgen sorusunda önce Pisagor üçlülerini hatırla ( $3 - 4 - 5$ , $5 - 12 - 13$ ); çoğu soru bunların katıdır ve işini çok hızlandırır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir

A B C

üçgeninde

B C

kenarına paralel

D E

doğrusu çiziliyor (

D \in [A B]

E \in [A C]

∣ A D ∣ = 8

∣ D B ∣ = 12

∣ A E ∣ = ?

sorulmaktadır.

∣ E C ∣ = 15

ise

∣ A E ∣

kaç birimdir?

Tales orantısı: $\frac{∣ A D ∣}{∣ D B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ E C ∣}$ .
$\frac{8}{12} = \frac{∣ A E ∣}{15}$ yazılır.
İçler-dışlar çarpımı: $12 \cdot ∣ A E ∣ = 8 \cdot 15 = 120$ .
$∣ A E ∣ = \frac{120}{12} = 10$ .

Sonuç:

∣ A E ∣ = 10

Soru 2Orta

Bir

A B C

üçgeninde

[B C]

kenarına paralel

D E

doğrusu çiziliyor.

∣ A D ∣ = 5

∣ D B ∣ = 3

∣ A C ∣ = 24

ise

∣ A E ∣

kaç birimdir?

Tales'i tüm kenar üzerinden kur: $\frac{∣ A D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{∣ A E ∣}{∣ A C ∣}$ .
$∣ A B ∣ = ∣ A D ∣ + ∣ D B ∣ = 5 + 3 = 8$ .
$\frac{5}{8} = \frac{∣ A E ∣}{24}$ olur.
$8 \cdot ∣ A E ∣ = 5 \cdot 24 = 120 \Rightarrow ∣ A E ∣ = 15$ .

Sonuç:

∣ A E ∣ = 15

Soru 3Kolay

Bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse inen yüksekliğin hipotenüsü ayırdığı parçalar

6

24

birimdir. Bu yüksekliğin uzunluğu kaç birimdir?

Öklid'in yükseklik bağıntısı: $h^{2} = p \cdot k$ .
$h^{2} = 6 \cdot 24 = 144$ .
$h = 144 = 12$ .

Sonuç:

h = 12

Soru 4Orta

Bir dik üçgende dik açıdan inen yükseklik, hipotenüsü

9

16

birimlik iki parçaya ayırıyor. İzdüşümü

9

olan dik kenarın uzunluğu kaç birimdir?

Hipotenüs: $c = p + k = 9 + 16 = 25$ .
Öklid'in dik kenar bağıntısı: $a^{2} = p \cdot c$ (izdüşüm $\times$ hipotenüs).
$a^{2} = 9 \cdot 25 = 225$ .
$a = 225 = 15$ .

Sonuç:

a = 15

Soru 5Orta

Bir bayrak direği, yerden çekilen bir gergi teli ile sabitleniyor. Telin direğe bağlandığı nokta yerden

12

m yüksekte, telin yere değdiği nokta ise direğin dibinden

5

m uzaktadır. Direk ile yer birbirine dik olduğuna göre gergi telinin boyu kaç metredir?

Direk, yer ve tel bir dik üçgen oluşturur; tel hipotenüstür.
Pisagor: $c^{2} = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169$ .
$c = 169 = 13$ .
Bu bir $5 - 12 - 13$ üçlüsüdür.

Sonuç:

13

Soru 6Zor

Dik kenarları

15

20

birim olan bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse inen yüksekliğin uzunluğu kaç birimdir?

Önce hipotenüs: $c^{2} = 1 5^{2} + 2 0^{2} = 225 + 400 = 625 \Rightarrow c = 25$ (bu $3 - 4 - 5$ üçlüsünün $5$ katıdır).
Alan iki yolla yazılır: $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$ .
$15 \cdot 20 = 25 \cdot h \Rightarrow 300 = 25 h$ .
$h = \frac{300}{25} = 12$ . (Kontrol: izdüşümler $p = \frac{1 5 ^{2}}{25} = 9$ , $k = \frac{2 0 ^{2}}{25} = 16$ ; $h^{2} = 9 \cdot 16 = 144 \Rightarrow h = 12$ .)

Sonuç:

h = 12

0/6 soru cevaplandı

1. Tales Teoremi

2. Öklid Bağıntıları

3. Pisagor Teoremi

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Eşlik ve Benzerlik — diğer konular