9. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Mutlak Değer Fonksiyonları

~7 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır — bu yüzden hiçbir zaman negatif olmaz. Bu derste mutlak değer kavramını, $f(x)=|x|$ fonksiyonunun V biçimli grafiğini, grafiğin öteleme ile nasıl kaydığını ( $|x-a|+b$ ) ve temel mutlak değerli denklemleri öğreneceğiz. Mutlak değer fonksiyonu, doğrusal fonksiyonun "kırılmış" hâlidir ve uzaklık içeren her problemde karşına çıkar. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Mutlak Değer Kavramı

Bir $x$ gerçek sayısının mutlak değeri:

$|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0 \\ -x, & x<0 \end{cases}$

Yani sayı pozitif ya da sıfırsa kendisi, negatifse işaret değiştirilmiş hâli alınır. Sonuç her zaman $\ge 0$ 'dır: $|5|=5$ , $|-5|=5$ , $|0|=0$ .

Örnek

Soru

$|{-7}|+|3|-|{-2}|$ işleminin sonucunu bulunuz.

Her mutlak değeri ayrı al: $|-7|=7$ , $|3|=3$ , $|-2|=2$ .
İşlemi yap: $7+3-2=8$ .

Sonuç:

8

2. $f(x)=|x|$ Fonksiyonunun Grafiği

$f(x)=|x|$ fonksiyonu, $x\ge 0$ için $y=x$ , $x<0$ için $y=-x$ doğrularından oluşur. İki doğru orijinde birleşip yukarı açılan bir "V" oluşturur.

Şekil 1 —

f(x)=|x|

grafiği. Tepe (kırılma) noktası orijindedir; sağ kol

y=x

, sol kol

y=-x

doğrusudur. Fonksiyonun değeri hiç negatif olmaz, bu yüzden grafik

x

ekseninin altına inmez.

Bu fonksiyonun temel özellikleri: en küçük değeri $0$ 'dır (tepe noktasında), grafiği $y$ eksenine göre simetriktir ( $|{-x}|=|x|$ ) ve değer kümesi $[0,\infty)$ 'dur.

3. Öteleme: $f(x)=|x-a|+b$

Temel V grafiği, içerideki ve dışarıdaki sabitlerle kaydırılır:

$|x-a|$ → grafik yatayda $a$ birim kayar (sağa, çünkü tepe $x=a$ 'da).
$+b$ → grafik dikeyde $b$ birim kayar.

Sonuçta tepe noktası $(a,\ b)$ olur. (Çıkarma/toplama yön: $|x-a|$ sağa $a$ , $|x+a|$ sola $a$ ; $+b$ yukarı, $-b$ aşağı.)

Şekil 2 —

f(x)=|x-2|-1

grafiği. Temel V; sağa

2

, aşağı

1

ötelenmiştir; tepe noktası

(2,-1)

'dir.

Örnek

Soru

$f(x)=|x+3|-4$ fonksiyonunun tepe noktasını bulunuz.

İçi sıfır yapan $x$ değeri tepe noktasının apsisidir: $x+3=0$ . Dışarıdaki sabit ordinatı verir.

İçi sıfır yap: $x+3=0\Rightarrow x=-3$ (yatay kayma sola $3$ ).
Dış sabit: $-4$ (dikey kayma aşağı $4$ ).
Tepe noktası: $(-3,\ -4)$ .

Sonuç: Tepe noktası

(-3,\ -4)

4. Mutlak Değerli Denklemler

$|x|=c$ denkleminde $c$ 'nin işaretine göre:

$c>0$ ise iki çözüm: $x=c$ veya $x=-c$ .
$c=0$ ise tek çözüm: $x=0$ .
$c<0$ ise çözüm yok (mutlak değer negatif olamaz).

Genel olarak $|A|=c$ ( $c\ge 0$ ) denkleminde $A=c$ veya $A=-c$ yazılır.

İki mutlak değerin eşitliğinde de aynı mantık geçer: $|A|=|B|$ ise $A=B$ veya $A=-B$ olur.

Örnek

Soru

$|2x-1|=5$ denklemini çözünüz.

İki duruma ayır: $2x-1=5$ veya $2x-1=-5$ .
Birincisi: $2x=6\Rightarrow x=3$ .
İkincisi: $2x=-4\Rightarrow x=-2$ .

Sonuç:

x=3

veya

x=-2

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$|{-4}|\cdot|2| - |{-3}|^2$ işleminin sonucunu bulunuz.

Mutlak değerleri al: $|-4|=4$ , $|2|=2$ , $|-3|=3$ .
İşlemi yap: $4\cdot 2-3^2=8-9=-1$ .

Sonuç:

-1

Örnek

Soru

$f(x)=|x-5|+2$ fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır ve hangi $x$ 'te alınır?

$|x-5|$ en küçük değeri $0$ 'dır; bu da $x=5$ 'te olur.
O noktada $f(5)=0+2=2$ .

Sonuç: En küçük değer

2

x=5

'te.

Örnek

Soru

$|3x+6|=0$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Mutlak değer ancak içi $0$ olduğunda $0$ 'dır: $3x+6=0$ .
$3x=-6\Rightarrow x=-2$ .

Sonuç:

x=-2

(tek çözüm).

Örnek

Soru

$|x-1|=-3$ denkleminin çözümü var mıdır?

Mutlak değer her zaman $\ge 0$ 'dır; bir negatif sayıya eşit olamaz.

Sonuç: Çözüm yoktur.

Örnek

Soru

$|2x-3|=|x+5|$ denklemini çözünüz.

$|A|=|B|$ ise $A=B$ veya $A=-B$ yaz; iki ayrı denklem çıkar.

Birinci durum: $2x-3=x+5\Rightarrow x=8$ .
İkinci durum: $2x-3=-(x+5)\Rightarrow 2x-3=-x-5\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$ .

Sonuç:

x=8

veya

x=-\dfrac{2}{3}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$|{-9}|-|4|+|{-1}|$ işleminin sonucunu bul.

$9-4+1=6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$f(x)=|x+2|+3$ fonksiyonunun tepe noktasını yaz.

$x+2=0\Rightarrow x=-2$ ; dış sabit $+3$ .

Sonuç:

(-2,\ 3)

Örnek

Soru

$|x|=7$ denkleminin çözümlerini bul.

$x=7$ veya $x=-7$ .

Sonuç:

x=\pm 7

Örnek

Soru

$|x-4|=3$ denklemini çöz.

$x-4=3\Rightarrow x=7$ .
$x-4=-3\Rightarrow x=1$ .

Sonuç:

x=7

veya

x=1

Örnek

Soru

$f(x)=|2x-8|$ fonksiyonu en küçük değerini hangi $x$ 'te alır?

İçi sıfır yap: $2x-8=0\Rightarrow x=4$ .
O noktada $f(4)=0$ .

Sonuç:

x=4

(en küçük değer

0

Örnek

Soru

$f(x)=-|x-3|+5$ fonksiyonunun tepe noktasını ve en büyük değerini bul.

Baştaki eksi işareti V'yi ters çevirir (ters V); artık tepe en büyük değerdir.

İçi sıfır yap: $x-3=0\Rightarrow x=3$ ; bu noktada $|x-3|=0$ .
$f(3)=-0+5=5$ . Eksi işaret V'yi aşağı açtığından tepe en büyük değerdir.

Sonuç: Tepe

(3,\ 5)

; en büyük değer

5

Örnek

Soru

$|2x+1|=7$ denklemini çöz.

$2x+1=7\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$ .
$2x+1=-7\Rightarrow 2x=-8\Rightarrow x=-4$ .

Sonuç:

x=3

veya

x=-4

Örnek

Soru

$|x-2|+5=3$ denkleminin çözümü var mıdır?

Önce mutlak değeri yalnız bırak: her iki taraftan $5$ çıkar.

$5$ 'i karşıya at: $|x-2|=3-5=-2$ .
Mutlak değer negatif olamaz.

Sonuç: Çözüm yoktur.

Sık Yapılan Hatalar

Mutlak değeri negatif çıkarmak. $|x|$ her zaman $\ge 0$ 'dır; $|-5|=5$ , $-5$ değil.
$|A|=c$ 'de bir çözümü unutmak. $c>0$ iken iki durum vardır: $A=c$ ve $A=-c$ .
Öteleme yönünü ters almak. $|x-a|$ tepe noktasını $x=a$ 'ya (sağa) taşır, sola değil; içerideki çıkarma sağa kaydırır.
$-x$ 'i "negatif" sanmak. $x<0$ iken $-x$ aslında pozitiftir; tanımdaki $-x$ işareti düzeltmek içindir.

Not: Bir mutlak değer fonksiyonunda tepe (kırılma) noktasını bulmak için içini sıfır yap: $|x-a|+b$ için $x=a$ , değer $b$ . Grafik bu noktadan yukarı açılan bir V'dir; $b$ , fonksiyonun en küçük değeridir.

1. Mutlak Değer Kavramı

2. f(x)=|x| Fonksiyonunun Grafiği

3. Öteleme: f(x)=|x-a|+b

4. Mutlak Değerli Denklemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular

2. $f(x)=|x|$ Fonksiyonunun Grafiği

3. Öteleme: $f(x)=|x-a|+b$