9. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Problemleri

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Nicelikler ve Değişimler temasını, öğrendiğimiz doğrusal ilişkileri gerçek hayat problemlerine uygulayarak tamamlıyoruz. Bu derste bir durumu bilinmeyenle modellemeyi, kurduğumuz birinci dereceden denklemi çözmeyi ve "en az / en çok / yeterli" gibi ifadeler içeren durumları eşitsizlikle çözmeyi öğreneceğiz. Buradaki beceri — sözel ifadeyi matematiğe çevirmek — sınavların ve günlük hayatın en çok işe yarayan parçasıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Problemi Denklemle Modelleme

Bir problemi çözmenin güvenli yolu üç adımdır:

Bilinmeyeni seç: aranan büyüklüğe $x$ de.
Modeli kur: verilen ilişkiyi $x$ cinsinden bir denklem olarak yaz.
Çöz ve yorumla: $x$ 'i bul, sonucu problemin diline geri çevir.

Sık geçen kalıplar: "bir fazlası" → $x + 1$ , " $3$ katı" → $3 x$ , "yarısı" → $\frac{x}{2}$ , " $5$ eksiği" → $x - 5$ .

Örnek

Soru

Bir sayının $3$ katının $4$ fazlası $19$ 'a eşittir. Bu sayıyı bulunuz.

Bilinmeyen: sayı $= x$ .
Modeli kur: $3 x + 4 = 19$ .
Çöz: $3 x = 15 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç: Sayı

5

'tir.

2. Doğrusal İlişki İçeren Problemler

Birçok gerçek durum $f (x) = a x + b$ kalıbındadır: sabit bir başlangıç ( $b$ ) artı birim başına değişim ( $a$ ). Örneğin "açılış ücreti + km başına ücret", "üyelik + adet başına fiyat".

Örnek

Soru

Bir taksi $15$ TL açılış ücreti ve kilometre başına $6$ TL almaktadır. $x$ km'lik yolculuğun ücreti $f (x)$ olduğuna göre $f (x)$ 'i yazınız ve $69$ TL ödeyen birinin kaç km gittiğini bulunuz.

Sabit açılış ücreti $b$ , km başına ücret eğim $a$ 'dır. Sonra $f (x) = 69$ denklemini kur.

Model: $f (x) = 6 x + 15$ (sabit $15$ , birim başına $6$ ).
$69$ TL için: $6 x + 15 = 69$ .
Çöz: $6 x = 54 \Rightarrow x = 9$ .

Sonuç:

f (x) = 6 x + 15

; yolculuk

9

km'dir.

3. Eşitsizlikle Modelleme

"En az", "en çok", "yeterli", "geçmek için" gibi ifadeler bir eşitsizliğe işaret eder. Eşitsizlikte de denklem gibi çözülür; tek fark: negatif sayı ile çarpıp bölerken eşitsizlik yönü ters döner.

İfade	Sembol
en az, asgari	$\geq$
en çok, en fazla	$\leq$
...den büyük	$>$
...den küçük	$<$

Örnek

Soru

Bir öğrencinin ilk iki sınav notu $70$ ve $80$ 'dir. Ortalamasının en az $75$ olması için üçüncü sınavdan en az kaç almalıdır?

Üçüncü not $= x$ . Ortalama koşulu: $\frac{70 + 80 + x}{3} \geq 75$ .
Her iki tarafı $3$ ile çarp: $150 + x \geq 225$ .
Çöz: $x \geq 75$ .

Sonuç: Üçüncü sınavdan en az

75

almalıdır.

Örnek

Soru

$3 - 2 x > 7$ eşitsizliğini çözünüz.

$3$ 'ü karşıya at: $- 2 x > 4$ .
$- 2$ ile böl → yön ters döner: $x < - 2$ .

Sonuç:

x < - 2

Çözümü sayı doğrusunda göstermek, hangi sayıların koşulu sağladığını anlamayı kolaylaştırır. $x < - 2$ çözümü, $- 2$ 'nin solundaki tüm sayılardır; $- 2$ dahil değildir (boş nokta).

Şekil 1 —

x < - 2

eşitsizliğinin çözüm kümesi. Uç nokta

- 2

boş (dahil değil, kesin küçüktür) işaretlenir; ok yönü

- 2

'den küçük tüm sayıları kapsar.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir sayının yarısının $7$ fazlası, kendisinin $5$ eksiğine eşittir. Sayıyı bulunuz.

Sayı $= x$ . Model: $\frac{x}{2} + 7 = x - 5$ .
Her tarafı $2$ ile çarp: $x + 14 = 2 x - 10$ .
Çöz: $14 + 10 = 2 x - x \Rightarrow x = 24$ .

Sonuç: Sayı

24

'tür.

Örnek

Soru

Ali'nin yaşı kardeşinin yaşının $3$ katıdır. Yaşları toplamı $32$ ise Ali kaç yaşındadır?

Kardeşin yaşı $= x$ , Ali $= 3 x$ .
Toplam: $x + 3 x = 32 \Rightarrow 4 x = 32 \Rightarrow x = 8$ .
Ali: $3 x = 24$ .

Sonuç: Ali

24

yaşındadır.

Örnek

Soru

Bir spor salonu aylık $200$ TL üyelik ve seans başına $30$ TL almaktadır. Bütçesi $500$ TL olan biri ayda en çok kaç seansa katılabilir?

Seans sayısı $= x$ . Koşul: $30 x + 200 \leq 500$ .
$30 x \leq 300 \Rightarrow x \leq 10$ .

Sonuç: En çok

10

seans.

Örnek

Soru

Bir manavda elmanın kilosu $40$ TL, armudun kilosu $30$ TL'dir. Toplam $5$ kg meyveye $180$ TL ödeyen biri kaç kg elma almıştır?

Elma $x$ kg ise armut $(5 - x)$ kg'dır. Toplam ücreti $x$ cinsinden yaz.

Elma $= x$ kg, armut $= (5 - x)$ kg.
Ücret: $40 x + 30 (5 - x) = 180$ .
Dağıt: $40 x + 150 - 30 x = 180 \Rightarrow 10 x = 30 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

3

kg elma almıştır.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Bir sayının $5$ katının $3$ eksiği $22$ 'dir. Sayıyı bul.

$5 x - 3 = 22 \Rightarrow 5 x = 25 \Rightarrow x = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

Bir kalem $8$ TL, bir defter $12$ TL'dir. $4$ kalem ve bir miktar defter için $80$ TL ödendiyse kaç defter alınmıştır?

Defter sayısı $= x$ . $8 \cdot 4 + 12 x = 80$ .
$32 + 12 x = 80 \Rightarrow 12 x = 48 \Rightarrow x = 4$ .

Sonuç:

4

defter.

Örnek

Soru

$2 x + 5 \leq 17$ eşitsizliğini çöz.

$2 x \leq 12 \Rightarrow x \leq 6$ .

Sonuç:

x \leq 6

Örnek

Soru

Bir otoparkta ilk saat $20$ TL, sonraki her saat $10$ TL'dir. $70$ TL ödeyen biri kaç saat kalmıştır?

Toplam saat $= x$ . İlk saat $20$ , kalan $(x - 1)$ saat $10$ 'ar TL: $20 + 10 (x - 1) = 70$ .
$20 + 10 x - 10 = 70 \Rightarrow 10 x + 10 = 70 \Rightarrow 10 x = 60 \Rightarrow x = 6$ .

Sonuç:

6

saat.

Örnek

Soru

Bir sınıfın mevcudu, $4$ öğrenci daha gelirse $30$ 'u geçer. Sınıfta en az kaç öğrenci vardır?

Mevcut $= x$ . Koşul: $x + 4 > 30$ .
$x > 26$ , yani en az $27$ .

Sonuç: En az

27

öğrenci.

Örnek

Soru

Bir babanın yaşı oğlunun yaşının $4$ katıdır. $6$ yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının $3$ katı olacaktır. Oğul şimdi kaç yaşındadır?

Oğul $x$ ise baba $4 x$ 'tir. $6$ yıl sonra her ikisine de $6$ ekle, sonra koşulu kur.

Oğul $= x$ , baba $= 4 x$ .
$6$ yıl sonra: $4 x + 6 = 3 (x + 6)$ .
$4 x + 6 = 3 x + 18 \Rightarrow x = 12$ .

Sonuç: Oğul

12

yaşındadır.

Örnek

Soru

Bir işçi çalıştığı her gün $200$ TL kazanmakta, gelmediği her gün için ise $100$ TL kesinti yapılmaktadır. $25$ günlük dönemde işçinin eline $3500$ TL geçtiyse kaç gün çalışmıştır?

Çalıştığı gün $x$ ise gelmediği gün $(25 - x)$ 'tir. Net kazancı $x$ cinsinden yaz: çalışılan günler $+ 200$ , gelinmeyen günler $- 100$ .

Çalıştığı gün $= x$ , gelmediği gün $= (25 - x)$ .
Net kazanç: $200 x - 100 (25 - x) = 3500$ .
Dağıt: $200 x - 2500 + 100 x = 3500 \Rightarrow 300 x = 6000 \Rightarrow x = 20$ .

Sonuç:

20

gün çalışmıştır.

Örnek

Soru

Ardışık üç tam sayının toplamı $72$ 'dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

Ortadaki sayıya $x$ dersen sayılar $x - 1, x, x + 1$ olur; toplamları sade çıkar.

Sayılar $x - 1, x, x + 1$ .
Toplam: $(x - 1) + x + (x + 1) = 3 x = 72 \Rightarrow x = 24$ .
En büyüğü $x + 1 = 25$ .

Sonuç: En büyük sayı

25

'tir.

Sık Yapılan Hatalar

Bilinmeyeni net seçmemek. Çözüme başlamadan " $x$ nedir?" diye yaz; yanlış büyüklüğü $x$ almak tüm modeli bozar.
Negatifle bölerken eşitsizlik yönünü çevirmemek. $- 2 x > 4$ ise $x < - 2$ (yön döner), $x > - 2$ değil.
Sözel kalıbı yanlış çevirmek. " $5$ eksiği" $x - 5$ , " $5$ ten eksiği" $5 - x$ 'tir; "en az" $\geq$ , "en çok" $\leq$ .
Toplam kısıtını kullanmayı unutmak. İki parça bir toplamı paylaşıyorsa, biri $x$ ise diğeri $(toplam - x)$ 'tir.

Not: Problem çözümünde her zaman üç adımı izle: bilinmeyeni seç → modeli kur → çöz ve yorumla. Bulduğun sayıyı mutlaka problemin sorusuna geri bağla ("sayı", "km", "seans" gibi).

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir sayının

4

katının

5

fazlası

33

'e eşittir. Bu sayı kaçtır?

Bilinmeyen: sayı $= x$ .
Modeli kur: $4 x + 5 = 33$ .
$5$ 'i karşıya at: $4 x = 28$ .
$4$ 'e böl: $x = 7$ .

Sonuç:

x = 7

Soru 2Kolay

Bir kargo şirketi

25

TL sabit ücret ve kilogram başına

8

TL almaktadır.

x

kg'lık bir gönderinin ücreti

f (x) = 8 x + 25

olduğuna göre,

89

TL ödeyen biri kaç kg gönderi yollamıştır?

Model: $f (x) = 8 x + 25$ (sabit $25$ , kg başına $8$ ).
$89$ TL için: $8 x + 25 = 89$ .
$25$ 'i karşıya at: $8 x = 64$ .
$8$ 'e böl: $x = 8$ .

Sonuç:

8

kg.

Soru 3Orta

Bir sinemada tam bilet

60

TL, öğrenci bileti

40

TL'dir. Toplam

7

bilete

340

TL ödendiğine göre kaç adet öğrenci bileti alınmıştır?

Öğrenci bileti $= x$ ise tam bilet $= (7 - x)$ adettir.
Ücret denklemi: $60 (7 - x) + 40 x = 340$ .
Dağıt: $420 - 60 x + 40 x = 340$ .
Sadeleştir: $420 - 20 x = 340 \Rightarrow - 20 x = - 80$ .
$- 20$ 'ye böl: $x = 4$ .

Sonuç:

4

öğrenci bileti.

Soru 4Orta

12 - 3 x \geq 27

eşitsizliğini sağlayan

x

değerleri için çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$12$ 'yi karşıya at: $- 3 x \geq 15$ .
$- 3$ ile böl; negatifle böldüğümüz için yön ters döner: $x \leq - 5$ .

Sonuç:

x \leq - 5

Soru 5Orta

Bir kitap kulübü aylık

150

TL sabit üyelik ve alınan her kitap için

25

TL almaktadır. Bütçesi

400

TL olan biri bir ayda en çok kaç kitap alabilir?

Alınan kitap sayısı $= x$ . Koşul: $25 x + 150 \leq 400$ .
$150$ 'yi karşıya at: $25 x \leq 250$ .
$25$ 'e böl: $x \leq 10$ .
En çok $10$ kitap alınabilir.

Sonuç: En çok

10

kitap.

Soru 6Zor

Bir annenin yaşı kızının yaşının

3

katıdır.

5

yıl sonra annenin yaşı, kızının o günkü yaşının

2

katından

4

fazla olacaktır. Kız şimdi kaç yaşındadır?

Kızın şimdiki yaşı $= x$ , annenin yaşı $= 3 x$ .
$5$ yıl sonra kız $= (x + 5)$ , anne $= (3 x + 5)$ .
Koşul: $3 x + 5 = 2 (x + 5) + 4$ .
Dağıt: $3 x + 5 = 2 x + 10 + 4 = 2 x + 14$ .
Çöz: $3 x - 2 x = 14 - 5 \Rightarrow x = 9$ .

Sonuç: Kız şimdi

9

yaşındadır.

0/6 soru cevaplandı

1. Problemi Denklemle Modelleme

2. Doğrusal İlişki İçeren Problemler

3. Eşitsizlikle Modelleme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular