9. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Doğrusal Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Nicelikler ve Değişimler temasına bir niceliğin başka bir niceliğe sabit hızla bağlı olduğu durumla başlıyoruz: doğrusal fonksiyon. Bu derste $f (x) = a x + b$ biçimini, eğim $a$ ile $y$ kesişimi $b$ 'nin grafiği nasıl belirlediğini, fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu ve eksen kesişimlerini öğreneceğiz. Doğrusal fonksiyonlar; hız-zaman, ücret-miktar gibi günlük değişimlerin modelidir ve bir sonraki derslerin (mutlak değer fonksiyonu, problemler) temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Doğrusal Fonksiyon Nedir?

$a \neq = 0$ ve $b$ gerçek sayılar olmak üzere

$f (x) = a x + b$

biçimindeki fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Grafiği bir doğrudur. Burada:

$a$ → eğim (doğrunun ne kadar dik olduğu ve yönü),
$b$ → $y$ kesişimi (doğrunun $y$ eksenini kestiği nokta: $(0, b)$ ).

Şekil 1 —

f (x) = 2 x + 1

doğrusal fonksiyonu. Eğim

a = 2

(pozitif → artan),

y

kesişimi

b = 1

olduğundan grafik

y

eksenini

(0, 1)

noktasında keser.

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 5$ fonksiyonunda eğim ve $y$ kesişimini belirtiniz, $f (2)$ değerini bulunuz.

$f (x) = a x + b$ ile karşılaştır: $a = 3$ (eğim), $b = - 5$ ( $y$ kesişimi $(0, - 5)$ ).
$f (2)$ için $x = 2$ koy: $f (2) = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$ .

Sonuç: Eğim

3

y

kesişimi

(0, - 5)

f (2) = 1

2. Eğim ve İşareti

Eğim, $x$ bir birim arttığında $y$ 'nin ne kadar değiştiğini verir. İki noktadan eğim:

$a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

İşareti, fonksiyonun gidişini belirler:

$a > 0$ → fonksiyon artandır (grafik soldan sağa yükselir).
$a < 0$ → fonksiyon azalandır (grafik soldan sağa alçalır).
$a = 0$ → $f (x) = b$ sabit fonksiyon (yatay doğru; doğrusal sayılmaz).

Bir grafikten değer okumak da kolaydır: bir $x$ değerinden yukarı çıkıp doğruya değdiğimiz noktanın yüksekliği $f (x)$ 'tir.

Şekil 2 — Grafikten değer okuma.

y = 2 x + 1

doğrusunda

x = 2

'den dik çıkılır; doğruya değen nokta

y = 5

yüksekliğindedir, yani

f (2) = 5

Örnek

Soru

$A (1, 4)$ ve $B (3, 10)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz ve fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu söyleyiniz.

Eğim formülünde $y$ farkını $x$ farkına böl; hangi noktayı önce yazdığın sonucu değiştirmez, yeter ki pay ve paydada aynı sırayı kullan.

Formülü uygula: $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
$a = 3 > 0$ olduğundan fonksiyon artandır.

Sonuç: Eğim

3

, fonksiyon artandır.

3. Eksen Kesişimleri

Grafiğin eksenleri kestiği noktalar fonksiyonu hızlı çizmeye yarar:

$y$ eksenini kestiği nokta: $x = 0$ koy → $(0, b)$ .
$x$ eksenini kestiği nokta (kök): $f (x) = 0$ çöz → $(- \frac{b}{a}, 0)$ .

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 6$ fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

$y$ kesişimi: $x = 0$ → $f (0) = - 6$ , nokta $(0, - 6)$ .
$x$ kesişimi: $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ , nokta $(3, 0)$ .

Sonuç:

(0, - 6)

(3, 0)

4. Fonksiyonu Belirleme

İki bilgi (örneğin iki nokta ya da bir nokta + eğim) verilince fonksiyon tek biçimde bulunur: önce eğim $a$ , sonra bir noktayı yerine koyarak $b$ .

Örnek

Soru

Eğimi $- 2$ olan ve $(1, 3)$ noktasından geçen doğrusal fonksiyonu bulunuz.

$a = - 2$ olduğundan $f (x) = - 2 x + b$ .
$(1, 3)$ noktasını yerine koy: $3 = - 2 \cdot 1 + b \Rightarrow 3 = - 2 + b \Rightarrow b = 5$ .
Fonksiyon: $f (x) = - 2 x + 5$ .

Sonuç:

f (x) = - 2 x + 5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = - \frac{1}{2} x + 4$ fonksiyonu artan mı azalan mıdır? $f (6)$ kaçtır?

Eğim $a = - \frac{1}{2} < 0$ → azalan.
$f (6) = - \frac{1}{2} \cdot 6 + 4 = - 3 + 4 = 1$ .

Sonuç: Azalan;

f (6) = 1

Örnek

Soru

$A (- 2, 1)$ ve $B (2, 9)$ noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu bulunuz.

Eğim: $a = \frac{9 - 1}{2 - ( - 2 )} = \frac{8}{4} = 2$ .
$f (x) = 2 x + b$ ; $A (- 2, 1)$ 'i koy: $1 = 2 \cdot (- 2) + b \Rightarrow 1 = - 4 + b \Rightarrow b = 5$ .
Fonksiyon: $f (x) = 2 x + 5$ .

Sonuç:

f (x) = 2 x + 5

Örnek

Soru

$f (x) = a x + b$ fonksiyonu için $f (0) = 3$ ve $f (2) = 11$ ise $a$ ve $b$ 'yi bulunuz.

$f (0)$ doğrudan $b$ 'yi verir; sonra $f (2)$ ile $a$ 'yı çek.

$f (0) = a \cdot 0 + b = b = 3$ , yani $b = 3$ .
$f (2) = 2 a + b = 11 \Rightarrow 2 a + 3 = 11 \Rightarrow 2 a = 8 \Rightarrow a = 4$ .

Sonuç:

a = 4

b = 3

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x - 12$ fonksiyonunun grafiği ile eksenler arasında kalan üçgenin alanını bulunuz.

Eksen kesişimleri: $y$ → $(0, - 12)$ ; $x$ → $3 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , $(4, 0)$ .
Dik kenarlar eksenlerdeki uzunluklar: $∣ - 12 ∣ = 12$ ve $4$ .
Alan: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$ .

Sonuç: Alan

24

birimkaredir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = 5 x + 2$ fonksiyonunun eğimini ve $y$ kesişimini yaz.

$a = 5$ (eğim), $b = 2$ → $y$ kesişimi $(0, 2)$ .

Sonuç: Eğim

5

y

kesişimi

(0, 2)

Örnek

Soru

$P (0, - 1)$ ve $Q (4, 7)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bul.

$a = \frac{7 - ( - 1 )}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$ .

Sonuç: Eğim

2

Örnek

Soru

$f (x) = - 3 x + 9$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiği noktayı bul.

$f (x) = 0$ : $- 3 x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

(3, 0)

Örnek

Soru

Eğimi $4$ olan ve $(2, 3)$ noktasından geçen doğrusal fonksiyonu yaz.

$f (x) = 4 x + b$ ; $(2, 3)$ : $3 = 8 + b \Rightarrow b = - 5$ .

Sonuç:

f (x) = 4 x - 5

Örnek

Soru

$f (x) = a x + 1$ fonksiyonu $(3, 10)$ noktasından geçiyorsa $a$ kaçtır?

$(3, 10)$ 'u koy: $10 = 3 a + 1 \Rightarrow 3 a = 9 \Rightarrow a = 3$ .

Sonuç:

a = 3

Örnek

Soru

$f (x) = \frac{2}{3} x - 2$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiği noktayı bul.

$f (x) = 0$ : $\frac{2}{3} x - 2 = 0 \Rightarrow \frac{2}{3} x = 2 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

(3, 0)

Örnek

Soru

$A (- 1, 5)$ ve $B (3, - 3)$ noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu bul.

Eğim: $a = \frac{- 3 - 5}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ .
$f (x) = - 2 x + b$ ; $A (- 1, 5)$ 'i koy: $5 = - 2 \cdot (- 1) + b \Rightarrow 5 = 2 + b \Rightarrow b = 3$ .

Sonuç:

f (x) = - 2 x + 3

Örnek

Soru

$f (x) = a x + b$ doğrusal fonksiyonu için $f (1) = 7$ ve $f (4) = 1$ ise $f (0)$ kaçtır?

Önce iki noktadan eğimi bul; sonra bir noktayı kullanarak $b$ 'yi çek. $f (0) = b$ 'dir.

Eğim: $a = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} = - 2$ .
$f (x) = - 2 x + b$ ; $f (1) = 7$ : $- 2 + b = 7 \Rightarrow b = 9$ .
$f (0) = b = 9$ .

Sonuç:

f (0) = 9

Örnek

Soru

$f (x) = - 3 x + 12$ fonksiyonunun grafiği ile eksenler arasında kalan üçgenin alanını bul.

Eksen kesişimlerini bul; dik kenarlar eksenlerdeki uzunluklardır.

$y$ kesişimi: $f (0) = 12$ , nokta $(0, 12)$ .
$x$ kesişimi: $- 3 x + 12 = 0 \Rightarrow x = 4$ , nokta $(4, 0)$ .
Dik kenarlar $12$ ve $4$ ; alan $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24$ .

Sonuç:

24

birimkare.

Sık Yapılan Hatalar

Eğim formülünde sırayı karıştırmak. Pay $y_{2} - y_{1}$ ile payda $x_{2} - x_{1}$ aynı noktayı başlangıç almalı; biri ters olursa işaret hatalı çıkar.
$b$ 'yi eğim sanmak. $f (x) = a x + b$ 'de eğim $a$ , $y$ kesişimi $b$ 'dir.
$x$ kesişimini $y = 0$ yerine $x = 0$ ile aramak. $x$ eksenini keserken $y = f (x) = 0$ alınır; $x = 0$ ise $y$ kesişimini verir.
Eğimin işaretini gidişle bağdaştırmamak. $a > 0$ artan, $a < 0$ azalandır; bunu grafikte yükseliş/alçalış olarak gör.

Not: Bir doğrusal fonksiyonu hızlıca çizmek için iki noktası yeter: $y$ kesişimi $(0, b)$ ile $x$ kesişimi $(- \frac{b}{a}, 0)$ . Bu iki noktayı işaretleyip birleştir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = - 4 x + 7

doğrusal fonksiyonu için eğim,

y

kesişimi ve fonksiyonun gidişi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$f (x) = a x + b$ ile karşılaştır: $a = - 4$ (eğim), $b = 7$ ( $y$ kesişimi $(0, 7)$ ).
Eğim $a = - 4 < 0$ olduğundan fonksiyon azalandır.
Dolayısıyla eğim $- 4$ , $y$ kesişimi $(0, 7)$ ve fonksiyon azalandır.

Sonuç: Eğim

- 4

y

kesişimi

(0, 7)

, azalan.

Soru 2Kolay

A (- 1, 2)

B (3, 14)

noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Eğim formülü: $a = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
$a = \frac{14 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{12}{4} = 3$ .
Eğim $3$ 'tür.

Sonuç: Eğim

3

Soru 3Orta

f (x) = \frac{3}{4} x - 6

fonksiyonunun

x

eksenini kestiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?

$x$ eksenini keserken $y = f (x) = 0$ alınır.
$\frac{3}{4} x - 6 = 0 \Rightarrow \frac{3}{4} x = 6$ .
$x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ , nokta $(8, 0)$ .

Sonuç:

(8, 0)

Soru 4Orta

Eğimi

5

olan ve

(- 2, 4)

noktasından geçen doğrusal fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

Eğim $5$ olduğundan $f (x) = 5 x + b$ .
$(- 2, 4)$ noktasını yerine koy: $4 = 5 \cdot (- 2) + b \Rightarrow 4 = - 10 + b$ .
$b = 14$ , dolayısıyla $f (x) = 5 x + 14$ .

Sonuç:

f (x) = 5 x + 14

Soru 5Orta

f (x) = a x + b

doğrusal fonksiyonu için

f (1) = - 2

f (5) = 10

ise

f (0)

kaçtır?

Önce eğim: $a = \frac{f ( 5 ) - f ( 1 )}{5 - 1} = \frac{10 - ( - 2 )}{4} = \frac{12}{4} = 3$ .
$f (x) = 3 x + b$ ; $f (1) = - 2$ için: $3 \cdot 1 + b = - 2 \Rightarrow b = - 5$ .
$f (0) = b = - 5$ .

Sonuç:

f (0) = - 5

Soru 6Zor

Bir taksinin açılış (iniş) ücreti

15

TL olup her kilometre için

6

TL ekleniyor. Yol boyunca ödenen toplam ücret

x

kilometreye bağlı

f (x) = 6 x + 15

fonksiyonuyla veriliyor. Toplam ücretin

81

TL olduğu bir yolculukta kaç kilometre yol gidilmiştir?

Toplam ücret $81$ TL olduğundan $f (x) = 81$ yazılır: $6 x + 15 = 81$ .
$6 x = 81 - 15 = 66$ .
$x = \frac{66}{6} = 11$ km.

Sonuç:

11

km.

0/6 soru cevaplandı

1. Doğrusal Fonksiyon Nedir?

2. Eğim ve İşareti

3. Eksen Kesişimleri

4. Fonksiyonu Belirleme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular