9. Sınıf · Nicelikler ve Değişimler

Doğrusal Fonksiyonlar

~7 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Nicelikler ve Değişimler temasına bir niceliğin başka bir niceliğe sabit hızla bağlı olduğu durumla başlıyoruz: doğrusal fonksiyon. Bu derste $f(x)=ax+b$ biçimini, eğim $a$ ile $y$ kesişimi $b$ 'nin grafiği nasıl belirlediğini, fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu ve eksen kesişimlerini öğreneceğiz. Doğrusal fonksiyonlar; hız-zaman, ücret-miktar gibi günlük değişimlerin modelidir ve bir sonraki derslerin (mutlak değer fonksiyonu, problemler) temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Doğrusal Fonksiyon Nedir?

$a\neq 0$ ve $b$ gerçek sayılar olmak üzere

$f(x)=ax+b$

biçimindeki fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Grafiği bir doğrudur. Burada:

$a$ → eğim (doğrunun ne kadar dik olduğu ve yönü),
$b$ → $y$ kesişimi (doğrunun $y$ eksenini kestiği nokta: $(0,b)$ ).

Şekil 1 —

f(x)=2x+1

doğrusal fonksiyonu. Eğim

a=2

(pozitif → artan),

y

kesişimi

b=1

olduğundan grafik

y

eksenini

(0,1)

noktasında keser.

Örnek

Soru

$f(x)=3x-5$ fonksiyonunda eğim ve $y$ kesişimini belirtiniz, $f(2)$ değerini bulunuz.

$f(x)=ax+b$ ile karşılaştır: $a=3$ (eğim), $b=-5$ ( $y$ kesişimi $(0,-5)$ ).
$f(2)$ için $x=2$ koy: $f(2)=3\cdot 2-5=6-5=1$ .

Sonuç: Eğim

3

y

kesişimi

(0,-5)

f(2)=1

2. Eğim ve İşareti

Eğim, $x$ bir birim arttığında $y$ 'nin ne kadar değiştiğini verir. İki noktadan eğim:

$a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

İşareti, fonksiyonun gidişini belirler:

$a>0$ → fonksiyon artandır (grafik soldan sağa yükselir).
$a<0$ → fonksiyon azalandır (grafik soldan sağa alçalır).
$a=0$ → $f(x)=b$ sabit fonksiyon (yatay doğru; doğrusal sayılmaz).

Bir grafikten değer okumak da kolaydır: bir $x$ değerinden yukarı çıkıp doğruya değdiğimiz noktanın yüksekliği $f(x)$ 'tir.

Şekil 2 — Grafikten değer okuma.

y=2x+1

doğrusunda

x=2

'den dik çıkılır; doğruya değen nokta

y=5

yüksekliğindedir, yani

f(2)=5

Örnek

Soru

$A(1,\ 4)$ ve $B(3,\ 10)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz ve fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu söyleyiniz.

Eğim formülünde $y$ farkını $x$ farkına böl; hangi noktayı önce yazdığın sonucu değiştirmez, yeter ki pay ve paydada aynı sırayı kullan.

Formülü uygula: $a=\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3$ .
$a=3>0$ olduğundan fonksiyon artandır.

Sonuç: Eğim

3

, fonksiyon artandır.

3. Eksen Kesişimleri

Grafiğin eksenleri kestiği noktalar fonksiyonu hızlı çizmeye yarar:

$y$ eksenini kestiği nokta: $x=0$ koy → $(0,b)$ .
$x$ eksenini kestiği nokta (kök): $f(x)=0$ çöz → $\left(-\dfrac{b}{a},\ 0\right)$ .

Örnek

Soru

$f(x)=2x-6$ fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

$y$ kesişimi: $x=0$ → $f(0)=-6$ , nokta $(0,-6)$ .
$x$ kesişimi: $2x-6=0\Rightarrow x=3$ , nokta $(3,0)$ .

Sonuç:

(0,-6)

(3,0)

4. Fonksiyonu Belirleme

İki bilgi (örneğin iki nokta ya da bir nokta + eğim) verilince fonksiyon tek biçimde bulunur: önce eğim $a$ , sonra bir noktayı yerine koyarak $b$ .

Örnek

Soru

Eğimi $-2$ olan ve $(1,\ 3)$ noktasından geçen doğrusal fonksiyonu bulunuz.

$a=-2$ olduğundan $f(x)=-2x+b$ .
$(1,3)$ noktasını yerine koy: $3=-2\cdot 1+b\Rightarrow 3=-2+b\Rightarrow b=5$ .
Fonksiyon: $f(x)=-2x+5$ .

Sonuç:

f(x)=-2x+5

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f(x)=-\dfrac{1}{2}x+4$ fonksiyonu artan mı azalan mıdır? $f(6)$ kaçtır?

Eğim $a=-\dfrac{1}{2}<0$ → azalan.
$f(6)=-\dfrac{1}{2}\cdot 6+4=-3+4=1$ .

Sonuç: Azalan;

f(6)=1

Örnek

Soru

$A(-2,\ 1)$ ve $B(2,\ 9)$ noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu bulunuz.

Eğim: $a=\dfrac{9-1}{2-(-2)}=\dfrac{8}{4}=2$ .
$f(x)=2x+b$ ; $A(-2,1)$ 'i koy: $1=2\cdot(-2)+b\Rightarrow 1=-4+b\Rightarrow b=5$ .
Fonksiyon: $f(x)=2x+5$ .

Sonuç:

f(x)=2x+5

Örnek

Soru

$f(x)=ax+b$ fonksiyonu için $f(0)=3$ ve $f(2)=11$ ise $a$ ve $b$ 'yi bulunuz.

$f(0)$ doğrudan $b$ 'yi verir; sonra $f(2)$ ile $a$ 'yı çek.

$f(0)=a\cdot 0+b=b=3$ , yani $b=3$ .
$f(2)=2a+b=11\Rightarrow 2a+3=11\Rightarrow 2a=8\Rightarrow a=4$ .

Sonuç:

a=4

b=3

Örnek

Soru

$f(x)=3x-12$ fonksiyonunun grafiği ile eksenler arasında kalan üçgenin alanını bulunuz.

Eksen kesişimleri: $y$ → $(0,-12)$ ; $x$ → $3x-12=0\Rightarrow x=4$ , $(4,0)$ .
Dik kenarlar eksenlerdeki uzunluklar: $|{-12}|=12$ ve $4$ .
Alan: $\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 12=24$ .

Sonuç: Alan

24

birimkaredir.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f(x)=5x+2$ fonksiyonunun eğimini ve $y$ kesişimini yaz.

$a=5$ (eğim), $b=2$ → $y$ kesişimi $(0,2)$ .

Sonuç: Eğim

5

y

kesişimi

(0,2)

Örnek

Soru

$P(0,\ -1)$ ve $Q(4,\ 7)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bul.

$a=\dfrac{7-(-1)}{4-0}=\dfrac{8}{4}=2$ .

Sonuç: Eğim

2

Örnek

Soru

$f(x)=-3x+9$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiği noktayı bul.

$f(x)=0$ : $-3x+9=0\Rightarrow x=3$ .

Sonuç:

(3,0)

Örnek

Soru

Eğimi $4$ olan ve $(2,\ 3)$ noktasından geçen doğrusal fonksiyonu yaz.

$f(x)=4x+b$ ; $(2,3)$ : $3=8+b\Rightarrow b=-5$ .

Sonuç:

f(x)=4x-5

Örnek

Soru

$f(x)=ax+1$ fonksiyonu $(3,\ 10)$ noktasından geçiyorsa $a$ kaçtır?

$(3,10)$ 'u koy: $10=3a+1\Rightarrow 3a=9\Rightarrow a=3$ .

Sonuç:

a=3

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2}{3}x-2$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiği noktayı bul.

$f(x)=0$ : $\dfrac{2}{3}x-2=0\Rightarrow \dfrac{2}{3}x=2\Rightarrow x=3$ .

Sonuç:

(3,0)

Örnek

Soru

$A(-1,\ 5)$ ve $B(3,\ -3)$ noktalarından geçen doğrusal fonksiyonu bul.

Eğim: $a=\dfrac{-3-5}{3-(-1)}=\dfrac{-8}{4}=-2$ .
$f(x)=-2x+b$ ; $A(-1,5)$ 'i koy: $5=-2\cdot(-1)+b\Rightarrow 5=2+b\Rightarrow b=3$ .

Sonuç:

f(x)=-2x+3

Örnek

Soru

$f(x)=ax+b$ doğrusal fonksiyonu için $f(1)=7$ ve $f(4)=1$ ise $f(0)$ kaçtır?

Önce iki noktadan eğimi bul; sonra bir noktayı kullanarak $b$ 'yi çek. $f(0)=b$ 'dir.

Eğim: $a=\dfrac{1-7}{4-1}=\dfrac{-6}{3}=-2$ .
$f(x)=-2x+b$ ; $f(1)=7$ : $-2+b=7\Rightarrow b=9$ .
$f(0)=b=9$ .

Sonuç:

f(0)=9

Örnek

Soru

$f(x)=-3x+12$ fonksiyonunun grafiği ile eksenler arasında kalan üçgenin alanını bul.

Eksen kesişimlerini bul; dik kenarlar eksenlerdeki uzunluklardır.

$y$ kesişimi: $f(0)=12$ , nokta $(0,12)$ .
$x$ kesişimi: $-3x+12=0\Rightarrow x=4$ , nokta $(4,0)$ .
Dik kenarlar $12$ ve $4$ ; alan $=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 12=24$ .

Sonuç:

24

birimkare.

Sık Yapılan Hatalar

Eğim formülünde sırayı karıştırmak. Pay $y_2-y_1$ ile payda $x_2-x_1$ aynı noktayı başlangıç almalı; biri ters olursa işaret hatalı çıkar.
$b$ 'yi eğim sanmak. $f(x)=ax+b$ 'de eğim $a$ , $y$ kesişimi $b$ 'dir.
$x$ kesişimini $y=0$ yerine $x=0$ ile aramak. $x$ eksenini keserken $y=f(x)=0$ alınır; $x=0$ ise $y$ kesişimini verir.
Eğimin işaretini gidişle bağdaştırmamak. $a>0$ artan, $a<0$ azalandır; bunu grafikte yükseliş/alçalış olarak gör.

Not: Bir doğrusal fonksiyonu hızlıca çizmek için iki noktası yeter: $y$ kesişimi $(0,b)$ ile $x$ kesişimi $\left(-\tfrac{b}{a},0\right)$ . Bu iki noktayı işaretleyip birleştir.

1. Doğrusal Fonksiyon Nedir?

2. Eğim ve İşareti

3. Eksen Kesişimleri

4. Fonksiyonu Belirleme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Nicelikler ve Değişimler — diğer konular