10. Sınıf · Veriden Olasılığa

Koşullu Olasılık

~8 dk okumaZorluk: Zor5 çözümlü soru

Veriden Olasılığa temasının ilk konusu, bir olayın başka bir olay gerçekleştiği bilindiğinde olasılığını ele alır: koşullu olasılık. Bu derste $P (A ∣ B)$ kavramını, formülünü ( $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ ), ağaç şeması ile gösterimini ve günlük problemlerde kullanımını öğreneceğiz. Koşullu olasılık; bağımlı olaylar ve Bayes teoreminin de temelidir. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Koşullu Olasılık Kavramı

$B$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $A$ olayının olasılığına koşullu olasılık denir ve $P (A ∣ B)$ ile gösterilir:

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} (P (B) \neq = 0)$

Sezgi: bilgi geldiğinde örnek uzay daralır — artık yalnız $B$ 'nin gerçekleştiği durumlara bakarız.

Örnek

Soru

Bir zar atıldı ve gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu sayının $4$ olma olasılığı kaçtır?

Bilgi "çift geldi" olduğundan örnek uzay ${2, 4, 6}$ 'ya daralır; istenen bu daralmış uzayda aranır.

Çift gelme bilgisiyle örnek uzay ${2, 4, 6}$ (3 durum).
İstenen $4$ , bunlardan biri.
$P (4 ∣ \overset{c}{¸} ift) = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

2. Ağaç Şeması ile Gösterim

Aşamalı (önce A, sonra B) deneyler ağaç şemasıyla çözülür: her dal bir olasılık taşır; bir yol boyunca dallar çarpılır.

Şekil 1 — İki aşamalı ağaç. Bir kolu izlemek için dal olasılıkları çarpılır: örneğin

A

sonra

B

yolunun olasılığı

P (A) \cdot P (B ∣ A)

'dır. İkinci aşama dalları koşulludur.

Bu çarpım, $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ bağıntısını verir.

Örnek

Soru

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığını bulunuz.

İlk kırmızı: $P (K_{1}) = \frac{3}{5}$ .
İlk top geri konmadığından ikinci çekişte $4$ top, $2$ kırmızı kalır: $P (K_{2} ∣ K_{1}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Yol çarpımı: $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ .

Sonuç:

\frac{3}{10}

3. Tablodan Koşullu Olasılık

Çapraz tablo verildiğinde $P (A ∣ B)$ , $B$ satır/sütununa daralarak okunur: koşulu sağlamayan satır/sütun artık örnek uzayın dışında kalır.

Şekil 2 — Gözlük takma–cinsiyet çapraz tablosu. "Gözlük takıyor" koşulu verilince örnek uzay vurgulu sütuna (

25 + 35 = 60

kişi) daralır;

P (kad ı n ∣ g \overset{o}{¨} zl \overset{u}{¨} k)

bu sütunda kadın oranıdır:

\frac{25}{60}

Örnek

Soru

$100$ kişiden $60$ 'ı gözlük takıyor; gözlük takanların $25$ 'i kadın. Rastgele seçilen biri gözlük takıyorsa kadın olma olasılığı kaçtır?

Koşul "gözlük takıyor" → örnek uzay $60$ kişi.
Bunların $25$ 'i kadın.
$P (kad ı n ∣ g \overset{o}{¨} zl \overset{u}{¨} k) = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ .

Sonuç:

\frac{5}{12}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$P (A \cap B) = 0, 2$ ve $P (B) = 0, 5$ ise $P (A ∣ B)$ kaçtır?

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 5} = 0, 4$ .

Sonuç:

0, 4

Örnek

Soru

Bir zarın gelen sayısının $3$ 'ten büyük olduğu biliniyor. Sayının tek olma olasılığı kaçtır?

" $3$ 'ten büyük" → uzay ${4, 5, 6}$ .
Tek olan: yalnız $5$ .
$P = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

Örnek

Soru

Bir torbada $4$ kırmızı, $6$ mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İlk kırmızı, ikinci mavi olma olasılığı nedir?

İlk kırmızı: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
İkinci mavi (kalan $9$ top, $6$ mavi): $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .
Çarp: $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$ .

Sonuç:

\frac{4}{15}

Örnek

Soru

$80$ öğrenciden $50$ 'si matematik kursuna gidiyor; bunların $20$ 'si aynı zamanda fizik kursuna gidiyor. Matematik kursuna giden biri seçildiğinde fizik kursuna da gitme olasılığı nedir?

Koşul "matematik" → uzay $50$ .
Fizik de gidenler $20$ .
$\frac{20}{50} = \frac{2}{5}$ .

Sonuç:

\frac{2}{5}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$P (A \cap B) = 0, 15$ , $P (B) = 0, 3$ ise $P (A ∣ B)$ kaçtır?

$\frac{0 , 15}{0 , 3} = 0, 5$ .

Sonuç:

0, 5

Örnek

Soru

Bir zarın çift geldiği biliniyor. Sayının $6$ olma olasılığı kaçtır?

Uzay ${2, 4, 6}$ ; istenen $6$ → $\frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

Örnek

Soru

$5$ kırmızı, $5$ mavi toptan geri koymadan iki kırmızı çekme olasılığı nedir?

$\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9}$ .

Sonuç:

\frac{2}{9}

Örnek

Soru

$200$ kişiden $120$ 'si spor yapıyor; spor yapanların $48$ 'i kadın. Spor yapan biri seçildiğinde kadın olma olasılığı nedir?

$\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$ .

Sonuç:

\frac{2}{5}

Örnek

Soru

İki zar atılıyor. Zarların toplamının $8$ olduğu biliniyor. İki zarın da çift gelmiş olma olasılığı nedir?

Önce toplamı $8$ yapan tüm sıralı ikilileri yaz; bu küme yeni örnek uzaydır. Sonra içlerinde ikisi de çift olanları say.

Toplamı $8$ yapanlar: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ → $5$ durum (yeni örnek uzay).
İkisi de çift olanlar: $(2, 6), (4, 4), (6, 2)$ → $3$ durum.
$P (ikisi de \overset{c}{¸} ift ∣ toplam 8) = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

Örnek

Soru

Bir torbada $4$ kırmızı, $5$ beyaz top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu biliniyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığı nedir?

Koşul, ikinci çekişin yapıldığı durumu sabitler: ilk top kırmızı çekilmiş, torbada $8$ top ( $3$ kırmızı, $5$ beyaz) kaldı.
İkinci kırmızı: $\frac{3}{8}$ .

Sonuç:

\frac{3}{8}

Örnek

Soru

Bir sınıfta $30$ öğrenci var: $18$ 'i İngilizce, $12$ 'si Almanca kursuna gidiyor; $7$ öğrenci her ikisine de gidiyor. Almanca kursuna giden bir öğrenci seçiliyor. Bu öğrencinin İngilizce kursuna da gitme olasılığı nedir?

İstenen $P (\dot{I} ng ∣ Alm) = \frac{P ( I ˙ ng \cap Alm )}{P ( Alm )}$ . Kesişim "her ikisi", payda "Almanca".

Koşul "Almanca" → örnek uzay $12$ öğrenci.
Bunların İngilizce'ye de gidenleri, kesişim $= 7$ .
$P (\dot{I} ng ∣ Alm) = \frac{7}{12}$ .

Sonuç:

\frac{7}{12}

Örnek

Soru

$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ ve $P (A \cup B) = 0, 7$ veriliyor. $P (A ∣ B)$ kaçtır?

Önce $P (A \cap B)$ 'yi bul: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ . Sonra $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .

Kesişimi çöz: $0, 7 = 0, 5 + 0, 4 - P (A \cap B) \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 2$ .
Koşullu olasılık: $P (A ∣ B) = \frac{0 , 2}{0 , 4} = 0, 5$ .

Sonuç:

0, 5

Sık Yapılan Hatalar

$P (A ∣ B)$ ile $P (B ∣ A)$ 'yı eşit sanmak. Koşulun hangi olay olduğuna göre payda değişir; bunlar genelde eşit değildir.
Örnek uzayı daraltmayı unutmak. Koşul verildiğinde yalnız o koşulun gerçekleştiği durumlara bak.
Geri koymalı/koymasız ayrımını atlamak. Geri koymadan çekişte ikinci olasılığın paydası ve payı azalır.
Ağaçta dalları toplamak. Bir yol boyunca dallar çarpılır; farklı yolları birleştirirken toplanır.
Kesişimle koşulluyu karıştırmak. $P (A \cap B)$ tüm uzayda "hem A hem B" oranıdır; $P (A ∣ B)$ ise yalnız $B$ içindeki orandır. Bu yüzden $P (A ∣ B) \geq P (A \cap B)$ olur (payda $\leq 1$ ).

Not: Koşullu olasılıkta iki güvenli yol var: formül $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ ya da örnek uzayı daraltma (koşulu sağlayanlar içinde say). Aşamalı deneylerde ağaç şeması çiz; yol = dalların çarpımı.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir zar atılıyor ve gelen sayının

2

'den büyük olduğu biliniyor. Bu sayının asal olma olasılığı kaçtır?

Koşul " $2$ 'den büyük" olduğundan örnek uzay ${3, 4, 5, 6}$ 'ya daralır (4 durum).
Bu uzaydaki asal sayılar: $3$ ve $5$ (2 durum).
$P (asal ∣> 2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Soru 2Kolay

P (A \cap B) = 0, 18

P (B) = 0, 6

ise

P (A ∣ B)

kaçtır?

Koşullu olasılık formülü: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ .
Değerleri yerine koy: $\frac{0 , 18}{0 , 6} = 0, 3$ .

Sonuç:

0, 3

Soru 3Orta

Bir ankete katılan

150

kişiden

90

'ı çay içmeyi sevmektedir; çay içmeyi sevenlerin

54

'ü erkektir. Rastgele seçilen bir kişinin çay içmeyi sevdiği biliniyorsa, bu kişinin erkek olma olasılığı kaçtır?

Koşul "çay içmeyi seviyor" olduğundan örnek uzay $90$ kişiye daralır.
Bu $90$ kişinin $54$ 'ü erkektir.
$P (erkek ∣ \overset{c}{¸} ay) = \frac{54}{90} = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

Soru 4Orta

P (A) = 0, 6

P (B) = 0, 5

P (A \cup B) = 0, 8

veriliyor.

P (B ∣ A)

kaçtır?

Önce kesişimi bul: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
$0, 8 = 0, 6 + 0, 5 - P (A \cap B) \Rightarrow P (A \cap B) = 0, 3$ .
Koşul $A$ olduğundan payda $P (A)$ 'dır: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{0 , 3}{0 , 6} = 0, 5$ .

Sonuç:

0, 5

Soru 5Zor

İki zar atılıyor. Zarların üzerindeki sayıların toplamının

6

olduğu biliniyor. İki zarın da tek gelmiş olma olasılığı nedir?

Toplamı $6$ yapan sıralı ikililer: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ → $5$ durum (yeni örnek uzay).
Bunlardan ikisi de tek olanlar: $(1, 5), (3, 3), (5, 1)$ → $3$ durum.
$P (ikisi de tek ∣ toplam 6) = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

0/5 soru cevaplandı

1. Koşullu Olasılık Kavramı

2. Ağaç Şeması ile Gösterim

3. Tablodan Koşullu Olasılık

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Veriden Olasılığa — diğer konular