10. Sınıf · Veriden Olasılığa

Bayes Teoremi

~8 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Veriden Olasılığa temasını, koşullu olasılığı tersine çeviren Bayes teoremiyle tamamlıyoruz. Çoğu zaman $P (B ∣ A)$ 'yı biliriz ama asıl merak ettiğimiz $P (A ∣ B)$ 'dir ("test pozitif çıktıysa, kişi gerçekten hasta mı?"). Bu derste toplam olasılık kuralını ve Bayes formülünü ağaç şemasıyla öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Toplam Olasılık Kuralı

Bir $B$ olayı, birbirini dışlayan $A$ ve $A^{'}$ durumları üzerinden gerçekleşebiliyorsa, $B$ 'nin toplam olasılığı tüm yolların toplamıdır:

$P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (A^{'}) \cdot P (B ∣ A^{'})$

Şekil 1 —

B

'ye iki yoldan ulaşılır:

A

üzerinden (

P (A) \cdot P (B ∣ A)

) ve

A^{'}

üzerinden (

P (A^{'}) \cdot P (B ∣ A^{'})

). Toplam olasılık bu iki yolun toplamıdır.

Örnek

Soru

Bir fabrikada ürünlerin $%60$ 'ı A makinesinde, $%40$ 'ı B makinesinde üretiliyor. A'nın hata oranı $%5$ , B'nin $%10$ 'dur. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığını bulunuz.

Hatalıya iki yoldan ulaşılır (A'dan ve B'den). Her yolun olasılığını çarpıp topla.

A yolu: $0, 60 \cdot 0, 05 = 0, 03$ .
B yolu: $0, 40 \cdot 0, 10 = 0, 04$ .
Toplam: $0, 03 + 0, 04 = 0, 07$ .

Sonuç:

P (hatal ı) = 0, 07

2. Bayes Teoremi

Bir koşulu tersine çevirmek istediğimizde — $P (A ∣ B)$ 'yi $P (B ∣ A)$ 'dan bulmak — Bayes teoremini kullanırız:

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$

Payda, toplam olasılık kuralıyla bulunur. Sezgi: " $B$ gerçekleşti; bunun $A$ yolundan gelme payı nedir?"

Örnek

Soru

Yukarıdaki fabrikada seçilen ürün hatalı çıktı. Bu ürünün A makinesinden gelmiş olma olasılığı kaçtır?

İstenen $P (A ∣ hatal ı) = \frac{P ( A ) \cdot P ( hatal ı ∣ A )}{P ( hatal ı )}$ .
Pay: $0, 60 \cdot 0, 05 = 0, 03$ . Payda (toplam): $0, 07$ .
$\frac{0 , 03}{0 , 07} = \frac{3}{7} \approx 0, 43$ .

Sonuç:

\frac{3}{7}

(yaklaşık

%43

3. Pratik Yöntem: Pay / Toplam

Bayes sorularını ağaçla çözmenin kısa yolu: istenen yolun olasılığı (pay), bölü o sonuca götüren tüm yolların toplamı (payda).

Örnek

Soru

Bir hastalık nüfusun $%1$ 'inde var. Test, hastaya $%90$ pozitif, sağlama $%5$ yanlış pozitif veriyor. Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?

Hasta–pozitif yolu: $0, 01 \cdot 0, 90 = 0, 009$ .
Sağlam–pozitif yolu: $0, 99 \cdot 0, 05 = 0, 0495$ .
Toplam pozitif: $0, 009 + 0, 0495 = 0, 0585$ .
$P (hasta ∣ +) = \frac{0 , 009}{0 , 0585} \approx 0, 154$ .

Sonuç: Yaklaşık

%15, 4

(sezgiden çok düşük!).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

İki torbadan birincide $2$ kırmızı $3$ mavi, ikincide $4$ kırmızı $1$ mavi top var. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

1. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ .
1. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
Toplam: $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

Örnek

Soru

Yukarıdaki soruda çekilen top kırmızı ise 1. torbadan gelmiş olma olasılığı nedir?

Pay (1. torba–kırmızı): $\frac{1}{5}$ .
Payda (toplam kırmızı): $\frac{3}{5}$ .
$\frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

Örnek

Soru

$P (A) = 0, 3$ , $P (B ∣ A) = 0, 8$ , $P (B ∣ A^{'}) = 0, 2$ ise $P (B)$ kaçtır?

$P (B) = 0, 3 \cdot 0, 8 + 0, 7 \cdot 0, 2 = 0, 24 + 0, 14 = 0, 38$ .

Sonuç:

0, 38

Örnek

Soru

Bir e-postanın spam olma olasılığı $%40$ . Spamların $%70$ 'i, normal postaların $%10$ 'u "bedava" kelimesini içeriyor. "Bedava" içeren bir postanın spam olma olasılığı nedir?

Spam–bedava: $0, 40 \cdot 0, 70 = 0, 28$ .
Normal–bedava: $0, 60 \cdot 0, 10 = 0, 06$ .
Toplam: $0, 34$ ; $P (spam ∣ bedava) = \frac{0 , 28}{0 , 34} \approx 0, 82$ .

Sonuç: Yaklaşık

%82

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$P (A) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 6$ , $P (B ∣ A^{'}) = 0, 2$ ise $P (B)$ nedir?

$0, 5 \cdot 0, 6 + 0, 5 \cdot 0, 2 = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4$ .

Sonuç:

0, 4

Örnek

Soru

Yukarıdaki veriyle $P (A ∣ B)$ kaçtır?

Pay: $0, 5 \cdot 0, 6 = 0, 3$ ; payda $0, 4$ .
$\frac{0 , 3}{0 , 4} = 0, 75$ .

Sonuç:

0, 75

Örnek

Soru

İki torba: 1.'de $1$ kırmızı $1$ mavi, 2.'de $3$ kırmızı $1$ mavi. Eşit olasılıkla torba seçilip top çekiliyor. Kırmızı çekme olasılığı nedir?

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ .

Sonuç:

\frac{5}{8}

Örnek

Soru

Bir üretimde A hattı $%70$ (hata $%2$ ), B hattı $%30$ (hata $%6$ ) üretiyor. Hatalı bir ürünün B'den gelme olasılığı nedir?

A–hata: $0, 7 \cdot 0, 02 = 0, 014$ ; B–hata: $0, 3 \cdot 0, 06 = 0, 018$ .
Toplam $0, 032$ ; $\frac{0 , 018}{0 , 032} = 0, 5625$ .

Sonuç: Yaklaşık

%56

Örnek

Soru

Üç torba var: 1.'de $1$ kırmızı $3$ mavi, 2.'de $2$ kırmızı $2$ mavi, 3.'te $3$ kırmızı $1$ mavi top. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı nedir?

Üç ayrık yol var; her torba seçimi $\frac{1}{3}$ . Her yolda $\frac{1}{3} \cdot P (k ı rm ı z ı ∣ torba)$ çarpımını yazıp topla.

1. torba: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ .
1. torba: $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{12}$ .
1. torba: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12}$ .
Toplam: $\frac{1 + 2 + 3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

Yukarıdaki üç torbalı soruda çekilen top kırmızı ise 3. torbadan gelmiş olma olasılığı nedir?

Pay (3. torba–kırmızı yolu): $\frac{3}{12}$ .
Payda (toplam kırmızı): $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
$\frac{3/12}{6/12} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

Bir hastalık nüfusun $%2$ 'sinde var. Test, hastaya $%95$ pozitif veriyor; sağlam birine ise $%10$ yanlış pozitif veriyor. Testi negatif çıkan birinin gerçekten sağlam olma olasılığı nedir?

Bu kez sonuç "negatif". Hastaya negatif olasılığı $1 - 0, 95 = 0, 05$ ; sağlama negatif $1 - 0, 10 = 0, 90$ . İstenen $P (sa \overset{g}{˘} lam ∣ -)$ : sağlam–negatif yolu bölü toplam negatif.

Hasta–negatif: $0, 02 \cdot 0, 05 = 0, 001$ .
Sağlam–negatif: $0, 98 \cdot 0, 90 = 0, 882$ .
Toplam negatif: $0, 001 + 0, 882 = 0, 883$ .
$P (sa \overset{g}{˘} lam ∣ -) = \frac{0 , 882}{0 , 883} \approx 0, 9989$ .

Sonuç: Yaklaşık

%99, 9

(negatif test çok güven verir).

Sık Yapılan Hatalar

$P (A ∣ B)$ ile $P (B ∣ A)$ 'yı eşitlemek. Bayes'in tüm amacı bunların farklı olduğunu ve birinden diğerine geçmeyi göstermektir.
Paydada toplam olasılığı unutmak. Payda, o sonuca götüren tüm yolların toplamıdır, yalnız bir yol değil.
Önsel (prior) olasılığı göz ardı etmek. Nadir bir durumda (örneğin $%1$ hastalık) test pozitif olsa bile gerçek olasılık düşük kalabilir.
Yolları çarpmak yerine toplamak (ya da tersi). Bir yol boyunca çarp, farklı yolları topla.

Not: Bayes sorusunun pratik reçetesi: istenen yol / o sonuca giden tüm yolların toplamı. Ağacı çiz, dalları çarp, payı ve paydayı oku. Nadir olaylarda sonucun sezgiye aykırı çıkabileceğini unutma.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir atölyede ürünlerin

%25

'i X tezgahında,

%75

'i Y tezgahında üretiliyor. X'in hata oranı

%8

, Y'nin hata oranı

%4

'tür. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığı kaçtır?

Hatalıya iki ayrık yoldan ulaşılır; her yol boyunca çarpıp yolları toplarız.
X yolu: $0, 25 \cdot 0, 08 = 0, 02$ .
Y yolu: $0, 75 \cdot 0, 04 = 0, 03$ .
Toplam: $P (hatal ı) = 0, 02 + 0, 03 = 0, 05$ .

Sonuç:

0, 05

(A).

Soru 2Kolay

P (A) = 0, 4

P (B ∣ A) = 0, 7

P (B ∣ A^{'}) = 0, 3

veriliyor. Toplam olasılık kuralına göre

P (B)

kaçtır?

$P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (A^{'}) \cdot P (B ∣ A^{'})$ kullanılır; burada $P (A^{'}) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ .
$A$ yolu: $0, 4 \cdot 0, 7 = 0, 28$ .
$A^{'}$ yolu: $0, 6 \cdot 0, 3 = 0, 18$ .
Toplam: $P (B) = 0, 28 + 0, 18 = 0, 46$ .

Sonuç:

0, 46

(C).

Soru 3Orta

Birinci torbada

3

kırmızı

2

mavi, ikinci torbada

1

kırmızı

4

mavi top var. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Her torba $\frac{1}{2}$ olasılıkla seçilir; kırmızıya iki yoldan ulaşılır.
1. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ .
2. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$ .
Toplam: $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

Sonuç:

\frac{2}{5}

(B).

Soru 4Orta

Bir üretimde A hattı ürünlerin

%60

'ını (hata oranı

%2

), B hattı

%40

'ını (hata oranı

%7

) üretiyor. Rastgele seçilen bir ürün hatalı çıktığına göre, bu ürünün B hattından gelmiş olma olasılığı kaçtır?

İstenen $P (B ∣ hatal ı) = \frac{B-hatal ı yolu}{toplam hatal ı}$ .
A yolu: $0, 60 \cdot 0, 02 = 0, 012$ .
B yolu: $0, 40 \cdot 0, 07 = 0, 028$ .
Toplam hatalı: $0, 012 + 0, 028 = 0, 040$ .
$P (B ∣ hatal ı) = \frac{0 , 028}{0 , 040} = \frac{7}{10}$ .

Sonuç:

\frac{7}{10}

(D).

Soru 5Zor

Bir hastalık nüfusun

%4

'ünde bulunuyor. Test, hastaya

%80

pozitif sonuç veriyor; sağlam birine ise

%10

yanlış pozitif veriyor. Testi pozitif çıkan birinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?

İstenen $P (hasta ∣ +) = \frac{hasta-pozitif yolu}{toplam pozitif}$ .
Hasta yolu: $0, 04 \cdot 0, 80 = 0, 032$ .
Sağlam yolu: $0, 96 \cdot 0, 10 = 0, 096$ .
Toplam pozitif: $0, 032 + 0, 096 = 0, 128$ .
$P (hasta ∣ +) = \frac{0 , 032}{0 , 128} = \frac{1}{4}$ (önsel düşük olduğundan sonuç sezgiden küçük çıkar).

Sonuç:

\frac{1}{4}

(E).

Soru 6Orta

Birinci torbada

2

kırmızı

2

mavi, ikinci torbada

4

kırmızı

1

mavi top var. Bir torba eşit olasılıkla seçilip bir top çekiliyor. Çekilen top kırmızı olduğuna göre, bu topun ikinci torbadan gelmiş olma olasılığı kaçtır?

İstenen $P (2. torba ∣ k ı rm ı z ı) = \frac{2. torba-k ı rm ı z ı yolu}{toplam k ı rm ı z ı}$ .
1. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{4} = \frac{5}{20}$ .
2. torba yolu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ .
Toplam kırmızı: $\frac{5}{20} + \frac{8}{20} = \frac{13}{20}$ .
$P (2. torba ∣ k ı rm ı z ı) = \frac{8/20}{13/20} = \frac{8}{13}$ .

Sonuç:

\frac{8}{13}

(C).

0/6 soru cevaplandı

1. Toplam Olasılık Kuralı

2. Bayes Teoremi

3. Pratik Yöntem: Pay / Toplam

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Veriden Olasılığa — diğer konular