10. Sınıf · Veriden Olasılığa
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar
Bazı olaylar birbirini etkiler, bazıları etkilemez. Bu derste bağımsız olayları (birinin sonucu diğerini değiştirmez) ve bağımlı olayları (biri diğerini etkiler) ayırt etmeyi, her iki durumda çarpma kuralını ve "en az bir" tipi soruları tümleyenle çözmeyi öğreneceğiz. Bu ayrım; geri koymalı/koymasız çekiliş ve ardışık deney sorularının anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Bağımsız Olaylar
İki olay bağımsızsa birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez. Bu durumda kesişim olasılığı çarpımla bulunur:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
Bağımsızlığın denkliği: P(A\mid B)=P(A) (koşul olasılığı değiştirmiyor).
Bir madenî para ile bir zar birlikte atılıyor. Para tura, zar 6 gelme olasılığı kaçtır?
- Para ve zar birbirini etkilemez → bağımsız.
P(\text{tura})=\dfrac12,P(6)=\dfrac16.- Çarp:
\dfrac12\cdot\dfrac16=\dfrac{1}{12}.
\dfrac{1}{12}.2. Bağımlı Olaylar
İki olay bağımlıysa, birinin sonucu diğerinin olasılığını değiştirir (örneğin geri koymadan çekiş). Çarpma kuralı koşullu olasılıkla yazılır:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)
İkinci aşamanın dalları birinci sonuca göre değişir; bunu ağaç şemasında ikinci basamağın koşullu dalları olarak görürüz.
P(B\mid A) ve P(B\mid A') koşulludur (ilk sonuca göre değişir). Bir yolun olasılığı dalların çarpımıdır; bağımsızlıkta ise P(B\mid A)=P(B) olur ve dallar değişmez.5 kırmızı, 3 siyah toptan geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığını bulunuz.
Geri koymadan çekildiğinden olaylar bağımlıdır: ikinci olasılıkta toplam ve kırmızı sayısı birer azalır.
- İlk kırmızı:
\dfrac{5}{8}. - İkinci kırmızı (kalan
7top,4kırmızı):\dfrac{4}{7}. - Çarp:
\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{56}=\dfrac{5}{14}.
\dfrac{5}{14}.3. "En Az Bir" — Tümleyenle Çözüm
"En az bir" olayının olasılığını doğrudan saymak zordur; tümleyeni ("hiçbiri") kullanmak çok daha kolaydır:
P(\text{en az bir})=1-P(\text{hiçbiri})
Bir madenî para 3 kez atılıyor. En az bir tura gelme olasılığını bulunuz.
- Tümleyen: hiç tura gelmemesi (üçü de yazı).
P(\text{hiç tura yok})=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18.P(\text{en az bir})=1-\dfrac18=\dfrac78.
\dfrac{7}{8}.Çözümlü Örnekler
İki zar atılıyor. İkisinin de 6 gelme olasılığı kaçtır?
- Zarlar bağımsız:
\dfrac16\cdot\dfrac16=\dfrac{1}{36}.
\dfrac{1}{36}.P(A)=0{,}6, P(B)=0{,}5 ve olaylar bağımsız ise P(A\cap B) kaçtır?
- Bağımsız →
P(A\cap B)=0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}3.
0{,}3.6 mavi, 4 yeşil toptan geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de yeşil olma olasılığı nedir?
- İlk yeşil:
\dfrac{4}{10}=\dfrac25. - İkinci yeşil (kalan
9,3yeşil):\dfrac{3}{9}=\dfrac13. \dfrac25\cdot\dfrac13=\dfrac{2}{15}.
\dfrac{2}{15}.Bir zar 2 kez atılıyor. En az bir 6 gelme olasılığı nedir?
- Tümleyen: hiç
6gelmemesi:\left(\dfrac56\right)^2=\dfrac{25}{36}. 1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}.
\dfrac{11}{36}.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
Bir para iki kez atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı nedir?
- Bağımsız:
\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14.
\dfrac{1}{4}.3 kırmızı, 2 mavi toptan geri koymadan iki mavi çekme olasılığı nedir?
\dfrac25\cdot\dfrac14=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}.
\dfrac{1}{10}.P(A)=0{,}4, P(B)=0{,}5 bağımsız. P(A\cap B) nedir?
0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2.
0{,}2.Bir para 4 kez atılıyor. En az bir tura olasılığı nedir?
1-\left(\dfrac12\right)^4=1-\dfrac1{16}=\dfrac{15}{16}.
\dfrac{15}{16}.4 kırmızı, 6 sarı toptan geri koymadan ilk kırmızı, ikinci sarı çekme olasılığı nedir?
\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{9}=\dfrac25\cdot\dfrac23=\dfrac{4}{15}.
\dfrac{4}{15}.Ali bir soruyu 0{,}8, Ayşe ise 0{,}6 olasılıkla doğru çözüyor. İkisi de bağımsız çalışıyor. Soruyu en az birinin doğru çözme olasılığı nedir?
"En az biri" → tümleyen: ikisinin de yanlış yapması. P(\text{yanlış})=1-P(\text{doğru}).
- Tümleyen: ikisi de yanlış.
P(\text{Ali yanlış})=0{,}2,P(\text{Ayşe yanlış})=0{,}4. - Bağımsız:
P(\text{ikisi de yanlış})=0{,}2\cdot0{,}4=0{,}08. P(\text{en az biri doğru})=1-0{,}08=0{,}92.
0{,}92.Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi, 1 yeşil top var. Geri koymadan art arda üç top çekiliyor. Çekiliş sırasının kırmızı–kırmızı–mavi olma olasılığı nedir?
- İlk kırmızı:
\dfrac{3}{6}. - İkinci kırmızı (kalan
5top,2kırmızı):\dfrac{2}{5}. - Üçüncü mavi (kalan
4top,2mavi):\dfrac{2}{4}. - Çarp:
\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac25\cdot\dfrac12=\dfrac{1}{10}.
\dfrac{1}{10}.Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin aynı renk olma olasılığı nedir?
"Aynı renk" iki ayrık yoldan olur: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi. Her yolu çarp, sonra topla.
- İkisi de kırmızı:
\dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{12}{72}=\dfrac16. - İkisi de mavi:
\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{4}{8}=\dfrac{20}{72}=\dfrac{5}{18}. - Topla:
\dfrac16+\dfrac{5}{18}=\dfrac{3}{18}+\dfrac{5}{18}=\dfrac{8}{18}=\dfrac{4}{9}.
\dfrac{4}{9}.Sık Yapılan Hatalar
- Bağımlı olayda olasılığı sabit tutmak. Geri koymadan çekişte ikinci olasılığın paydası ve payı azalır.
- Bağımsızlık varsayımını yanlış yapmak. "Geri koyarak" → bağımsız; "geri koymadan" → bağımlı.
- "En az bir"i doğrudan saymaya çalışmak.
1-P(\text{hiçbiri})neredeyse her zaman daha kolaydır. - Bağımsız olayların kesişimini toplamak. Kesişim (ve) çarpılır; toplama "veya" durumlarında olur.
Not: İlk soru: olaylar bağımsız mı? "Geri koyarak / ayrı deneyler" → bağımsız (çarp). "Geri koymadan" → bağımlı (koşullu çarp). "En az bir" görürsen tümleyene geç.