10. Sınıf · Veriden Olasılığa

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bazı olaylar birbirini etkiler, bazıları etkilemez. Bu derste bağımsız olayları (birinin sonucu diğerini değiştirmez) ve bağımlı olayları (biri diğerini etkiler) ayırt etmeyi, her iki durumda çarpma kuralını ve "en az bir" tipi soruları tümleyenle çözmeyi öğreneceğiz. Bu ayrım; geri koymalı/koymasız çekiliş ve ardışık deney sorularının anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Bağımsız Olaylar

İki olay bağımsızsa birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmez. Bu durumda kesişim olasılığı çarpımla bulunur:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Bağımsızlığın denkliği: $P (A ∣ B) = P (A)$ (koşul olasılığı değiştirmiyor).

Örnek

Soru

Bir madenî para ile bir zar birlikte atılıyor. Para tura, zar 6 gelme olasılığı kaçtır?

Para ve zar birbirini etkilemez → bağımsız.
$P (tura) = \frac{1}{2}$ , $P (6) = \frac{1}{6}$ .
Çarp: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ .

Sonuç:

\frac{1}{12}

2. Bağımlı Olaylar

İki olay bağımlıysa, birinin sonucu diğerinin olasılığını değiştirir (örneğin geri koymadan çekiş). Çarpma kuralı koşullu olasılıkla yazılır:

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

İkinci aşamanın dalları birinci sonuca göre değişir; bunu ağaç şemasında ikinci basamağın koşullu dalları olarak görürüz.

Şekil 1 — Bağımlı olaylarda ağaç şeması. İkinci aşama dalları

P (B ∣ A)

P (B ∣ A^{'})

koşulludur (ilk sonuca göre değişir). Bir yolun olasılığı dalların çarpımıdır; bağımsızlıkta ise

P (B ∣ A) = P (B)

olur ve dallar değişmez.

Örnek

Soru

$5$ kırmızı, $3$ siyah toptan geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığını bulunuz.

Geri koymadan çekildiğinden olaylar bağımlıdır: ikinci olasılıkta toplam ve kırmızı sayısı birer azalır.

İlk kırmızı: $\frac{5}{8}$ .
İkinci kırmızı (kalan $7$ top, $4$ kırmızı): $\frac{4}{7}$ .
Çarp: $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$ .

Sonuç:

\frac{5}{14}

3. "En Az Bir" — Tümleyenle Çözüm

"En az bir" olayının olasılığını doğrudan saymak zordur; tümleyeni ("hiçbiri") kullanmak çok daha kolaydır:

$P (en az bir) = 1 - P (hi \overset{c}{¸} biri)$

Örnek

Soru

Bir madenî para $3$ kez atılıyor. En az bir tura gelme olasılığını bulunuz.

Tümleyen: hiç tura gelmemesi (üçü de yazı).
$P (hi \overset{c}{¸} tura yok) = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ .
$P (en az bir) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ .

Sonuç:

\frac{7}{8}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

İki zar atılıyor. İkisinin de $6$ gelme olasılığı kaçtır?

Zarlar bağımsız: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ .

Sonuç:

\frac{1}{36}

Örnek

Soru

$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ ve olaylar bağımsız ise $P (A \cap B)$ kaçtır?

Bağımsız → $P (A \cap B) = 0, 6 \cdot 0, 5 = 0, 3$ .

Sonuç:

0, 3

Örnek

Soru

$6$ mavi, $4$ yeşil toptan geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin de yeşil olma olasılığı nedir?

İlk yeşil: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .
İkinci yeşil (kalan $9$ , $3$ yeşil): $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ .
$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$ .

Sonuç:

\frac{2}{15}

Örnek

Soru

Bir zar $2$ kez atılıyor. En az bir $6$ gelme olasılığı nedir?

Tümleyen: hiç $6$ gelmemesi: $(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$ .
$1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Sonuç:

\frac{11}{36}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Bir para iki kez atılıyor. İkisinin de yazı gelme olasılığı nedir?

Bağımsız: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

\frac{1}{4}

Örnek

Soru

$3$ kırmızı, $2$ mavi toptan geri koymadan iki mavi çekme olasılığı nedir?

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ .

Sonuç:

\frac{1}{10}

Örnek

Soru

$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ bağımsız. $P (A \cap B)$ nedir?

$0, 4 \cdot 0, 5 = 0, 2$ .

Sonuç:

0, 2

Örnek

Soru

Bir para $4$ kez atılıyor. En az bir tura olasılığı nedir?

$1 - (\frac{1}{2})^{4} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ .

Sonuç:

\frac{15}{16}

Örnek

Soru

$4$ kırmızı, $6$ sarı toptan geri koymadan ilk kırmızı, ikinci sarı çekme olasılığı nedir?

$\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$ .

Sonuç:

\frac{4}{15}

Örnek

Soru

Ali bir soruyu $0, 8$ , Ayşe ise $0, 6$ olasılıkla doğru çözüyor. İkisi de bağımsız çalışıyor. Soruyu en az birinin doğru çözme olasılığı nedir?

"En az biri" → tümleyen: ikisinin de yanlış yapması. $P (yanl ı \overset{s}{¸}) = 1 - P (do \overset{g}{˘} ru)$ .

Tümleyen: ikisi de yanlış. $P (Ali yanl ı \overset{s}{¸}) = 0, 2$ , $P (Ay \overset{s}{¸} e yanl ı \overset{s}{¸}) = 0, 4$ .
Bağımsız: $P (ikisi de yanl ı \overset{s}{¸}) = 0, 2 \cdot 0, 4 = 0, 08$ .
$P (en az biri do \overset{g}{˘} ru) = 1 - 0, 08 = 0, 92$ .

Sonuç:

0, 92

Örnek

Soru

Bir torbada $3$ kırmızı, $2$ mavi, $1$ yeşil top var. Geri koymadan art arda üç top çekiliyor. Çekiliş sırasının kırmızı–kırmızı–mavi olma olasılığı nedir?

İlk kırmızı: $\frac{3}{6}$ .
İkinci kırmızı (kalan $5$ top, $2$ kırmızı): $\frac{2}{5}$ .
Üçüncü mavi (kalan $4$ top, $2$ mavi): $\frac{2}{4}$ .
Çarp: $\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ .

Sonuç:

\frac{1}{10}

Örnek

Soru

Bir torbada $4$ kırmızı, $5$ mavi top var. Geri koymadan iki top çekiliyor. İkisinin aynı renk olma olasılığı nedir?

"Aynı renk" iki ayrık yoldan olur: ikisi de kırmızı veya ikisi de mavi. Her yolu çarp, sonra topla.

İkisi de kırmızı: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ .
İkisi de mavi: $\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$ .
Topla: $\frac{1}{6} + \frac{5}{18} = \frac{3}{18} + \frac{5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ .

Sonuç:

\frac{4}{9}

Sık Yapılan Hatalar

Bağımlı olayda olasılığı sabit tutmak. Geri koymadan çekişte ikinci olasılığın paydası ve payı azalır.
Bağımsızlık varsayımını yanlış yapmak. "Geri koyarak" → bağımsız; "geri koymadan" → bağımlı.
"En az bir"i doğrudan saymaya çalışmak. $1 - P (hi \overset{c}{¸} biri)$ neredeyse her zaman daha kolaydır.
Bağımsız olayların kesişimini toplamak. Kesişim (ve) çarpılır; toplama "veya" durumlarında olur.

Not: İlk soru: olaylar bağımsız mı? "Geri koyarak / ayrı deneyler" → bağımsız (çarp). "Geri koymadan" → bağımlı (koşullu çarp). "En az bir" görürsen tümleyene geç.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir madenî para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın **yazı**, zarın **tek sayı** gelme olasılığı kaçtır?

Para ile zar birbirini etkilemez, yani olaylar bağımsızdır.
$P (yaz ı) = \frac{1}{2}$ .
Zarda tek sayılar $1, 3, 5$ olduğundan $P (tek) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .
Bağımsız olaylarda kesişim çarpılır: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

\frac{1}{4}

Soru 2Orta

Bir kutuda

4

kırmızı,

6

mavi kalem vardır. Geri koymadan art arda iki kalem çekiliyor. İkisinin de **mavi** olma olasılığı kaçtır?

Geri koymadan çekildiği için olaylar bağımlıdır.
İlk mavi: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
İkinci mavi (kalan $9$ kalem, $5$ mavi): $\frac{5}{9}$ .
Çarp: $\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ .

Sonuç:

\frac{1}{3}

Soru 3Orta

Bir zar

3

kez atılıyor. **En az bir kez

5

** gelme olasılığı kaçtır?

"En az bir" için tümleyeni kullanmak kolaydır: hiç $5$ gelmemesi.
Bir atışta $5$ gelmeme olasılığı $\frac{5}{6}$ .
Üç atışta hiç $5$ yok: $(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}$ .
$P (en az bir 5) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ .

Sonuç:

\frac{91}{216}

Soru 4Orta

Bir okçu hedefi

0, 7

, başka bir okçu ise

0, 5

olasılıkla vuruyor. İkisi bağımsız atış yapıyor. Hedefin **en az biri** tarafından vurulma olasılığı kaçtır?

"En az biri vurur" için tümleyen: ikisinin de ıskalaması.
$P (1. ı ska) = 1 - 0, 7 = 0, 3$ , $P (2. ı ska) = 1 - 0, 5 = 0, 5$ .
Bağımsız oldukları için ikisi de ıska: $0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 15$ .
$P (en az biri vurur) = 1 - 0, 15 = 0, 85$ .

Sonuç:

0, 85

Soru 5Zor

Bir torbada

5

kırmızı,

4

yeşil bilye vardır. Geri koymadan iki bilye çekiliyor. İkisinin **aynı renk** olma olasılığı kaçtır?

"Aynı renk" iki ayrık yoldan olur: ikisi de kırmızı veya ikisi de yeşil.
İkisi de kırmızı: $\frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{20}{72}$ .
İkisi de yeşil: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72}$ .
"Veya" olduğu için topla: $\frac{20}{72} + \frac{12}{72} = \frac{32}{72} = \frac{4}{9}$ .

Sonuç:

\frac{4}{9}

Soru 6Orta

Bir torbada

2

kırmızı,

3

beyaz,

1

siyah top vardır. Geri koymadan art arda üç top çekiliyor. Çekiliş sırasının **beyaz–beyaz–kırmızı** olma olasılığı kaçtır?

Toplam $2 + 3 + 1 = 6$ top vardır; geri koymadan çekildiği için olaylar bağımlıdır.
İlk beyaz: $\frac{3}{6}$ .
İkinci beyaz (kalan $5$ top, $2$ beyaz): $\frac{2}{5}$ .
Üçüncü kırmızı (kalan $4$ top, $2$ kırmızı): $\frac{2}{4}$ .
Çarp: $\frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}$ .

Sonuç:

\frac{1}{10}

0/6 soru cevaplandı

1. Bağımsız Olaylar

2. Bağımlı Olaylar

3. "En Az Bir" — Tümleyenle Çözüm

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Veriden Olasılığa — diğer konular