çözümebak

12. Sınıf · Diziler

Geometrik Dizi

~7 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu özel bir dizidir: 3, 6, 12, 24, \dots dizisinde her terim bir öncekinin 2 katıdır. Bu sabit orana ortak çarpan denir (r). Aritmetik dizide terimler eşit miktarda eklenerek ilerlerken, geometrik dizide her adımda sabit bir sayıyla çarpılır. Bu derste ortak çarpanı, genel terim a_n=a_1\cdot r^{n-1}'i, terim toplamı S_n'i ve geometrik orta kavramını öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ortak Çarpan

Bir dizide her terimin bir öncekine oranı sabitse, bu diziye geometrik dizi; bu sabit orana ortak çarpan denir ve r ile gösterilir:

r=\frac{a_{n+1}}{a_n}

Geometrik dizide hiçbir terim 0 olamaz (yoksa oran tanımsız olur). |r|>1 ise terimlerin mutlak değeri büyür, 0<|r|<1 ise küçülür; r<0 ise terimlerin işareti sırayla değişir.

Örnek
Soru

3, 6, 12, 24, \dots dizisinin ortak çarpanını bulunuz.

  1. Ortak çarpan, ardışık terimlerin oranıdır: r=\dfrac{6}{3}=2.
  2. Kontrol: \dfrac{12}{6}=2, \dfrac{24}{12}=2. ✓
Sonuç: r=2.

2. Genel Terim

İlk terim a_1 ve ortak çarpan r bilindiğinde, n. terim:

a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}

a_1, (n-1) kez r ile çarpılır: ikinci terim için bir kez, üçüncü için iki kez. (Aritmetik dizideki "+" yerine burada "\times" var.)

Örnek
Soru

a_1=5 ve r=2 olan geometrik dizinin 6. terimini bulunuz.

  1. Formül: a_n=a_1\cdot r^{n-1}.
  2. Yerine koy: a_6=5\cdot 2^{6-1}=5\cdot 2^5.
  3. 2^5=32, a_6=5\cdot 32=160.
Sonuç: a_6=160.
Örnek
Soru

İlk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan dizide 486 kaçıncı terimdir?

a_n=486 yaz; 2\cdot 3^{n-1}=486'dan 3^{n-1}'i yalnız bırak, sonra 3'ün kuvveti olarak tanı.

  1. a_n=2\cdot 3^{n-1}=486.
  2. 3^{n-1}=243.
  3. 243=3^5 olduğundan n-1=5\Rightarrow n=6.
Sonuç: 6. terim.

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

İki terim verilirse, genel terimleri oranlayarak r'yi çekeriz; üs farkı, sıra numaralarının farkıdır.

Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_2=6 ve a_5=48 ise a_1 ve r'yi bulunuz.

\dfrac{a_5}{a_2}=r^{5-2}=r^3. Önce r'yi bul, sonra a_2=a_1 r ile a_1'i çek.

  1. Terimleri oranla: \dfrac{a_5}{a_2}=r^{3}=\dfrac{48}{6}=8.
  2. r^3=8\Rightarrow r=2.
  3. a_2=a_1\cdot r=6\Rightarrow a_1\cdot 2=6\Rightarrow a_1=3.
Sonuç: a_1=3,\ r=2.

4. İlk n Terim Toplamı

r\neq 1 olan geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı:

S_n=\frac{a_1\,(r^{\,n}-1)}{r-1}=\frac{a_1\,(1-r^{\,n})}{1-r}

İki yazım eşdeğerdir; r>1 iken birincisi, 0<r<1 iken (paydanın pozitif kalması için) ikincisi pratiktir. (r=1 ise tüm terimler eşittir ve S_n=n\cdot a_1.)

Örnek
Soru

2, 6, 18, \dots geometrik dizisinin ilk 5 teriminin toplamını bulunuz.

  1. a_1=2,\ r=3,\ n=5.
  2. Formül: S_5=\dfrac{a_1(r^{5}-1)}{r-1}=\dfrac{2(3^{5}-1)}{3-1}.
  3. 3^5=243, S_5=\dfrac{2(243-1)}{2}=243-1=242.
Sonuç: S_5=242.

5. Geometrik Orta

a, b, c ardışık geometrik terimlerse, ortadaki terimin karesi, uçların çarpımına eşittir:

b^2=a\cdot c

Çünkü \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b} (ortak çarpan eşit). Bu yüzden b=\pm\sqrt{a\cdot c}; pozitif terimlerle çalışıyorsak b=\sqrt{a\cdot c} alınır.

Örnek
Soru

4,\ x,\ 25 sayıları bu sırayla pozitif terimli geometrik dizi ise x kaçtır?

  1. Geometrik orta: x^2=4\cdot 25=100.
  2. x=\pm 10; terimler pozitif olduğundan x=10.
Sonuç: x=10.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

a_1=1, r=\dfrac{1}{2} olan geometrik dizinin 4. terimini bulunuz.

  1. a_4=a_1\cdot r^{3}=1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}.
  2. a_4=\dfrac{1}{8}.
Sonuç: \dfrac{1}{8}.
Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_3=12 ve a_6=96 ise a_1'i bulunuz.

  1. \dfrac{a_6}{a_3}=r^{3}=\dfrac{96}{12}=8\Rightarrow r=2.
  2. a_3=a_1\cdot r^{2}=12\Rightarrow a_1\cdot 4=12\Rightarrow a_1=3.
Sonuç: a_1=3.
Örnek
Soru

1+2+4+8+\dots+256 toplamını hesaplayınız.

a_1=1, r=2 olan geometrik dizidir. Önce 256'nın kaçıncı terim olduğunu bul (256=2^8), sonra toplam formülünü uygula.

  1. a_1=1,\ r=2. Son terim a_n=256=2^{8}. Genel terim a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{8}\Rightarrow n-1=8\Rightarrow n=9.
  2. S_9=\dfrac{a_1(r^{9}-1)}{r-1}=\dfrac{1\cdot(2^{9}-1)}{2-1}=2^{9}-1.
  3. 2^9=512, S_9=512-1=511.
Sonuç: 511.
Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_1=5 ve a_4=40 ise ilk 4 terimin toplamını bulunuz.

Önce \dfrac{a_4}{a_1}=r^3 ile r'yi bul; sonra S_4=\dfrac{a_1(r^4-1)}{r-1}.

  1. \dfrac{a_4}{a_1}=r^{3}=\dfrac{40}{5}=8\Rightarrow r=2.
  2. S_4=\dfrac{5(2^{4}-1)}{2-1}=5(16-1)=5\cdot 15=75.
Sonuç: 75.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

a_1=2, r=3 olan dizinin 5. terimini bul.

  1. a_5=2\cdot 3^{4}=2\cdot 81=162.
Sonuç: 162.
Örnek
Soru

48, 24, 12, 6, \dots dizisinin ortak çarpanını ve 6. terimini bul.

  1. r=\dfrac{24}{48}=\dfrac{1}{2}.
  2. a_6=48\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=48\cdot\dfrac{1}{32}=\dfrac{3}{2}.
Sonuç: r=\dfrac{1}{2}, a_6=\dfrac{3}{2}.
Örnek
Soru

İlk terimi 3, ortak çarpanı 2 olan dizide 192 kaçıncı terimdir?

  1. 3\cdot 2^{n-1}=192\Rightarrow 2^{n-1}=64=2^{6}.
  2. n-1=6\Rightarrow n=7.
Sonuç: 7. terim.
Örnek
Soru

9,\ x,\ 4 sayıları bu sırayla pozitif terimli geometrik dizi ise x kaçtır?

  1. x^2=9\cdot 4=36.
  2. x=6 (pozitif).
Sonuç: x=6.
Örnek
Soru

1, 3, 9, 27, \dots dizisinin ilk 6 teriminin toplamını bul.

  1. a_1=1,\ r=3,\ n=6.
  2. S_6=\dfrac{1\cdot(3^{6}-1)}{3-1}=\dfrac{729-1}{2}=\dfrac{728}{2}=364.
Sonuç: 364.
Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_2=10 ve a_4=90 ise pozitif ortak çarpanı bul.

  1. \dfrac{a_4}{a_2}=r^{2}=\dfrac{90}{10}=9.
  2. r=3 (pozitif istendi).
Sonuç: r=3.
Örnek
Soru

a_1=64, r=\dfrac{1}{2} olan geometrik dizinin terimleri ilk kez hangi sırada 1'in altına düşer?

a_n=64\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}<1 eşitsizliğini kur; 64=2^{6} yazıp 2'nin kuvvetleriyle karşılaştır.

  1. a_n=64\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{2^{6}}{2^{n-1}}=2^{7-n}.
  2. a_n<1=2^{0} olması için 7-n<0\Rightarrow n>7.
  3. En küçük tam sayı n=8: a_8=2^{-1}=\dfrac{1}{2}<1. Kontrol: a_7=2^{0}=1 (henüz altında değil). ✓
Sonuç: 8. terimde ilk kez 1'in altına düşer.
Örnek
Soru

Üç terimli pozitif bir geometrik dizide terimlerin çarpımı 216 ise ortadaki terim kaçtır?

Terimleri \dfrac{b}{r},\ b,\ b\cdot r olarak yaz; çarpımları b^3 olur (çünkü r'ler sadeleşir).

  1. Üç terimi \dfrac{b}{r},\ b,\ b r olarak yaz.
  2. Çarpım: \dfrac{b}{r}\cdot b\cdot b r=b^{3}=216.
  3. b^{3}=216\Rightarrow b=6.
Sonuç: Ortadaki terim 6.
Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_1+a_2=12 ve a_3+a_4=48 ise ortak çarpanı bul.

a_3+a_4=r^2(a_1+a_2) olduğuna dikkat et; iki toplamı oranla.

  1. a_3+a_4=a_1 r^{2}+a_2 r^{2}=r^{2}(a_1+a_2).
  2. Oranla: \dfrac{a_3+a_4}{a_1+a_2}=r^{2}=\dfrac{48}{12}=4.
  3. r^{2}=4\Rightarrow r=2 veya r=-2.
Sonuç: r=2 ya da r=-2.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Geometrik dizide her şey çarpma üzerinden ilerler: terimler a_1, a_1 r, a_1 r^2, \dots Verilen iki terimi oranlayarak r'yi yalnız bırakman çoğu sorunun anahtarıdır; üs farkı tam olarak sıra numaralarının farkıdır. Toplam isteniyorsa r'nin 1'den büyük mü küçük mü olduğuna göre formülün uygun biçimini seç.

Diziler — diğer konular