12. Sınıf · Diziler

Geometrik Dizi

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu özel bir dizidir: $3, 6, 12, 24, \dots$ dizisinde her terim bir öncekinin $2$ katıdır. Bu sabit orana ortak çarpan denir ( $r$ ). Aritmetik dizide terimler eşit miktarda eklenerek ilerlerken, geometrik dizide her adımda sabit bir sayıyla çarpılır. Bu derste ortak çarpanı, genel terim $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ 'i, terim toplamı $S_{n}$ 'i ve geometrik orta kavramını öğreneceğiz. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Ortak Çarpan

Bir dizide her terimin bir öncekine oranı sabitse, bu diziye geometrik dizi; bu sabit orana ortak çarpan denir ve $r$ ile gösterilir:

$r = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$

Geometrik dizide hiçbir terim $0$ olamaz (yoksa oran tanımsız olur). $∣ r ∣ > 1$ ise terimlerin mutlak değeri büyür, $0 < ∣ r ∣ < 1$ ise küçülür; $r < 0$ ise terimlerin işareti sırayla değişir.

Örnek

Soru

$3, 6, 12, 24, \dots$ dizisinin ortak çarpanını bulunuz.

Ortak çarpan, ardışık terimlerin oranıdır: $r = \frac{6}{3} = 2$ .
Kontrol: $\frac{12}{6} = 2$ , $\frac{24}{12} = 2$ . ✓

Sonuç:

r = 2

2. Genel Terim

İlk terim $a_{1}$ ve ortak çarpan $r$ bilindiğinde, $n .$ terim:

$a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$

$a_{1}$ , $(n - 1)$ kez $r$ ile çarpılır: ikinci terim için bir kez, üçüncü için iki kez. (Aritmetik dizideki " $+$ " yerine burada " $\times$ " var.)

Örnek

Soru

$a_{1} = 5$ ve $r = 2$ olan geometrik dizinin $6.$ terimini bulunuz.

Formül: $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ .
Yerine koy: $a_{6} = 5 \cdot 2^{6 - 1} = 5 \cdot 2^{5}$ .
$2^{5} = 32$ , $a_{6} = 5 \cdot 32 = 160$ .

Sonuç:

a_{6} = 160

Örnek

Soru

İlk terimi $2$ , ortak çarpanı $3$ olan dizide $486$ kaçıncı terimdir?

$a_{n} = 486$ yaz; $2 \cdot 3^{n - 1} = 486$ 'dan $3^{n - 1}$ 'i yalnız bırak, sonra $3$ 'ün kuvveti olarak tanı.

$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} = 486$ .
$3^{n - 1} = 243$ .
$243 = 3^{5}$ olduğundan $n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6$ .

Sonuç:

6.

terim.

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

İki terim verilirse, genel terimleri oranlayarak $r$ 'yi çekeriz; üs farkı, sıra numaralarının farkıdır.

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{2} = 6$ ve $a_{5} = 48$ ise $a_{1}$ ve $r$ 'yi bulunuz.

$\frac{a _{5}}{a _{2}} = r^{5 - 2} = r^{3}$ . Önce $r$ 'yi bul, sonra $a_{2} = a_{1} r$ ile $a_{1}$ 'i çek.

Terimleri oranla: $\frac{a _{5}}{a _{2}} = r^{3} = \frac{48}{6} = 8$ .
$r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2$ .
$a_{2} = a_{1} \cdot r = 6 \Rightarrow a_{1} \cdot 2 = 6 \Rightarrow a_{1} = 3$ .

Sonuç:

a_{1} = 3, r = 2

4. İlk $n$ Terim Toplamı

$r \neq = 1$ olan geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı:

$S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$

İki yazım eşdeğerdir; $r > 1$ iken birincisi, $0 < r < 1$ iken (paydanın pozitif kalması için) ikincisi pratiktir. ( $r = 1$ ise tüm terimler eşittir ve $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .)

Örnek

Soru

$2, 6, 18, \dots$ geometrik dizisinin ilk $5$ teriminin toplamını bulunuz.

$a_{1} = 2, r = 3, n = 5$ .
Formül: $S_{5} = \frac{a _{1} ( r ^{5} - 1 )}{r - 1} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1}$ .
$3^{5} = 243$ , $S_{5} = \frac{2 ( 243 - 1 )}{2} = 243 - 1 = 242$ .

Sonuç:

S_{5} = 242

5. Geometrik Orta

$a$ , $b$ , $c$ ardışık geometrik terimlerse, ortadaki terimin karesi, uçların çarpımına eşittir:

$b^{2} = a \cdot c$

Çünkü $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ (ortak çarpan eşit). Bu yüzden $b = \pm a \cdot c$ ; pozitif terimlerle çalışıyorsak $b = a \cdot c$ alınır.

Örnek

Soru

$4, x, 25$ sayıları bu sırayla pozitif terimli geometrik dizi ise $x$ kaçtır?

Geometrik orta: $x^{2} = 4 \cdot 25 = 100$ .
$x = \pm 10$ ; terimler pozitif olduğundan $x = 10$ .

Sonuç:

x = 10

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$a_{1} = 1$ , $r = \frac{1}{2}$ olan geometrik dizinin $4.$ terimini bulunuz.

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{3} = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{3}$ .
$a_{4} = \frac{1}{8}$ .

Sonuç:

\frac{1}{8}

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{3} = 12$ ve $a_{6} = 96$ ise $a_{1}$ 'i bulunuz.

$\frac{a _{6}}{a _{3}} = r^{3} = \frac{96}{12} = 8 \Rightarrow r = 2$ .
$a_{3} = a_{1} \cdot r^{2} = 12 \Rightarrow a_{1} \cdot 4 = 12 \Rightarrow a_{1} = 3$ .

Sonuç:

a_{1} = 3

Örnek

Soru

$1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 256$ toplamını hesaplayınız.

$a_{1} = 1$ , $r = 2$ olan geometrik dizidir. Önce $256$ 'nın kaçıncı terim olduğunu bul ( $256 = 2^{8}$ ), sonra toplam formülünü uygula.

$a_{1} = 1, r = 2$ . Son terim $a_{n} = 256 = 2^{8}$ . Genel terim $a_{n} = 1 \cdot 2^{n - 1} = 2^{8} \Rightarrow n - 1 = 8 \Rightarrow n = 9$ .
$S_{9} = \frac{a _{1} ( r ^{9} - 1 )}{r - 1} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{9} - 1 )}{2 - 1} = 2^{9} - 1$ .
$2^{9} = 512$ , $S_{9} = 512 - 1 = 511$ .

Sonuç:

511

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{1} = 5$ ve $a_{4} = 40$ ise ilk $4$ terimin toplamını bulunuz.

Önce $\frac{a _{4}}{a _{1}} = r^{3}$ ile $r$ 'yi bul; sonra $S_{4} = \frac{a _{1} ( r ^{4} - 1 )}{r - 1}$ .

$\frac{a _{4}}{a _{1}} = r^{3} = \frac{40}{5} = 8 \Rightarrow r = 2$ .
$S_{4} = \frac{5 ( 2 ^{4} - 1 )}{2 - 1} = 5 (16 - 1) = 5 \cdot 15 = 75$ .

Sonuç:

75

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$a_{1} = 2$ , $r = 3$ olan dizinin $5.$ terimini bul.

$a_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 2 \cdot 81 = 162$ .

Sonuç:

162

Örnek

Soru

$48, 24, 12, 6, \dots$ dizisinin ortak çarpanını ve $6.$ terimini bul.

$r = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$ .
$a_{6} = 48 \cdot (\frac{1}{2})^{5} = 48 \cdot \frac{1}{32} = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

r = \frac{1}{2}

a_{6} = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

İlk terimi $3$ , ortak çarpanı $2$ olan dizide $192$ kaçıncı terimdir?

$3 \cdot 2^{n - 1} = 192 \Rightarrow 2^{n - 1} = 64 = 2^{6}$ .
$n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$ .

Sonuç:

7.

terim.

Örnek

Soru

$9, x, 4$ sayıları bu sırayla pozitif terimli geometrik dizi ise $x$ kaçtır?

$x^{2} = 9 \cdot 4 = 36$ .
$x = 6$ (pozitif).

Sonuç:

x = 6

Örnek

Soru

$1, 3, 9, 27, \dots$ dizisinin ilk $6$ teriminin toplamını bul.

$a_{1} = 1, r = 3, n = 6$ .
$S_{6} = \frac{1 \cdot ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364$ .

Sonuç:

364

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{2} = 10$ ve $a_{4} = 90$ ise pozitif ortak çarpanı bul.

$\frac{a _{4}}{a _{2}} = r^{2} = \frac{90}{10} = 9$ .
$r = 3$ (pozitif istendi).

Sonuç:

r = 3

Örnek

Soru

$a_{1} = 64$ , $r = \frac{1}{2}$ olan geometrik dizinin terimleri ilk kez hangi sırada $1$ 'in altına düşer?

$a_{n} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} < 1$ eşitsizliğini kur; $64 = 2^{6}$ yazıp $2$ 'nin kuvvetleriyle karşılaştır.

$a_{n} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{2 ^{6}}{2 ^{n - 1}} = 2^{7 - n}$ .
$a_{n} < 1 = 2^{0}$ olması için $7 - n < 0 \Rightarrow n > 7$ .
En küçük tam sayı $n = 8$ : $a_{8} = 2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1$ . Kontrol: $a_{7} = 2^{0} = 1$ (henüz altında değil). ✓

Sonuç:

8.

terimde ilk kez

1

'in altına düşer.

Örnek

Soru

Üç terimli pozitif bir geometrik dizide terimlerin çarpımı $216$ ise ortadaki terim kaçtır?

Terimleri $\frac{b}{r}, b, b \cdot r$ olarak yaz; çarpımları $b^{3}$ olur (çünkü $r$ 'ler sadeleşir).

Üç terimi $\frac{b}{r}, b, b r$ olarak yaz.
Çarpım: $\frac{b}{r} \cdot b \cdot b r = b^{3} = 216$ .
$b^{3} = 216 \Rightarrow b = 6$ .

Sonuç: Ortadaki terim

6

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{1} + a_{2} = 12$ ve $a_{3} + a_{4} = 48$ ise ortak çarpanı bul.

$a_{3} + a_{4} = r^{2} (a_{1} + a_{2})$ olduğuna dikkat et; iki toplamı oranla.

$a_{3} + a_{4} = a_{1} r^{2} + a_{2} r^{2} = r^{2} (a_{1} + a_{2})$ .
Oranla: $\frac{a _{3} + a _{4}}{a _{1} + a _{2}} = r^{2} = \frac{48}{12} = 4$ .
$r^{2} = 4 \Rightarrow r = 2$ veya $r = - 2$ .

Sonuç:

r = 2

ya da

r = - 2

Sık Yapılan Hatalar

Üste $n$ yazmak. Genel terim $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ 'dir; üs $n$ değil $(n - 1)$ . İlk terimde üs $0$ olmalı ( $r^{0} = 1$ ).
Geometrik diziyle aritmetiği karıştırmak. Aritmetikte ardışık terimlerin farkı, geometrikte oranı sabittir. Önce hangisi olduğunu sapta.
Toplam formülünde $r = 1$ 'i kontrol etmemek. $\frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ formülü $r = 1$ için tanımsızdır; bu durumda $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .
Geometrik ortada işareti unutmak. $b^{2} = a \cdot c$ 'den $b = \pm a c$ ; soruda "pozitif terimli" denmedikçe iki kök de düşünülmelidir.

Not: Geometrik dizide her şey çarpma üzerinden ilerler: terimler $a_{1}, a_{1} r, a_{1} r^{2}, \dots$ Verilen iki terimi oranlayarak $r$ 'yi yalnız bırakman çoğu sorunun anahtarıdır; üs farkı tam olarak sıra numaralarının farkıdır. Toplam isteniyorsa $r$ 'nin $1$ 'den büyük mü küçük mü olduğuna göre formülün uygun biçimini seç.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

İlk terimi

a_{1} = 4

ve ortak çarpanı

r = 3

olan geometrik dizinin

5.

terimi kaçtır?

Genel terim formülü: $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ .
Yerine koy: $a_{5} = 4 \cdot 3^{5 - 1} = 4 \cdot 3^{4}$ .
$3^{4} = 81$ olduğundan $a_{5} = 4 \cdot 81 = 324$ .

Sonuç:

a_{5} = 324

Soru 2Orta

Bir geometrik dizide

a_{2} = 18

a_{5} = 486

olduğuna göre ilk terim

a_{1}

kaçtır?

Terimleri oranla: $\frac{a _{5}}{a _{2}} = r^{5 - 2} = r^{3} = \frac{486}{18} = 27$ .
$r^{3} = 27 \Rightarrow r = 3$ .
$a_{2} = a_{1} \cdot r = 18 \Rightarrow a_{1} \cdot 3 = 18 \Rightarrow a_{1} = 6$ .

Sonuç:

a_{1} = 6

Soru 3Orta

6, x, 54

sayıları bu sırayla pozitif terimli bir geometrik dizi oluşturduğuna göre

x

kaçtır?

Geometrik ortada ortadaki terimin karesi uçların çarpımına eşittir: $x^{2} = 6 \cdot 54 = 324$ .
$x = \pm 324 = \pm 18$ .
Terimler pozitif olduğundan $x = 18$ .

Sonuç:

x = 18

Soru 4Orta

2, 6, 18, \dots

geometrik dizisinin ilk

6

teriminin toplamı kaçtır?

$a_{1} = 2, r = 3, n = 6$ .
Toplam formülü: $S_{6} = \frac{a _{1} ( r ^{6} - 1 )}{r - 1} = \frac{2 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1}$ .
$3^{6} = 729$ olduğundan $S_{6} = \frac{2 ( 729 - 1 )}{2} = 729 - 1 = 728$ .

Sonuç:

S_{6} = 728

Soru 5Orta

Bir bakteri kültüründe bakteri sayısı her saatte bir önceki saatteki sayının

3

katına çıkmaktadır. Başlangıçta (0. saatte)

20

bakteri bulunduğuna göre

4.

saatin sonunda kaç bakteri olur?

Sayılar geometrik dizi oluşturur: başlangıç $a_{1} = 20$ , ortak çarpan $r = 3$ .
$4.$ saatin sonundaki değer, başlangıçtan sonra $4$ kez çarpma demektir; yani dizinin $5.$ terimidir: $a_{5} = a_{1} \cdot r^{4}$ .
$a_{5} = 20 \cdot 3^{4} = 20 \cdot 81 = 1620$ .

Sonuç:

1620

bakteri.

Soru 6Zor

Terimleri artan pozitif bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı

21

, çarpımı

216

'dır. Bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

İlk üç terime $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ diyelim. Çarpım: $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} = a_{2}^{3} = 216$ (çünkü $a_{1} \cdot a_{3} = a_{2}^{2}$ ).
$a_{2}^{3} = 216 \Rightarrow a_{2} = 6$ .
Toplamdan $a_{1} + a_{3} = 21 - 6 = 15$ ve $a_{1} \cdot a_{3} = a_{2}^{2} = 36$ .
$a_{1}$ ve $a_{3}$ , $t^{2} - 15 t + 36 = 0$ denkleminin kökleridir: $t = 3$ ve $t = 12$ .
Dizi artan olduğundan terimler $3, 6, 12$ olur; ortak çarpan $r = \frac{6}{3} = 2$ .

Sonuç:

r = 2

0/6 soru cevaplandı

1. Ortak Çarpan

2. Genel Terim

3. İki Bilgiden Diziyi Bulma

4. İlk n Terim Toplamı

5. Geometrik Orta

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Diziler — diğer konular

4. İlk $n$ Terim Toplamı